Soluciones del 2003 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Dado que $\frac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!,$ donde $k$ y $n$ son enteros positivos y $n$ es lo más grande posible, halla $k + n.$

Given that $\frac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!,$ where $k$ and $n$ are positive integers and $n$ is as large as possible, find $k + n.$

Respuesta

Conceptos:factorial acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1670

Solución:

Como $3! = 6$ y $6! = 720,$ la expresión es $\begin{aligned} \frac{((3!)!)!}{3!} &= \frac{720!}{6} \\ &= \frac{720 \cdot 719!}{6} \\ &= 120 \cdot 719!. \end{aligned}$

Si $n$ fuera $720$ o más, entonces $k \cdot n! \ge 720!,$ lo que supera $\frac{720!}{6}.$ Así que el mayor valor posible de $n$ es $719,$ que se logra con $k = 120,$ y $k + n = 120 + 719 = 839.$

Since $3! = 6$ and $6! = 720,$ the expression is $\begin{aligned} \frac{((3!)!)!}{3!} &= \frac{720!}{6} \\ &= \frac{720 \cdot 719!}{6} \\ &= 120 \cdot 719!. \end{aligned}$

If $n$ were $720$ or more, then $k \cdot n! \ge 720!,$ which exceeds $\frac{720!}{6}.$ So the largest possible value of $n$ is $719,$ achieved with $k = 120,$ and $k + n = 120 + 719 = 839.$

2.

En un plano se dibujan cien circunferencias concéntricas con radios $1, 2, 3, \ldots, 100$ . El interior de la circunferencia de radio $1$ se pinta de rojo, y cada región limitada por circunferencias consecutivas se pinta de rojo o de verde, de modo que dos regiones adyacentes no tengan el mismo color. La razón entre el área total de las regiones verdes y el área de la circunferencia de radio $100$ puede expresarse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

One hundred concentric circles with radii $1, 2, 3, \ldots, 100$ are drawn in a plane. The interior of the circle of radius $1$ is colored red, and each region bounded by consecutive circles is colored either red or green, with no two adjacent regions the same color. The ratio of the total area of the green regions to the area of the circle of radius $100$ can be expressed as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:corona circular diferencia de cuadrados sumatoria

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

Las regiones se alternan rojo, verde, rojo, verde, $\ldots$ desde el centro hacia afuera, así que las regiones verdes son los anillos entre los radios $1$ y $2,$ entre $3$ y $4,$ y así hasta el anillo entre $99$ y $100.$ Su área total es $\begin{aligned} &\scriptsize \pi\left[(2^2 - 1^2) + (4^2 - 3^2) + \cdots + (100^2 - 99^2)\right] \\ &\scriptsize = \pi\left[(2 + 1) + (4 + 3) + \cdots + (100 + 99)\right], \end{aligned}$ que es $\pi\,(1 + 2 + \cdots + 100) = 5050\pi.$

La razón buscada es $\frac{5050\pi}{100^2 \pi} = \frac{101}{200},$ así que $m + n = 101 + 200 = 301.$

The regions alternate red, green, red, green, $\ldots$ from the center outward, so the green regions are the annuli between radii $1$ and $2,$ between $3$ and $4,$ and so on up to the annulus between $99$ and $100.$ Their total area is $\begin{aligned} &\scriptsize \pi\left[(2^2 - 1^2) + (4^2 - 3^2) + \cdots + (100^2 - 99^2)\right] \\ &\scriptsize = \pi\left[(2 + 1) + (4 + 3) + \cdots + (100 + 99)\right], \end{aligned}$ which is $\pi\,(1 + 2 + \cdots + 100) = 5050\pi.$

The desired ratio is $\frac{5050\pi}{100^2 \pi} = \frac{101}{200},$ so $m + n = 101 + 200 = 301.$

3.

Sea el conjunto $\mathcal{S} = \{8, 5, 1, 13, 34, 3, 21, 2\}.$ Susan hace una lista de la siguiente manera: para cada subconjunto de dos elementos de $\mathcal{S},$ escribe en su lista el mayor de los dos elementos del subconjunto. Halla la suma de los números de la lista.

Let the set $\mathcal{S} = \{8, 5, 1, 13, 34, 3, 21, 2\}.$ Susan makes a list as follows: for each two-element subset of $\mathcal{S},$ she writes on her list the greater of the set's two elements. Find the sum of the numbers on the list.

