1988 AMC 12 Problema 14

Question

Para cualquier número real

a

y entero positivo

k,

define

\binom ak= \frac{\begin{gathered} a(a-1)(a-2)\cdots\\ {}\cdot(a-(k-1)) \end{gathered}} {\begin{gathered} k(k-1)(k-2)\cdots\\ {}\cdot(2)(1) \end{gathered}}.

¿Cuánto vale

\binom{-\frac12}{100}\div\binom{\frac12}{100}\ ?

For any real number

a

and positive integer

k,

define

\binom ak= \frac{\begin{gathered} a(a-1)(a-2)\cdots\\ {}\cdot(a-(k-1)) \end{gathered}} {\begin{gathered} k(k-1)(k-2)\cdots\\ {}\cdot(2)(1) \end{gathered}}.

What is

\binom{-\frac12}{100}\div\binom{\frac12}{100}\ ?

-199

-197

-1

197

199

Cancela el denominador común

100!

Cancel the identical denominator

100!

Escribe los factores restantes como enteros impares consecutivos y busca una cancelación telescópica

Write the remaining factors as consecutive odd integers and look for telescoping cancellation

Después de cancelar

100!,

las magnitudes de los factores del numerador son

1,3,\ldots,199,

mientras que las del denominador son

1,1,3,\ldots,197.

Todos los factores impares comunes se cancelan y queda magnitud

199.

El numerador tiene

100

factores negativos y el denominador

99,

así que el cociente es

-199.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

After canceling

100!,

the numerator factors have magnitudes

1,3,\ldots,199,

while the denominator factors have magnitudes

1,1,3,\ldots,197.

All common odd factors cancel, leaving magnitude

199.

The numerator has

100

negative factors and the denominator has

99,

so the quotient is

-199.

Thus the correct answer is A.

El Problema 14 en otros años