Question

Sea $N$ el mayor múltiplo entero de $36$ cuyos dígitos son todos pares y no hay dos dígitos iguales. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $N$ be the greatest integer multiple of $36$ all of whose digits are even and no two of whose digits are the same. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Como $36 = 4 \cdot 9,$ el número $N$ debe ser divisible tanto entre $4$ como entre $9.$ Sus dígitos son elementos distintos de $\{0, 2, 4, 6, 8\},$ cuyo total es $20,$ así que $N$ no puede usar los cinco. La suma de los dígitos debe ser un múltiplo de $9,$ y al ser par debe ser $18;$ los únicos conjuntos de dígitos posibles son $\{4, 6, 8\}$ y $\{0, 4, 6, 8\}.$

El mayor número formado con $\{0, 4, 6, 8\}$ es $8640,$ que termina en $40,$ un múltiplo de $4.$ Así que $N = 8640,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $640.$

Since $36 = 4 \cdot 9,$ the number $N$ must be divisible by both $4$ and $9.$ Its digits are distinct members of $\{0, 2, 4, 6, 8\},$ whose total is $20,$ so $N$ cannot use all five. The digit sum must be a multiple of $9,$ and being even it must be $18;$ the only such digit sets are $\{4, 6, 8\}$ and $\{0, 4, 6, 8\}.$

The largest number formed from $\{0, 4, 6, 8\}$ is $8640,$ which ends in $40,$ a multiple of $4.$ So $N = 8640,$ and the remainder upon division by $1000$ is $640.$

2010 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años