Respuesta

Conceptos:conteo de pares doble conteo

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Un elemento $x$ es el elemento mayor de un subconjunto de dos elementos exactamente una vez por cada elemento menor del conjunto, así que $x$ contribuye a la suma una vez por cada elemento por debajo de él. Ordenando el conjunto como $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,$ la suma de la lista es $\begin{aligned} &0(1) + 1(2) + 2(3) + 3(5) \\ &\quad {}+ 4(8) + 5(13) + 6(21) \\ &\quad {}+ 7(34) \\ &= 2 + 6 + 15 + 32 \\ &\quad {}+ 65 + 126 + 238 = 484. \end{aligned}$

An element $x$ is the greater element of a two-element subset exactly once for each smaller element of the set, so $x$ contributes to the sum once per element below it. Sorting the set as $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,$ the sum of the list is $\begin{aligned} &0(1) + 1(2) + 2(3) + 3(5) \\ &\quad {}+ 4(8) + 5(13) + 6(21) \\ &\quad {}+ 7(34) \\ &= 2 + 6 + 15 + 32 \\ &\quad {}+ 65 + 126 + 238 = 484. \end{aligned}$

4.

Dado que $\log_{10} \sin x + \log_{10} \cos x = -1$ y que $\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \frac{1}{2}(\log_{10} n - 1),$ halla $n.$

Given that $\log_{10} \sin x + \log_{10} \cos x = -1$ and that $\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \frac{1}{2}(\log_{10} n - 1),$ find $n.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

La primera ecuación dice $\log_{10}(\sin x \cos x) = -1,$ así que $\sin x \cos x = \frac{1}{10}.$ Entonces $\begin{aligned} (\sin x + \cos x)^2 &= \sin^2 x + \cos^2 x \\ &\quad {}+ 2 \sin x \cos x \\ &= 1 + \frac{2}{10} = \frac{12}{10}. \end{aligned}$

Tomando logaritmos, $2\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \log_{10} \frac{12}{10}$ $= \log_{10} 12 - 1,$ así que $\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \frac{1}{2}(\log_{10} 12 - 1)$ y $n = 12.$

The first equation says $\log_{10}(\sin x \cos x) = -1,$ so $\sin x \cos x = \frac{1}{10}.$ Then $\begin{aligned} (\sin x + \cos x)^2 &= \sin^2 x + \cos^2 x \\ &\quad {}+ 2 \sin x \cos x \\ &= 1 + \frac{2}{10} = \frac{12}{10}. \end{aligned}$

Taking logarithms, $2\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \log_{10} \frac{12}{10}$ $= \log_{10} 12 - 1,$ so $\log_{10}(\sin x + \cos x)$ $= \frac{1}{2}(\log_{10} 12 - 1)$ and $n = 12.$

5.

Considera el conjunto de puntos que están dentro de, o a no más de una unidad de, un paralelepípedo rectangular (caja) que mide $3$ por $4$ por $5$ unidades. Dado que el volumen de este conjunto es $\frac{m + n\pi}{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos, y $n$ y $p$ son primos entre sí, halla $m + n + p.$

Consider the set of points that are inside or within one unit of a rectangular parallelepiped (box) that measures $3$ by $4$ by $5$ units. Given that the volume of this set is $\frac{m + n\pi}{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, and $n$ and $p$ are relatively prime, find $m + n + p.$

Respuesta

Conceptos:volumen prisma rectangular cilindro esfera

Nivel de dificultad: 2210

Solución:

La región consta de la caja misma, seis losas de grosor $1$ que se proyectan hacia afuera desde las caras, cuartos de cilindro de radio $1$ a lo largo de las doce aristas, y octavos de esfera de radio $1$ en los ocho vértices. La caja tiene volumen $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60,$ y las losas suman $2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 94.$

Los cuatro cuartos de cilindro a lo largo de las aristas paralelas a cada dimensión se combinan en un cilindro completo, así que los cilindros suman $\pi \cdot 1^2 (3 + 4 + 5) = 12\pi.$ Los ocho octantes se combinan en una esfera unitaria de volumen $\frac{4\pi}{3}.$

El volumen total es $\begin{aligned} &60 + 94 + 12\pi \\ &\quad {}+ \frac{4\pi}{3} = 154 + \frac{40\pi}{3} \\ &= \frac{462 + 40\pi}{3}, \end{aligned}$ así que $m + n + p$ $= 462 + 40 + 3$ $= 505.$

The region consists of the box itself, six slabs of thickness $1$ projecting outward from the faces, quarter-cylinders of radius $1$ along the twelve edges, and eighth-spheres of radius $1$ at the eight corners. The box has volume $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60,$ and the slabs total $2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 94.$

The four quarter-cylinders along edges parallel to each dimension combine into a full cylinder, so the cylinders total $\pi \cdot 1^2 (3 + 4 + 5) = 12\pi.$ The eight octants combine into one unit sphere of volume $\frac{4\pi}{3}.$

The total volume is $\begin{aligned} &60 + 94 + 12\pi \\ &\quad {}+ \frac{4\pi}{3} = 154 + \frac{40\pi}{3} \\ &= \frac{462 + 40\pi}{3}, \end{aligned}$ so $m + n + p$ $= 462 + 40 + 3$ $= 505.$

6.

