Question

Sea $x_1=97,$ y para $n\gt1$ sea $x_n=\frac{n}{x_{n-1}}.$ Calcula el producto $x_1x_2\cdots x_8.$

Let $x_1=97,$ and for $n\gt1$ let $x_n=\frac{n}{x_{n-1}}.$ Calculate the product $x_1x_2\cdots x_8.$

Respuesta

Respuesta: 384

Conceptos:recursión manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Multiplica términos consecutivos mediante la recurrencia

Multiply consecutive terms using the recurrence

Pista grande:

Agrupa el producto pedido como $(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)$

Group the requested product as $(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)$

Solución:

La recurrencia da $x_{n-1}x_n=n.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384. \end{aligned}$

The recurrence gives $x_{n-1}x_n=n.$ Therefore $\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384. \end{aligned}$

1985 AIME Problema 1

Respuesta: 384

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años