Question

Cinco hombres y nueve mujeres se colocan a intervalos iguales alrededor de un círculo en orden aleatorio. La probabilidad de que cada hombre quede diametralmente opuesto a una mujer es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Five men and nine women stand equally spaced around a circle in random order. The probability that every man stands diametrically opposite a woman is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 191

Conceptos:probabilidad básica combinaciones emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Las $14$ posiciones se dividen en $7$ pares diametralmente opuestos, y solo importa el conjunto de posiciones que ocupan los hombres.

The $14$ positions split into $7$ diametrically opposite pairs, and only the set of positions the men occupy matters.

Pista grande:

Cuenta los conjuntos donde ningún par tiene dos hombres: elige $5$ de los $7$ pares para colocar un hombre, luego una posición en cada uno; compara con $\binom{14}{5}.$

Count sets where no pair has two men: choose $5$ of the $7$ pairs to hold a man, then a position in each; compare with $\binom{14}{5}.$

Solución:

Las $14$ posiciones se dividen en $7$ pares diametralmente opuestos. Solo importa el conjunto de posiciones ocupadas por los hombres, y los $\binom{14}{5} = 2002$ conjuntos de cinco elementos son igualmente probables. Cada hombre queda opuesto a una mujer exactamente cuando ningún par contiene dos hombres, así que elige cuáles $5$ de los $7$ pares contienen un hombre ( $\binom{7}{5} = 21$ formas) y qué posición de cada par elegido ocupa el hombre ( $2^5 = 32$ formas), para $21 \cdot 32 = 672$ conjuntos favorables.

La probabilidad es $\frac{672}{2002} = \frac{48}{143},$ así que $m + n = 48 + 143 = 191.$

The $14$ positions split into $7$ diametrically opposite pairs. Only the set of positions occupied by the men matters, and all $\binom{14}{5} = 2002$ five-element sets are equally likely. Every man stands opposite a woman exactly when no pair contains two men, so choose which $5$ of the $7$ pairs contain a man ( $\binom{7}{5} = 21$ ways) and which position of each chosen pair the man occupies ( $2^5 = 32$ ways), for $21 \cdot 32 = 672$ favorable sets.

The probability is $\frac{672}{2002} = \frac{48}{143},$ so $m + n = 48 + 143 = 191.$

2023 AIME I Problema 1

Respuesta: 191

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años