La suma de las áreas de todos los triángulos cuyos vértices son también vértices de un cubo de $1$ por $1$ por $1$ es $m + \sqrt{n} + \sqrt{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros. Halla $m + n + p.$

The sum of the areas of all triangles whose vertices are also vertices of a $1$ by $1$ by $1$ cube is $m + \sqrt{n} + \sqrt{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are integers. Find $m + n + p.$

Respuesta

Conceptos:geometría del cubo área del triángulo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2370

Solución:

Cada lado de un triángulo así es una arista del cubo, una diagonal de cara de longitud $\sqrt{2},$ o una diagonal espacial de longitud $\sqrt{3}.$ Solo aparecen tres formas. Un triángulo de dos aristas adyacentes y una diagonal de cara es rectángulo con área $\frac{1}{2};$ hay $4$ por cara, o $24.$ Un triángulo de tres diagonales de cara es equilátero con área $\frac{\sqrt{3}}{2};$ cada uno queda determinado por los tres vértices adyacentes a uno de los $8$ vértices del cubo, así que hay $8.$ Un triángulo de una arista, una diagonal de cara y una diagonal espacial es rectángulo con catetos $1$ y $\sqrt{2},$ así que su área es $\frac{\sqrt{2}}{2};$ cada una de las $4$ diagonales espaciales forma uno con cada uno de los $6$ vértices fuera de esa diagonal, así que hay $24.$ (En efecto $24 + 8 + 24 = \binom{8}{3} = 56.$ )

El área total es $\begin{aligned} &24 \cdot \frac{1}{2} + 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 12 + 4\sqrt{3} + 12\sqrt{2} \\ &= 12 + \sqrt{48} + \sqrt{288}, \end{aligned}$ así que $m + n + p$ $= 12 + 48 + 288$ $= 348.$

Every side of such a triangle is a cube edge, a face diagonal of length $\sqrt{2},$ or a space diagonal of length $\sqrt{3}.$ Only three shapes occur. A triangle of two adjacent edges and a face diagonal is right with area $\frac{1}{2};$ there are $4$ per face, or $24.$ A triangle of three face diagonals is equilateral with area $\frac{\sqrt{3}}{2};$ each is determined by the three vertices adjacent to one of the $8$ cube vertices, so there are $8.$ A triangle of an edge, a face diagonal, and a space diagonal is right with legs $1$ and $\sqrt{2},$ so its area is $\frac{\sqrt{2}}{2};$ each of the $4$ space diagonals forms one with each of the $6$ vertices off that diagonal, so there are $24.$ (Indeed $24 + 8 + 24 = \binom{8}{3} = 56.$ )

The total area is $\begin{aligned} &24 \cdot \frac{1}{2} + 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 12 + 4\sqrt{3} + 12\sqrt{2} \\ &= 12 + \sqrt{48} + \sqrt{288}, \end{aligned}$ so $m + n + p$ $= 12 + 48 + 288$ $= 348.$

7.

El punto $B$ está en $\overline{AC}$ con $AB = 9$ y $BC = 21.$ El punto $D$ no está en $\overline{AC}$ de modo que $AD = CD,$ y $AD$ y $BD$ son enteros. Sea $s$ la suma de todos los perímetros posibles del $\triangle ACD.$ Halla $s.$

Point $B$ is on $\overline{AC}$ with $AB = 9$ and $BC = 21.$ Point $D$ is not on $\overline{AC}$ so that $AD = CD,$ and $AD$ and $BD$ are integers. Let $s$ be the sum of all possible perimeters of $\triangle ACD.$ Find $s.$

Respuesta

Conceptos:diferencia de cuadrados Teorema de Pitágoras Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Sean $AD = CD = a$ y $BD = b,$ y sea $E$ el pie de la perpendicular desde $D$ hacia $\overline{AC}.$ Como $AD = CD,$ el punto $E$ es el punto medio de $\overline{AC},$ así que $AE = 15$ y $BE = 15 - 9 = 6.$ Los triángulos rectángulos $DEA$ y $DEB$ comparten el cateto $DE,$ así que $a^2 - 15^2 = DE^2 = b^2 - 6^2,$ es decir $(a+b)(a-b) = 189.$

Las factorizaciones $189 = 189 \cdot 1$ $= 63 \cdot 3$ $= 27 \cdot 7 = 21 \cdot 9$ dan $(a, b) = (95, 94),$ $(33, 30),$ $(17, 10),$ y $(15, 6).$ La última se descarta: $b = 6$ pondría a $D$ sobre $\overline{AC}.$ Cada par válido da un triángulo con perímetro $2a + 30.$

Por lo tanto $s = (190 + 30)$ $+ (66 + 30)$ $+ (34 + 30)$ $= 220 + 96 + 64$ $= 380.$

