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2008 AIME II Problema 1

Intenta el Problema 1 del 2008 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Sea N=1002+992−982−972+962+⋯+42+32−22−12, \begin{aligned} N &= 100^2 + 99^2 - 98^2 - 97^2 \\ &\quad {}+ 96^2 + \cdots + 4^2 \\ &\quad {}+ 3^2 - 2^2 - 1^2, \end{aligned} donde las sumas y las restas se alternan en pares. Halla el residuo cuando NN se divide entre 1000.1000.
Let N=1002+992−982−972+962+⋯+42+32−22−12, \begin{aligned} N &= 100^2 + 99^2 - 98^2 - 97^2 \\ &\quad {}+ 96^2 + \cdots + 4^2 \\ &\quad {}+ 3^2 - 2^2 - 1^2, \end{aligned} where the additions and subtractions alternate in pairs. Find the remainder when NN is divided by 1000.1000.
Respuesta: 100
Conceptos:diferencia de cuadradosemparejamiento y agrupaciónsumatoria
Nivel de dificultad: 1890
Pista pequeña:
Empareja cada cuadrado positivo con el cuadrado negativo que está dos posiciones más abajo, y factoriza a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) con a−b=2a - b = 2
Pair each positive square with the negative square two below it, and factor a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) with a−b=2a - b = 2
Pista grande:
Agrupa cuatro términos consecutivos a la vez; el bloque que termina en (4k)2(4k)^2 se simplifica a 32k−1232k - 12
Group four consecutive terms at a time; the block ending in (4k)2(4k)^2 simplifies to 32k−1232k - 12
Solución:
Agrupa los términos de cuatro en cuatro. Para k=1,2,…,25,k = 1, 2, \ldots, 25, el bloque que termina en (4k)2(4k)^2 es (4k)2+(4k−1)2−(4k−2)2−(4k−3)2=2(8k−2)+2(8k−4)=32k−12, \begin{aligned} &(4k)^2 + (4k-1)^2 \\ &\quad {}- (4k-2)^2 - (4k-3)^2 \\ &= 2(8k - 2) + 2(8k - 4) \\ &= 32k - 12, \end{aligned} usando la diferencia de cuadrados a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) con a−b=2a - b = 2 dos veces.
Sumando para k=1k = 1 hasta 25,25, N=32⋅25⋅262−12⋅25=10400−300=10100, \begin{aligned} N &= 32 \cdot \frac{25 \cdot 26}{2} - 12 \cdot 25 \\ &= 10400 - 300 = 10100, \end{aligned} así que el residuo cuando NN se divide entre 10001000 es 100.100.
Group the terms four at a time. For k=1,2,…,25,k = 1, 2, \ldots, 25, the block ending at (4k)2(4k)^2 is (4k)2+(4k−1)2−(4k−2)2−(4k−3)2=2(8k−2)+2(8k−4)=32k−12, \begin{aligned} &(4k)^2 + (4k-1)^2 \\ &\quad {}- (4k-2)^2 - (4k-3)^2 \\ &= 2(8k - 2) + 2(8k - 4) \\ &= 32k - 12, \end{aligned} using the difference of squares a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) with a−b=2a - b = 2 twice.
Summing over k=1k = 1 to 25,25, N=32⋅25⋅262−12⋅25=10400−300=10100, \begin{aligned} N &= 32 \cdot \frac{25 \cdot 26}{2} - 12 \cdot 25 \\ &= 10400 - 300 = 10100, \end{aligned} so the remainder when NN is divided by 10001000 is 100.100.
Examen completo
Problema 2#2

El Problema 1 en otros años

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