1987 AMC 12 Problema 11

Question

Sea

c

una constante. Las ecuaciones simultáneas

\begin{aligned} x-y&=2,\\ cx+y&=3. \end{aligned}

tienen una solución

(x,y)

dentro del primer cuadrante si y solo si

Let

c

be a constant. The simultaneous equations

\begin{aligned} x-y&=2,\\ cx+y&=3. \end{aligned}

have a solution

(x,y)

inside Quadrant I if and only if

c=-1

c\gt-1

c\lt\frac32

0\lt c\lt\frac32

-1\lt c\lt\frac32

Resuelve las dos ecuaciones para

x

y

y

en función de

c

Solve the two equations for

x

and

y

in terms of

c

El primer cuadrante exige que ambas coordenadas sean estrictamente positivas

Quadrant I requires both coordinates to be strictly positive

Al resolver el sistema obtenemos

x=\frac5{c+1},\qquad y=\frac{3-2c}{c+1}.

La condición

x\gt0

exige

c\gt-1.

Con este denominador positivo,

y\gt0

equivale a

c\lt\frac{3}{2}.

Por tanto,

-1\lt c\lt\frac{3}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Solving the system gives

x=\frac5{c+1},\qquad y=\frac{3-2c}{c+1}.

The condition

x\gt0

requires

c\gt-1.

With this positive denominator,

y\gt0

is equivalent to

c\lt\frac{3}{2}.

Hence

-1\lt c\lt\frac{3}{2}.

Thus the correct answer is E.

El Problema 11 en otros años