Let $AD = CD = a$ and $BD = b,$ and let $E$ be the foot of the perpendicular from $D$ to $\overline{AC}.$ Since $AD = CD,$ point $E$ is the midpoint of $\overline{AC},$ so $AE = 15$ and $BE = 15 - 9 = 6.$ The right triangles $DEA$ and $DEB$ share leg $DE,$ so $a^2 - 15^2 = DE^2 = b^2 - 6^2,$ that is $(a+b)(a-b) = 189.$

The factorizations $189 = 189 \cdot 1$ $= 63 \cdot 3$ $= 27 \cdot 7 = 21 \cdot 9$ give $(a, b) = (95, 94),$ $(33, 30),$ $(17, 10),$ and $(15, 6).$ The last is rejected: $b = 6$ would put $D$ on $\overline{AC}.$ Each valid pair gives a triangle with perimeter $2a + 30.$

Therefore $s = (190 + 30)$ $+ (66 + 30)$ $+ (34 + 30)$ $= 220 + 96 + 64$ $= 380.$

8.

En una sucesión creciente de cuatro enteros positivos, los primeros tres términos forman una progresión aritmética, los últimos tres términos forman una progresión geométrica, y el primer y el cuarto término difieren en $30.$ Halla la suma de los cuatro términos.

In an increasing sequence of four positive integers, the first three terms form an arithmetic progression, the last three terms form a geometric progression, and the first and fourth terms differ by $30.$ Find the sum of the four terms.

Respuesta

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2210

Solución:

Escribe los términos como $a,$ $a + d,$ $a + 2d,$ y $a + 30,$ donde $a$ y $d$ son enteros positivos. La condición geométrica sobre los últimos tres términos dice $(a + 30)(a + d) = (a + 2d)^2.$ Desarrollando ambos lados y simplificando, $30a + 30d = 3ad + 4d^2,$ es decir $3a(10 - d) = 2d(2d - 15).$

Como $a, d \gt 0,$ los factores $10 - d$ y $2d - 15$ deben tener el mismo signo, lo que obliga a $7.5 \lt d \lt 10,$ así que $d = 8$ o $d = 9.$ Para $d = 8,$ obtenemos $6a = 16,$ que no tiene solución entera. Para $d = 9,$ obtenemos $3a = 54,$ así que $a = 18.$

La sucesión es $18, 27, 36, 48$ (en efecto $27, 36, 48$ tiene razón $\frac{4}{3}$ ), y la suma es $18 + 27 + 36 + 48 = 129.$

Write the terms as $a,$ $a + d,$ $a + 2d,$ and $a + 30,$ where $a$ and $d$ are positive integers. The geometric condition on the last three terms says $(a + 30)(a + d) = (a + 2d)^2.$ Expanding both sides and simplifying, $30a + 30d = 3ad + 4d^2,$ that is $3a(10 - d) = 2d(2d - 15).$

Since $a, d \gt 0,$ the factors $10 - d$ and $2d - 15$ must have the same sign, forcing $7.5 \lt d \lt 10,$ so $d = 8$ or $d = 9.$ For $d = 8,$ we get $6a = 16,$ which has no integer solution. For $d = 9,$ we get $3a = 54,$ so $a = 18.$

The sequence is $18, 27, 36, 48$ (indeed $27, 36, 48$ has ratio $\frac{4}{3}$ ), and the sum is $18 + 27 + 36 + 48 = 129.$

9.

Un entero entre $1000$ y $9999,$ inclusive, se llama equilibrado si la suma de sus dos dígitos más a la izquierda es igual a la suma de sus dos dígitos más a la derecha. ¿Cuántos enteros equilibrados hay?

An integer between $1000$ and $9999,$ inclusive, is called balanced if the sum of its two leftmost digits equals the sum of its two rightmost digits. How many balanced integers are there?

Respuesta

Conceptos:dígitos análisis por casos suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 2430

Solución:

Agrupa los enteros equilibrados por la suma común $s$ de cada par de dígitos, donde $1 \le s \le 18.$ Para $s \le 9,$ el par de la izquierda (primer dígito al menos $1$ ) puede formarse de $s$ maneras y el par de la derecha de $s + 1$ maneras. Para $s \ge 10,$ ambos dígitos de cada par deben ser al menos $s - 9,$ lo que da $19 - s$ maneras para cada par.

La cuenta total es $\begin{aligned} &\sum_{s=1}^{9} s(s+1) + \sum_{s=10}^{18} (19 - s)^2 \\ &= \sum_{s=1}^{9} (s^2 + s) + \sum_{k=1}^{9} k^2 \\ &= 2 \cdot 285 + 45 = 615. \end{aligned}$

Group the balanced integers by the common sum $s$ of each digit pair, where $1 \le s \le 18.$ For $s \le 9,$ the leftmost pair (first digit at least $1$ ) can be formed in $s$ ways and the rightmost pair in $s + 1$ ways. For $s \ge 10,$ both digits of each pair must be at least $s - 9,$ giving $19 - s$ ways for each pair.

