Question

Se marcan quince puntos distintos en $\triangle ABC:$ los $3$ vértices $A,$ $B,$ y $C;$ $3$ puntos más en el lado $\overline{AB};$ $4$ puntos más en el lado $\overline{BC};$ y $5$ puntos más en el lado $\overline{CA}.$ Halla el número de triángulos con área positiva cuyos vértices están entre estos $15$ puntos.

Fifteen distinct points are designated on $\triangle ABC:$ the $3$ vertices $A,$ $B,$ and $C;$ $3$ other points on side $\overline{AB};$ $4$ other points on side $\overline{BC};$ and $5$ other points on side $\overline{CA}.$ Find the number of triangles with positive area whose vertices are among these $15$ points.

Respuesta

Solución:

Hay $\binom{15}{3} = 455$ formas de elegir $3$ de los puntos. Una elección no produce un triángulo de área positiva exactamente cuando los $3$ puntos son colineales, lo que ocurre solo cuando los tres están sobre un mismo lado del triángulo. Incluyendo sus extremos, el lado $\overline{AB}$ contiene $5$ puntos, $\overline{BC}$ contiene $6,$ y $\overline{CA}$ contiene $7,$ lo que da $\binom{5}{3} + \binom{6}{3} + \binom{7}{3}$ $= 10 + 20 + 35 = 65$ ternas colineales.

El número de triángulos es $455 - 65 = 390.$

There are $\binom{15}{3} = 455$ ways to choose $3$ of the points. A choice fails to give a triangle of positive area exactly when the $3$ points are collinear, which happens only when all three lie on one side of the triangle. Including its endpoints, side $\overline{AB}$ contains $5$ points, $\overline{BC}$ contains $6,$ and $\overline{CA}$ contains $7,$ giving $\binom{5}{3} + \binom{6}{3} + \binom{7}{3}$ $= 10 + 20 + 35 = 65$ collinear triples.

The number of triangles is $455 - 65 = 390.$

2017 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años