Question

Halle la suma de todas las bases enteras $b \gt 9$ para las que $17_b$ es divisor de $97_b.$

Find the sum of all integer bases $b \gt 9$ for which $17_b$ is a divisor of $97_b.$

Respuesta

Respuesta: 70

Conceptos:base numérica divisibilidad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Escriba los dos números en base $b:$ son $b + 7$ y $9b + 7$

Write the two numbers in base $b:$ they are $b + 7$ and $9b + 7$

Pista grande:

Como $9(b + 7) - (9b + 7) = 56,$ la condición es que $b + 7$ divide a $56$

Since $9(b + 7) - (9b + 7) = 56,$ the condition is that $b + 7$ divides $56$

Solución:

En base $b$ los dos números son $17_b = b + 7$ y $97_b = 9b + 7.$ Necesitamos que $9b + 7$ sea divisible por $b + 7,$ y como $b + 7$ ciertamente divide a $9(b + 7) = 9b + 63,$ esto equivale a que $\begin{gathered} (9b + 63) - (9b + 7) \\ = 56 \end{gathered}$ sea divisible por $b + 7.$

Para $b \gt 9$ tenemos $b + 7 \gt 16,$ así que $b + 7$ debe ser $28$ o $56,$ lo que da $b = 21$ o $b = 49.$ La suma es $21 + 49 = 70.$

In base $b$ the two numbers are $17_b = b + 7$ and $97_b = 9b + 7.$ We need $9b + 7$ to be divisible by $b + 7,$ and since $b + 7$ certainly divides $9(b + 7) = 9b + 63,$ this is equivalent to $\begin{gathered} (9b + 63) - (9b + 7) \\ = 56 \end{gathered}$ being divisible by $b + 7.$

For $b \gt 9$ we have $b + 7 \gt 16,$ so $b + 7$ must be $28$ or $56,$ giving $b = 21$ or $b = 49.$ The sum is $21 + 49 = 70.$

2025 AIME I Problema 1

Respuesta: 70

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años