The total count is $\begin{aligned} &\sum_{s=1}^{9} s(s+1) + \sum_{s=10}^{18} (19 - s)^2 \\ &= \sum_{s=1}^{9} (s^2 + s) + \sum_{k=1}^{9} k^2 \\ &= 2 \cdot 285 + 45 = 615. \end{aligned}$

10.

El triángulo $ABC$ es isósceles con $AC = BC$ y $\angle ACB = 106^\circ.$ El punto $M$ está en el interior del triángulo de modo que $\angle MAC = 7^\circ$ y $\angle MCA = 23^\circ.$ Halla el número de grados de $\angle CMB.$

Triangle $ABC$ is isosceles with $AC = BC$ and $\angle ACB = 106^\circ.$ Point $M$ is in the interior of the triangle so that $\angle MAC = 7^\circ$ and $\angle MCA = 23^\circ.$ Find the number of degrees in $\angle CMB.$

Respuesta

Conceptos:ley de los senos ley de los cosenos triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Supón que $AC = BC = 1.$ En el triángulo $AMC,$ los ángulos en $A$ y $C$ son $7^\circ$ y $23^\circ,$ así que $\angle AMC = 150^\circ,$ y la ley de los senos da $CM = \frac{\sin 7^\circ}{\sin 150^\circ} = 2\sin 7^\circ.$

Además $\angle MCB = 106^\circ - 23^\circ = 83^\circ,$ cuyo coseno es $\sin 7^\circ.$ La ley de los cosenos en el triángulo $BMC$ da entonces $\begin{aligned} MB^2 &= CM^2 + CB^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot CM \cdot CB \cos 83^\circ \\ &= 4\sin^2 7^\circ + 1 \\ &\quad {}- 4\sin^2 7^\circ = 1. \end{aligned}$

Así que $MB = 1 = CB,$ lo que hace que el triángulo $BMC$ sea isósceles con $\angle CMB = \angle MCB = 83^\circ.$ La respuesta es $83.$

Assume $AC = BC = 1.$ In triangle $AMC,$ the angles at $A$ and $C$ are $7^\circ$ and $23^\circ,$ so $\angle AMC = 150^\circ,$ and the Law of Sines gives $CM = \frac{\sin 7^\circ}{\sin 150^\circ} = 2\sin 7^\circ.$

Also $\angle MCB = 106^\circ - 23^\circ = 83^\circ,$ whose cosine is $\sin 7^\circ.$ The Law of Cosines in triangle $BMC$ then gives $\begin{aligned} MB^2 &= CM^2 + CB^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot CM \cdot CB \cos 83^\circ \\ &= 4\sin^2 7^\circ + 1 \\ &\quad {}- 4\sin^2 7^\circ = 1. \end{aligned}$

So $MB = 1 = CB,$ making triangle $BMC$ isosceles with $\angle CMB = \angle MCB = 83^\circ.$ The answer is $83.$

11.

Se elige un ángulo $x$ al azar del intervalo $0^\circ \lt x \lt 90^\circ.$ Sea $p$ la probabilidad de que los números $\sin^2 x,$ $\cos^2 x,$ y $\sin x \cos x$ no sean las longitudes de los lados de un triángulo. Dado que $p = \frac{d}{n},$ donde $d$ es el número de grados de $\arctan m$ y $m$ y $n$ son enteros positivos con $m + n \lt 1000,$ halla $m + n.$

An angle $x$ is chosen at random from the interval $0^\circ \lt x \lt 90^\circ.$ Let $p$ be the probability that the numbers $\sin^2 x,$ $\cos^2 x,$ and $\sin x \cos x$ are not the lengths of the sides of a triangle. Given that $p = \frac{d}{n},$ where $d$ is the number of degrees in $\arctan m$ and $m$ and $n$ are positive integers with $m + n \lt 1000,$ find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad geométrica desigualdad triangular identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

Reemplazar $x$ por $90^\circ - x$ intercambia $\sin x$ y $\cos x,$ así que la probabilidad de fallo en $(45^\circ, 90^\circ)$ coincide con la de $(0^\circ, 45^\circ),$ y basta considerar $0^\circ \lt x \le 45^\circ.$ Allí $\cos^2 x \ge \sin x \cos x \ge \sin^2 x,$ así que los tres números no forman un triángulo exactamente cuando $\cos^2 x \ge \sin^2 x + \sin x \cos x.$

Como $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ y $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x,$ esto dice $\cos 2x \ge \frac{1}{2} \sin 2x,$ es decir $\tan 2x \le 2.$ Como la tangente crece en este rango, eso ocurre exactamente para $x \le \frac{1}{2}\arctan 2.$

Por lo tanto $p = \frac{\frac{1}{2}\arctan 2}{45^\circ} = \frac{\arctan 2}{90^\circ},$ así que $m = 2$ y $n = 90,$ con $m + n = 92 \lt 1000,$ y la respuesta es $92.$

