Question

Se dice que un número de tres cifras es geométrico si tiene $3$ dígitos distintos que, leídos de izquierda a derecha, forman una progresión geométrica. Halla la diferencia entre el mayor y el menor número geométrico.

Call a 3-digit number geometric if it has $3$ distinct digits which, when read from left to right, form a geometric sequence. Find the difference between the largest and smallest geometric numbers.

Respuesta

Solución:

Escribe los dígitos como $a,$ $ar,$ $ar^2.$ Para el mayor número geométrico, toma $a = 9.$ Una razón entera de al menos $2$ llevaría el siguiente dígito más allá de $9,$ y $r = 1$ repite dígitos, así que $r$ es una fracción cuyo denominador al cuadrado divide a $9:$ las opciones $r = \frac{2}{3}$ y $r = \frac{1}{3}$ dan $964$ y $931.$ El mayor es $964.$

Para el menor, toma el dígito de las centenas $1.$ Entonces el dígito de las decenas $r$ debe ser un entero de al menos $2$ (los dígitos son distintos), y $r = 2$ da $124,$ que es menor que el $139.$ que da $r = 3$ .

La diferencia es $964 - 124 = 840.$

Write the digits as $a,$ $ar,$ $ar^2.$ For the largest geometric number, take $a = 9.$ An integer ratio at least $2$ would push the next digit past $9,$ and $r = 1$ repeats digits, so $r$ is a fraction whose denominator squares into $9:$ the choices $r = \frac{2}{3}$ and $r = \frac{1}{3}$ give $964$ and $931.$ The largest is $964.$

For the smallest, take hundreds digit $1.$ Then the tens digit $r$ must be an integer at least $2$ (the digits are distinct), and $r = 2$ gives $124,$ which beats $r = 3$ 's $139.$

The difference is $964 - 124 = 840.$

2009 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años