Question

Los puntos $A,$ $B,$ y $C$ están en ese orden a lo largo de un camino recto, donde la distancia de $A$ a $C$ es de $1800$ metros. Ina corre el doble de rápido que Eve, y Paul corre el doble de rápido que Ina. Los tres corredores empiezan a correr al mismo tiempo: Ina parte de $A$ y corre hacia $C,$ Paul parte de $B$ y corre hacia $C,$ y Eve parte de $C$ y corre hacia $A.$ Cuando Paul se encuentra con Eve, se da la vuelta y corre hacia $A.$ Paul e Ina llegan a $B$ al mismo tiempo. Halla la distancia en metros de $A$ a $B.$

Points $A,$ $B,$ and $C$ lie in that order along a straight path where the distance from $A$ to $C$ is $1800$ meters. Ina runs twice as fast as Eve, and Paul runs twice as fast as Ina. The three runners start running at the same time with Ina starting at $A$ and running toward $C,$ Paul starting at $B$ and running toward $C,$ and Eve starting at $C$ and running toward $A.$ When Paul meets Eve, he turns around and runs toward $A.$ Paul and Ina both arrive at $B$ at the same time. Find the number of meters from $A$ to $B.$

Respuesta

Solución:

Sea $x = AB,$ de modo que $BC = 1800 - x,$ y sea $v$ la velocidad de Eve, así que Ina corre a $2v$ y Paul a $4v.$ Paul y Eve parten de $B$ y $C$ corriendo uno hacia el otro, de manera que juntos cubren los $1800 - x$ metros que los separan, y Paul recorre $\frac{4}{5}$ de ellos. Luego Paul deshace ese trayecto de vuelta a $B,$ así que cuando llega a $B$ ha recorrido en total $\frac{8}{5}(1800 - x)$ metros.

Ina llega a $B$ en el mismo instante, habiendo recorrido $x$ metros. Como Paul corre el doble de rápido que Ina, en ese tiempo ha recorrido $2x$ metros. Por lo tanto $\frac{8}{5}(1800 - x) = 2x,$ lo que da $8 \cdot 1800 = 18x,$ así que $x = 800.$

Let $x = AB,$ so $BC = 1800 - x,$ and let Eve's speed be $v,$ so Ina runs at $2v$ and Paul at $4v.$ Paul and Eve start at $B$ and $C$ running toward each other, so together they cover the $1800 - x$ meters between them, with Paul covering $\frac{4}{5}$ of it. Paul then retraces that distance back to $B,$ so when he reaches $B$ he has run $\frac{8}{5}(1800 - x)$ meters in total.

Ina reaches $B$ at the same moment, having run $x$ meters. Since Paul runs twice as fast as Ina, he has run $2x$ meters in that time. Therefore $\frac{8}{5}(1800 - x) = 2x,$ which gives $8 \cdot 1800 = 18x,$ so $x = 800.$

2018 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años