Replacing $x$ by $90^\circ - x$ swaps $\sin x$ and $\cos x,$ so the failure probability on $(45^\circ, 90^\circ)$ matches that on $(0^\circ, 45^\circ),$ and it suffices to consider $0^\circ \lt x \le 45^\circ.$ There $\cos^2 x \ge \sin x \cos x \ge \sin^2 x,$ so the three numbers fail to form a triangle exactly when $\cos^2 x \ge \sin^2 x + \sin x \cos x.$

Since $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ and $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x,$ this says $\cos 2x \ge \frac{1}{2} \sin 2x,$ i.e. $\tan 2x \le 2.$ Because tangent increases on this range, that happens exactly for $x \le \frac{1}{2}\arctan 2.$

Therefore $p = \frac{\frac{1}{2}\arctan 2}{45^\circ} = \frac{\arctan 2}{90^\circ},$ so $m = 2$ and $n = 90,$ with $m + n = 92 \lt 1000,$ and the answer is $92.$

12.

En el cuadrilátero convexo $ABCD,$ $\angle A \cong \angle C,$ $AB = CD = 180,$ y $AD \ne BC.$ El perímetro de $ABCD$ es $640.$ Halla $\lfloor 1000 \cos A \rfloor.$ (La notación $\lfloor x \rfloor$ significa el mayor entero que es menor o igual que $x.$ )

In convex quadrilateral $ABCD,$ $\angle A \cong \angle C,$ $AB = CD = 180,$ and $AD \ne BC.$ The perimeter of $ABCD$ is $640.$ Find $\lfloor 1000 \cos A \rfloor.$ (The notation $\lfloor x \rfloor$ means the greatest integer that is less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Conceptos:ley de los cosenos diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Sean $\angle A = \angle C = \alpha,$ $AD = x,$ y $BC = y.$ Aplicando la ley de los cosenos a la diagonal $BD$ en los triángulos $ABD$ y $CDB,$ $\begin{aligned} BD^2 &= x^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180x\cos\alpha \\ &= y^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180y\cos\alpha. \end{aligned}$

Reordenando se obtiene $x^2 - y^2 = 2 \cdot 180(x - y)\cos\alpha,$ y como $x \ne y$ podemos dividir entre $x - y:$ $\begin{aligned} \cos\alpha &= \frac{x + y}{360} \\ &= \frac{640 - 2 \cdot 180}{360} \\ &= \frac{280}{360} = \frac{7}{9}. \end{aligned}$

Entonces $1000\cos A = \frac{7000}{9} = 777.7\ldots,$ así que $\lfloor 1000\cos A \rfloor = 777.$

Let $\angle A = \angle C = \alpha,$ $AD = x,$ and $BC = y.$ Applying the Law of Cosines to diagonal $BD$ in triangles $ABD$ and $CDB,$ $\begin{aligned} BD^2 &= x^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180x\cos\alpha \\ &= y^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180y\cos\alpha. \end{aligned}$

Rearranging gives $x^2 - y^2 = 2 \cdot 180(x - y)\cos\alpha,$ and since $x \ne y$ we may divide by $x - y:$ $\begin{aligned} \cos\alpha &= \frac{x + y}{360} \\ &= \frac{640 - 2 \cdot 180}{360} \\ &= \frac{280}{360} = \frac{7}{9}. \end{aligned}$

Then $1000\cos A = \frac{7000}{9} = 777.7\ldots,$ so $\lfloor 1000\cos A \rfloor = 777.$

13.

Sea $N$ la cantidad de enteros positivos que son menores o iguales que $2003$ y cuya representación en base $2$ tiene más $1$ 's que $0$ 's. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $N$ be the number of positive integers that are less than or equal to $2003$ and whose base- $2$ representation has more $1$ 's than $0$ 's. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:base numérica combinaciones Triángulo de Pascal simetría

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Como $2003 \lt 2^{11} = 2048,$ todo entero en cuestión tiene a lo sumo $11$ dígitos binarios. Un número binario de $(d+1)$ dígitos empieza con $1,$ y elegir $k$ $1$ 's más entre los $d$ dígitos restantes da $\binom{d}{k}$ números con $k + 1$ unos; los $1$ 's superan a los $0$ 's exactamente cuando $k \ge \frac{d}{2}.$ Así que la cuenta sobre todos los números hasta $2047$ es el total de las entradas en el centro o a la derecha del centro de las filas $0$ a $10$ del triángulo de Pascal.

