1991 AMC 12 Problema 15

Question

Una mesa circular tiene exactamente

60

sillas a su alrededor. Hay

N

personas sentadas de modo que la siguiente persona que se siente tendrá que hacerlo junto a alguien. El menor valor posible de

N

es

A circular table has exactly

60

chairs around it. There are

N

people seated at this table in such a way that the next person to be seated must sit next to someone. The smallest possible value of

N

is

15

20

30

40

58

Respuesta: B

Conceptos:circular arrangement covering extremal counting

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Ninguna silla vacía puede tener vacías sus dos sillas vecinas

No empty chair can have both neighboring chairs empty

Pista grande:

Entre dos sillas ocupadas consecutivas puede haber como máximo dos sillas vacías

Between consecutive occupied chairs there can be at most two empty chairs

Solución:

La condición dice que toda silla vacía tiene una vecina ocupada, así que no puede haber tres sillas vacías consecutivas. Por lo tanto, cada silla ocupada puede dar cuenta, como máximo, de sí misma y de las dos sillas vacías que la siguen, lo cual da

60\le3N

y

N\ge20.

Repetir el patrón ocupada-vacía-vacía alrededor de la mesa alcanza

N=20.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The condition says that every empty chair has an occupied neighbor, so no three consecutive chairs may all be empty. Therefore each occupied chair can account for at most itself and the two empty chairs following it, giving

60\le3N

and

N\ge20.

Repeating the pattern occupied-empty-empty around the table attains

N=20.

Thus the correct answer is B.