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1974 AMC 12 Problema 6

Intenta el Problema 6 del 1974 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1974 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

6.

Para números reales positivos xx e yy, se define x∗y=x⋅yx+y;x*y=\frac{x\cdot y}{x+y}; entonces
For positive real numbers xx and yy define x∗y=x⋅yx+y;x*y=\frac{x\cdot y}{x+y}; then
“∗*” es conmutativa, pero no asociativa
“∗*” is commutative but not associative
“∗*” es asociativa, pero no conmutativa
“∗*” is associative but not commutative
“∗*” no es conmutativa ni asociativa
“∗*” is neither commutative nor associative
“∗*” es conmutativa y asociativa
“∗*” is commutative and associative
ninguna de estas
none of these
Respuesta: D
Conceptos:operación personalizadafracción
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
La fórmula no cambia al intercambiar xx e yy
The formula is visibly unchanged when xx and yy are interchanged
Pista grande:
Reescribe la operación mediante su recíproco: 1x∗y=1x+1y\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y
Rewrite the operation through its reciprocal: 1x∗y=1x+1y\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y
Solución:
La simetría en x,x, yy hace que la operación sea conmutativa. Además, 1x∗y=1x+1y. \frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y. Así, tanto (x∗y)∗z(x*y)*z como x∗(y∗z)x*(y*z) tienen por recíproco 1x+1y+1z,\frac1x+\frac1y+\frac1z, por lo que son iguales. La operación también es asociativa.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Symmetry in x,x, yy makes the operation commutative. Also, 1x∗y=1x+1y. \frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y. Thus both (x∗y)∗z(x*y)*z and x∗(y∗z)x*(y*z) have reciprocal 1x+1y+1z,\frac1x+\frac1y+\frac1z, so they are equal. The operation is associative too.
Therefore, the correct answer is D.
Problema 5#5
Examen completo
Problema 7#7

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