Esas filas suman $1 + 2 + \cdots + 2^{10} = 2047,$ y las entradas centrales suman $\sum_{i=0}^{5}\binom{2i}{i}$ $= 1 + 2 + 6 + 20 + 70 + 252$ $= 351,$ así que por simetría la cuenta es $\frac{2047 + 351}{2} = 1199.$

Los $44$ enteros de $2004$ a $2047$ superan todos $1984 = 11111000000_2,$ así que cada uno tiene el prefijo $11111$ más al menos un $1,$ por lo que tiene al menos seis $1$ 's entre once dígitos, todos los $44$ fueron contados. Por lo tanto $N = 1199 - 44 = 1155,$ cuyo residuo al dividir entre $1000$ es $155.$

Since $2003 \lt 2^{11} = 2048,$ every integer in question has at most $11$ binary digits. A $(d+1)$ -digit binary number starts with $1,$ and choosing $k$ more $1$ 's among the remaining $d$ digits gives $\binom{d}{k}$ numbers with $k + 1$ ones; the $1$ 's outnumber the $0$ 's exactly when $k \ge \frac{d}{2}.$ So the count over all numbers up to $2047$ is the total of the entries on or to the right of the center of rows $0$ through $10$ of Pascal's triangle.

Those rows sum to $1 + 2 + \cdots + 2^{10} = 2047,$ and the central entries sum to $\sum_{i=0}^{5}\binom{2i}{i}$ $= 1 + 2 + 6 + 20 + 70 + 252$ $= 351,$ so by symmetry the count is $\frac{2047 + 351}{2} = 1199.$

The $44$ integers from $2004$ to $2047$ all exceed $1984 = 11111000000_2,$ so each has the prefix $11111$ plus at least one more $1,$ hence at least six $1$ 's among eleven digits — all $44$ were counted. Therefore $N = 1199 - 44 = 1155,$ whose remainder upon division by $1000$ is $155.$

14.

La representación decimal de $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí y $m \lt n,$ contiene los dígitos $2, 5,$ y $1$ de forma consecutiva, y en ese orden. Halla el menor valor de $n$ para el cual esto es posible.

The decimal representation of $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers and $m \lt n,$ contains the digits $2, 5,$ and $1$ consecutively, and in that order. Find the smallest value of $n$ for which this is possible.

Respuesta

Conceptos:decimal Ecuación diofántica acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Basta con hacer que $251$ aparezca inmediatamente después del punto decimal: si $\frac{m}{n} = .A251\ldots$ con $A$ un bloque de $k \ge 1$ dígitos, entonces $10^k \frac{m}{n} - A = .251\ldots$ es una fracción entre $0$ y $1$ cuyo denominador reducido es a lo sumo $n.$ Así que necesitamos el menor $n$ que admita un $m$ con $\frac{251}{1000} \le \frac{m}{n} \lt \frac{252}{1000},$ es decir $0 \le 1000m - 251n \lt n.$

Así, $251n$ debe caer a menos de $n$ por debajo de un múltiplo de $1000.$ Prueba con $n = 4m - 1:$ entonces $251n = 251(4m - 1)$ $= 1000m + (4m - 251),$ así que para $m \le 62$ esto queda por debajo de $1000m$ en $251 - 4m.$ El requisito $251 - 4m \lt n = 4m - 1$ da $m \gt 31.5,$ así que $m = 32$ y $n = 127$ funcionan: en efecto $\frac{32}{127} = .2519\ldots$ Una breve comprobación de la misma desigualdad muestra que ningún $n$ menor coloca $1000m$ a menos de $n$ por encima de un múltiplo de $251,$ ya que el déficit $251 - 4m$ (o sus análogos para otros residuos) sigue siendo demasiado grande.

El menor valor posible de $n$ es $127.$

It suffices to make $251$ appear immediately after the decimal point: if $\frac{m}{n} = .A251\ldots$ with $A$ a block of $k \ge 1$ digits, then $10^k \frac{m}{n} - A = .251\ldots$ is a fraction between $0$ and $1$ whose reduced denominator is at most $n.$ So we need the smallest $n$ admitting an $m$ with $\frac{251}{1000} \le \frac{m}{n} \lt \frac{252}{1000},$ that is $0 \le 1000m - 251n \lt n.$

Thus $251n$ must land within $n$ below a multiple of $1000.$ Try $n = 4m - 1:$ then $251n = 251(4m - 1)$ $= 1000m + (4m - 251),$ so for $m \le 62$ this lies below $1000m$ by $251 - 4m.$ The requirement $251 - 4m \lt n = 4m - 1$ gives $m \gt 31.5,$ so $m = 32$ and $n = 127$ work: indeed $\frac{32}{127} = .2519\ldots$ A short check of the same inequality shows no smaller $n$ puts $1000m$ within $n$ above a multiple of $251,$ since the deficit $251 - 4m$ (or its analogues for other residues) stays too large.

The smallest possible value of $n$ is $127.$

15.

