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2015 AIME I Problema 1

Intenta el Problema 1 del 2015 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2015 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Las expresiones A=1×2A = 1 \times 2 +3×4+ 3 \times 4 +5×6+ 5 \times 6 +⋯+ \cdots +37×38+39+ 37 \times 38 + 39 y B=1B = 1 +2×3+ 2 \times 3 +4×5+ 4 \times 5 +⋯+ \cdots +36×37+ 36 \times 37 +38×39+ 38 \times 39 se obtienen escribiendo los operadores de multiplicación y suma en un patrón alternado entre enteros sucesivos. Halla la diferencia positiva entre los enteros AA y B.B.
The expressions A=1×2A = 1 \times 2 +3×4+ 3 \times 4 +5×6+ 5 \times 6 +⋯+ \cdots +37×38+39+ 37 \times 38 + 39 and B=1B = 1 +2×3+ 2 \times 3 +4×5+ 4 \times 5 +⋯+ \cdots +36×37+ 36 \times 37 +38×39+ 38 \times 39 are obtained by writing multiplication and addition operators in an alternating pattern between successive integers. Find the positive difference between integers AA and B.B.
Respuesta: 722
Conceptos:sumatoriasucesión aritméticaemparejamiento y agrupación
Nivel de dificultad: 1890
Pista pequeña:
Calcula B−AB - A emparejando cada producto de BB con el producto de AA que comparte su factor par
Compute B−AB - A by pairing each product in BB with the product in AA that shares its even factor
Pista grande:
Cada par aporta (2k+1)(2k)(2k+1)(2k) −(2k−1)(2k)=4k,- (2k-1)(2k) = 4k, y los términos sobrantes son 11 y −39-39
Each pair contributes (2k+1)(2k)(2k+1)(2k) −(2k−1)(2k)=4k,- (2k-1)(2k) = 4k, and the leftover terms are 11 and −39-39
Solución:
Resta término a término: B−A=(1−39)+(2×3−1×2)+(4×5−3×4)+⋯+(38×39−37×38). \begin{aligned} &B - A = (1 - 39) \\ &\quad {}+ (2 \times 3 - 1 \times 2) \\ &\quad {}+ (4 \times 5 - 3 \times 4) + \cdots \\ &\quad {}+ (38 \times 39 - 37 \times 38). \end{aligned} Cada diferencia entre paréntesis tiene la forma (2k+1)(2k)(2k+1)(2k) −(2k−1)(2k)=4k- (2k-1)(2k) = 4k para k=1,2,…,19.k = 1, 2, \ldots, 19.
Por lo tanto B−A=−38+4(1+2+⋯+19)=−38+4⋅190=722. \begin{aligned} B - A &= -38 \\ &\quad {}+ 4(1 + 2 + \cdots + 19) \\ &= -38 + 4 \cdot 190 = 722. \end{aligned}
Subtract term by term: B−A=(1−39)+(2×3−1×2)+(4×5−3×4)+⋯+(38×39−37×38). \begin{aligned} &B - A = (1 - 39) \\ &\quad {}+ (2 \times 3 - 1 \times 2) \\ &\quad {}+ (4 \times 5 - 3 \times 4) + \cdots \\ &\quad {}+ (38 \times 39 - 37 \times 38). \end{aligned} Each parenthesized difference has the form (2k+1)(2k)(2k+1)(2k) −(2k−1)(2k)=4k- (2k-1)(2k) = 4k for k=1,2,…,19.k = 1, 2, \ldots, 19.
Therefore B−A=−38+4(1+2+⋯+19)=−38+4⋅190=722. \begin{aligned} B - A &= -38 \\ &\quad {}+ 4(1 + 2 + \cdots + 19) \\ &= -38 + 4 \cdot 190 = 722. \end{aligned}
Examen completo
Problema 2#2

El Problema 1 en otros años

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