Question

Dos puntos distintos, $C$ y $D,$ están en el mismo lado de la recta $AB$ de modo que $\triangle ABC$ y $\triangle BAD$ son congruentes, con $AB = 9,$ $BC = AD = 10,$ y $CA = DB = 17.$ La intersección de estas dos regiones triangulares tiene área $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Two different points, $C$ and $D,$ lie on the same side of line $AB$ so that $\triangle ABC$ and $\triangle BAD$ are congruent with $AB = 9,$ $BC = AD = 10,$ and $CA = DB = 17.$ The intersection of these two triangular regions has area $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Coloque $A = (0, 0)$ y $B = (9, 0).$ De $CA = 17$ y $BC = 10,$ resolviendo $x^2 + y^2 = 289$ y $(x - 9)^2 + y^2 = 100$ se obtiene $C = (15, 8).$ La congruencia $\triangle ABC \cong \triangle BAD$ intercambia $A$ y $B,$ así que $D$ es la reflexión de $C$ respecto a la recta $x = \frac{9}{2},$ es decir $D = (-6, 8).$

Un punto está en el triángulo $ABC$ exactamente cuando está sobre o por encima de $\overline{AB},$ del lado de $B$ respecto a la recta $AC,$ y del lado de $A$ respecto a la recta $BC;$ de manera análoga para el triángulo $BAD.$ En el solapamiento las restricciones activas son $y \ge 0,$ la recta $AC,$ y la recta $BD,$ así que la intersección es el triángulo de base $\overline{AB}$ y vértice $E = AC \cap BD.$ La recta $AC$ es $y = \frac{8x}{15}$ y la recta $BD$ es $y = -\frac{8(x - 9)}{15},$ que se cortan en $E = \left(\frac{9}{2}, \frac{12}{5}\right).$

El área es $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{12}{5} = \frac{54}{5},$ así que $m + n = 54 + 5 = 59.$

Place $A = (0, 0)$ and $B = (9, 0).$ From $CA = 17$ and $BC = 10,$ solving $x^2 + y^2 = 289$ and $(x - 9)^2 + y^2 = 100$ gives $C = (15, 8).$ The congruence $\triangle ABC \cong \triangle BAD$ swaps $A$ and $B,$ so $D$ is the reflection of $C$ across the line $x = \frac{9}{2},$ namely $D = (-6, 8).$

A point lies in triangle $ABC$ exactly when it is on or above $\overline{AB},$ on $B$ 's side of line $AC,$ and on $A$ 's side of line $BC;$ similarly for triangle $BAD.$ In the overlap the binding constraints are $y \ge 0,$ line $AC,$ and line $BD,$ so the intersection is the triangle with base $\overline{AB}$ and apex $E = AC \cap BD.$ Line $AC$ is $y = \frac{8x}{15}$ and line $BD$ is $y = -\frac{8(x - 9)}{15},$ which meet at $E = \left(\frac{9}{2}, \frac{12}{5}\right).$

The area is $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{12}{5} = \frac{54}{5},$ so $m + n = 54 + 5 = 59.$

2019 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años