Question

Sea $\begin{aligned} N &= 100^2 + 99^2 - 98^2 - 97^2 \\ &\quad {}+ 96^2 + \cdots + 4^2 \\ &\quad {}+ 3^2 - 2^2 - 1^2, \end{aligned}$ donde las sumas y las restas se alternan en pares. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $\begin{aligned} N &= 100^2 + 99^2 - 98^2 - 97^2 \\ &\quad {}+ 96^2 + \cdots + 4^2 \\ &\quad {}+ 3^2 - 2^2 - 1^2, \end{aligned}$ where the additions and subtractions alternate in pairs. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 100

Conceptos:diferencia de cuadrados emparejamiento y agrupación sumatoria

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Empareja cada cuadrado positivo con el cuadrado negativo que está dos posiciones más abajo, y factoriza $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ con $a - b = 2$

Pair each positive square with the negative square two below it, and factor $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ with $a - b = 2$

Pista grande:

Agrupa cuatro términos consecutivos a la vez; el bloque que termina en $(4k)^2$ se simplifica a $32k - 12$

Group four consecutive terms at a time; the block ending in $(4k)^2$ simplifies to $32k - 12$

Solución:

Agrupa los términos de cuatro en cuatro. Para $k = 1, 2, \ldots, 25,$ el bloque que termina en $(4k)^2$ es $\begin{aligned} &(4k)^2 + (4k-1)^2 \\ &\quad {}- (4k-2)^2 - (4k-3)^2 \\ &= 2(8k - 2) + 2(8k - 4) \\ &= 32k - 12, \end{aligned}$ usando la diferencia de cuadrados $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ con $a - b = 2$ dos veces.

Sumando para $k = 1$ hasta $25,$ $\begin{aligned} N &= 32 \cdot \frac{25 \cdot 26}{2} - 12 \cdot 25 \\ &= 10400 - 300 = 10100, \end{aligned}$ así que el residuo cuando $N$ se divide entre $1000$ es $100.$

Group the terms four at a time. For $k = 1, 2, \ldots, 25,$ the block ending at $(4k)^2$ is $\begin{aligned} &(4k)^2 + (4k-1)^2 \\ &\quad {}- (4k-2)^2 - (4k-3)^2 \\ &= 2(8k - 2) + 2(8k - 4) \\ &= 32k - 12, \end{aligned}$ using the difference of squares $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ with $a - b = 2$ twice.

Summing over $k = 1$ to $25,$ $\begin{aligned} N &= 32 \cdot \frac{25 \cdot 26}{2} - 12 \cdot 25 \\ &= 10400 - 300 = 10100, \end{aligned}$ so the remainder when $N$ is divided by $1000$ is $100.$

2008 AIME II Problema 1

Respuesta: 100

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años