En el $\triangle ABC,$ $AB = 360,$ $BC = 507,$ y $CA = 780.$ Sea $M$ el punto medio de $\overline{CA},$ y sea $D$ el punto sobre $\overline{CA}$ tal que $\overline{BD}$ biseca el ángulo $ABC.$ Sea $F$ el punto sobre $\overline{BC}$ tal que $\overline{DF} \perp \overline{BD}.$ Supón que $\overline{DF}$ corta a $\overline{BM}$ en $E.$ La razón $DE : EF$ puede escribirse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In $\triangle ABC,$ $AB = 360,$ $BC = 507,$ and $CA = 780.$ Let $M$ be the midpoint of $\overline{CA},$ and let $D$ be the point on $\overline{CA}$ such that $\overline{BD}$ bisects angle $ABC.$ Let $F$ be the point on $\overline{BC}$ such that $\overline{DF} \perp \overline{BD}.$ Suppose that $\overline{DF}$ meets $\overline{BM}$ at $E.$ The ratio $DE : EF$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:teorema de la bisectriz rectas paralelas semejanza

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Escribe $c = AB = 360,$ $a = BC = 507,$ $b = CA = 780.$ Extiende $\overline{FD}$ más allá de $D$ hasta encontrar el rayo $BA$ más allá de $A$ en $G.$ En el triángulo $BGF,$ el segmento $\overline{BD}$ es a la vez una bisectriz y una altura, así que $BG = BF = t.$ La bisectriz también da $\frac{CD}{DA} = \frac{a}{c},$ así que el teorema de Menelao para la recta $GDF$ que cruza el triángulo $ABC$ dice $\begin{aligned} &\frac{AG}{GB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CD}{DA} \\ &= \frac{t - c}{t} \cdot \frac{t}{a - t} \cdot \frac{a}{c} = 1, \end{aligned}$ así que $t = \frac{2ac}{a + c}.$

Ahora sea $F_1$ el punto sobre $\overline{AC}$ con $\overline{FF_1} \parallel \overline{BM}.$ Como $E$ está sobre $\overline{BM},$ tenemos $\overline{EM} \parallel \overline{FF_1},$ así que los triángulos $DEM$ y $DFF_1$ son semejantes y $\frac{DE}{EF} = \frac{DM}{MF_1}.$ La razón de la bisectriz da $AD = \frac{bc}{a + c},$ así que $DM = \frac{b}{2} - \frac{bc}{a+c} = \frac{b(a - c)}{2(a + c)}.$ También $CF = a - t = \frac{a(a - c)}{a + c},$ así que $CF_1 = CM \cdot \frac{CF}{CB} = \frac{b}{2} \cdot \frac{a - c}{a + c}$ y $MF_1 = \frac{b}{2}\left(1 - \frac{a - c}{a + c}\right) = \frac{bc}{a + c}.$

Por lo tanto $\begin{aligned} \frac{DE}{EF} &= \frac{DM}{MF_1} = \frac{a - c}{2c} \\ &= \frac{147}{720} = \frac{49}{240}, \end{aligned}$ y $m + n = 49 + 240 = 289.$

Write $c = AB = 360,$ $a = BC = 507,$ $b = CA = 780.$ Extend $\overline{FD}$ beyond $D$ to meet ray $BA$ beyond $A$ at $G.$ In triangle $BGF,$ segment $\overline{BD}$ is both an angle bisector and an altitude, so $BG = BF = t.$ The bisector also gives $\frac{CD}{DA} = \frac{a}{c},$ so Menelaus' theorem for line $GDF$ crossing triangle $ABC$ says $\begin{aligned} &\frac{AG}{GB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CD}{DA} \\ &= \frac{t - c}{t} \cdot \frac{t}{a - t} \cdot \frac{a}{c} = 1, \end{aligned}$ so $t = \frac{2ac}{a + c}.$

Now let $F_1$ be the point on $\overline{AC}$ with $\overline{FF_1} \parallel \overline{BM}.$ Since $E$ lies on $\overline{BM},$ we have $\overline{EM} \parallel \overline{FF_1},$ so triangles $DEM$ and $DFF_1$ are similar and $\frac{DE}{EF} = \frac{DM}{MF_1}.$ The bisector ratio gives $AD = \frac{bc}{a + c},$ so $DM = \frac{b}{2} - \frac{bc}{a+c} = \frac{b(a - c)}{2(a + c)}.$ Also $CF = a - t = \frac{a(a - c)}{a + c},$ so $CF_1 = CM \cdot \frac{CF}{CB} = \frac{b}{2} \cdot \frac{a - c}{a + c}$ and $MF_1 = \frac{b}{2}\left(1 - \frac{a - c}{a + c}\right) = \frac{bc}{a + c}.$

Therefore $\begin{aligned} \frac{DE}{EF} &= \frac{DM}{MF_1} = \frac{a - c}{2c} \\ &= \frac{147}{720} = \frac{49}{240}, \end{aligned}$ and $m + n = 49 + 240 = 289.$