Question

Patrick empezó a caminar a velocidad constante por un camino recto desde su escuela hasta el parque. Una hora después de que Patrick partió, Tanya empezó a correr a velocidad constante $2$ millas por hora más rápido de lo que Patrick caminaba, siguiendo el mismo camino recto desde la escuela hasta el parque. Una hora después de que Tanya partió, José empezó a andar en bicicleta a velocidad constante $7$ millas por hora más rápido de lo que Tanya corría, siguiendo el mismo camino recto desde la escuela hasta el parque. Las tres personas llegaron al parque al mismo tiempo. La distancia de la escuela al parque es $\frac{m}{n}$ millas, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Patrick started walking at a constant speed along a straight road from his school to the park. One hour after Patrick left, Tanya started running at a constant speed of $2$ miles per hour faster than Patrick walked, following the same straight road from the school to the park. One hour after Tanya left, José started bicycling at a constant speed of $7$ miles per hour faster than Tanya ran, following the same straight road from the school to the park. All three people arrived at the park at the same time. The distance from the school to the park is $\frac{m}{n}$ miles, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $v$ la velocidad de Patrick en millas por hora y $T$ su tiempo de viaje en horas. Entonces Tanya viaja durante $T - 1$ horas a velocidad $v + 2,$ y José viaja durante $T - 2$ horas a velocidad $v + 9$ (que es $7$ más que la velocidad de Tanya). Como los tres recorren la misma distancia, $\begin{aligned} vT &= (v+2)(T-1) \\ &= (v+9)(T-2). \end{aligned}$

Al desarrollar la primera igualdad se obtiene $0 = 2T - v - 2,$ así que $v = 2T - 2.$ Al desarrollar la segunda se obtiene $0 = 9T - 2v - 18,$ así que $2v = 9T - 18.$ Sustituyendo, $4T - 4 = 9T - 18,$ de donde $T = \frac{14}{5}$ y $v = \frac{18}{5}.$

La distancia es $vT = \frac{18}{5} \cdot \frac{14}{5} = \frac{252}{25},$ que ya está en su mínima expresión, así que $m + n = 252 + 25 = 277.$

Let $v$ be Patrick's speed in miles per hour and $T$ his travel time in hours. Then Tanya travels for $T - 1$ hours at speed $v + 2,$ and José travels for $T - 2$ hours at speed $v + 9$ (which is $7$ more than Tanya's speed). Since all three cover the same distance, $\begin{aligned} vT &= (v+2)(T-1) \\ &= (v+9)(T-2). \end{aligned}$

Expanding the first equality gives $0 = 2T - v - 2,$ so $v = 2T - 2.$ Expanding the second gives $0 = 9T - 2v - 18,$ so $2v = 9T - 18.$ Substituting, $4T - 4 = 9T - 18,$ hence $T = \frac{14}{5}$ and $v = \frac{18}{5}.$

The distance is $vT = \frac{18}{5} \cdot \frac{14}{5} = \frac{252}{25},$ which is in lowest terms, so $m + n = 252 + 25 = 277.$

2026 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años