Question

Se da que:

(1) $x$ y $y$ son ambos enteros entre $100$ y $999,$ inclusive;

(2) $y$ es el número formado al invertir el orden de las cifras de $x;$ y

(3) $z = |x - y|.$

¿Cuántos valores distintos de $z$ son posibles?

Given that

(1) $x$ and $y$ are both integers between $100$ and $999,$ inclusive;

(2) $y$ is the number formed by reversing the digits of $x;$ and

(3) $z = |x - y|.$

How many distinct values of $z$ are possible?

Respuesta

Solución:

Escribe $x = 100h + 10t + u$ con cifras $h,$ $t,$ $u.$ Entonces $y = 100u + 10t + h,$ así que $z = |x - y| = 99\,|h - u|.$

Como $x$ y $y$ son ambos números de tres cifras, tanto $h$ como $u$ recorren de $1$ a $9,$ así que $|h - u|$ puede ser cualquiera de $0, 1, \ldots, 8.$ Cada elección da un múltiplo distinto de $99,$ por lo que hay $9$ valores distintos de $z.$

Write $x = 100h + 10t + u$ with digits $h,$ $t,$ $u.$ Then $y = 100u + 10t + h,$ so $z = |x - y| = 99\,|h - u|.$

Since both $x$ and $y$ are three-digit numbers, both $h$ and $u$ run from $1$ to $9,$ so $|h - u|$ can be any of $0, 1, \ldots, 8.$ Each choice gives a different multiple of $99,$ so there are $9$ distinct values of $z.$

2002 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años