Question

Dado que $\frac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!,$ donde $k$ y $n$ son enteros positivos y $n$ es lo más grande posible, halla $k + n.$

Given that $\frac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!,$ where $k$ and $n$ are positive integers and $n$ is as large as possible, find $k + n.$

Respuesta

Solución:

Como $3! = 6$ y $6! = 720,$ la expresión es $\begin{aligned} \frac{((3!)!)!}{3!} &= \frac{720!}{6} \\ &= \frac{720 \cdot 719!}{6} \\ &= 120 \cdot 719!. \end{aligned}$

Si $n$ fuera $720$ o más, entonces $k \cdot n! \ge 720!,$ lo que supera $\frac{720!}{6}.$ Así que el mayor valor posible de $n$ es $719,$ que se logra con $k = 120,$ y $k + n = 120 + 719 = 839.$

Since $3! = 6$ and $6! = 720,$ the expression is $\begin{aligned} \frac{((3!)!)!}{3!} &= \frac{720!}{6} \\ &= \frac{720 \cdot 719!}{6} \\ &= 120 \cdot 719!. \end{aligned}$

If $n$ were $720$ or more, then $k \cdot n! \ge 720!,$ which exceeds $\frac{720!}{6}.$ So the largest possible value of $n$ is $719,$ achieved with $k = 120,$ and $k + n = 120 + 719 = 839.$

2003 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años