Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

1981 AMC 12 Problema 15

Intenta el Problema 15 del 1981 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1981 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Si b>1,b\gt1, x>0,x\gt0, y (2x)log⁡b2−(3x)log⁡b3=0,(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0, entonces xx es
If b>1,b\gt1, x>0,x\gt0, and (2x)log⁡b2−(3x)log⁡b3=0,(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0, then xx is
1216\frac1{216}
16\frac16
11
66
no está determinado de manera única
not uniquely determined
Respuesta: B
Conceptos:logaritmoexponentesustitución
Nivel de dificultad: 1860
Pista pequeña:
Toma logaritmos en base bb de las dos potencias positivas iguales
Take logarithms to base bb of the two equal positive powers
Pista grande:
Sean A=log⁡b2,A=\log_b2, B=log⁡b3,B=\log_b3, y u=log⁡bxu=\log_bx
Let A=log⁡b2,A=\log_b2, B=log⁡b3,B=\log_b3, and u=log⁡bxu=\log_bx
Solución:
Sean A=log⁡b2,A=\log_b2, B=log⁡b3,B=\log_b3, y u=log⁡bx.u=\log_bx. Al tomar logaritmos en base bb obtenemos A(A+u)=B(B+u).A(A+u)=B(B+u). Como A≠B,A\ne B, A+B+u=0. A+B+u=0. Por lo tanto, u=−log⁡b6=log⁡b(16),u=-\log_b6=\log_b(\frac{1}{6}), así que x=16.x=\frac{1}{6}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let A=log⁡b2,A=\log_b2, B=log⁡b3,B=\log_b3, and u=log⁡bx.u=\log_bx. Taking base-bb logarithms gives A(A+u)=B(B+u).A(A+u)=B(B+u). Since A≠B,A\ne B, A+B+u=0. A+B+u=0. Therefore u=−log⁡b6=log⁡b(16),u=-\log_b6=\log_b(\frac{1}{6}), so x=16.x=\frac{1}{6}.
Therefore, the correct answer is B.
Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

El Problema 15 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B