Question

Los dígitos de un entero positivo $n$ son cuatro enteros consecutivos en orden decreciente al leerlos de izquierda a derecha. ¿Cuál es la suma de los posibles residuos cuando $n$ se divide entre $37$ ?

The digits of a positive integer $n$ are four consecutive integers in decreasing order when read from left to right. What is the sum of the possible remainders when $n$ is divided by $37?$

Respuesta

Solución:

Si el dígito principal es $a,$ los dígitos son $a,$ $a - 1,$ $a - 2,$ $a - 3$ con $a = 3, 4, \ldots, 9,$ así que $\begin{aligned} n &= 1000a + 100(a-1) \\ &\quad {}+ 10(a-2) + (a-3) \\ &= 1111a - 123. \end{aligned}$

Como $1111 = 30 \cdot 37 + 1$ y $123 = 3 \cdot 37 + 12,$ obtenemos $n \equiv a - 12 \equiv a + 25 \pmod{37}.$ Para $a = 3, \ldots, 9$ los valores $a + 25$ recorren $28, 29, \ldots, 34,$ cada uno ya menor que $37,$ así que estos son exactamente los siete residuos posibles.

Su suma es $28 + 29 + \cdots + 34$ $= 7 \cdot 31 = 217.$

If the leading digit is $a,$ the digits are $a,$ $a - 1,$ $a - 2,$ $a - 3$ with $a = 3, 4, \ldots, 9,$ so $\begin{aligned} n &= 1000a + 100(a-1) \\ &\quad {}+ 10(a-2) + (a-3) \\ &= 1111a - 123. \end{aligned}$

Since $1111 = 30 \cdot 37 + 1$ and $123 = 3 \cdot 37 + 12,$ we get $n \equiv a - 12 \equiv a + 25 \pmod{37}.$ For $a = 3, \ldots, 9$ the values $a + 25$ run through $28, 29, \ldots, 34,$ each already less than $37,$ so these are exactly the seven possible remainders.

Their sum is $28 + 29 + \cdots + 34$ $= 7 \cdot 31 = 217.$

2004 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años