Question

Antes de empezar a pintar, Bill tenía $130$ onzas de pintura azul, $164$ onzas de pintura roja y $188$ onzas de pintura blanca. Bill pintó cuatro franjas del mismo tamaño en una pared: una franja azul, una roja, una blanca y una rosada. El rosado es una mezcla de rojo y blanco, no necesariamente en cantidades iguales. Cuando Bill terminó, le quedaban cantidades iguales de pintura azul, roja y blanca. Halla el número total de onzas de pintura que le quedaron a Bill.

Before starting to paint, Bill had $130$ ounces of blue paint, $164$ ounces of red paint, and $188$ ounces of white paint. Bill painted four equally sized stripes on a wall, making a blue stripe, a red stripe, a white stripe, and a pink stripe. Pink is a mixture of red and white, not necessarily in equal amounts. When Bill finished, he had equal amounts of blue, red, and white paint left. Find the total number of ounces of paint Bill had left.

Respuesta

Respuesta: 114

Conceptos:ecuación lineal manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Que sobren cantidades iguales significa que la pintura roja usada supera a la azul en $164 - 130,$ y de forma similar para la blanca

Equal leftovers mean the red used exceeds the blue used by $164 - 130,$ and similarly for white

Pista grande:

Todos esos excesos fueron a parar a la franja rosada, así que la pintura de una franja es $34 + 58$ onzas

Those excesses all went into the pink stripe, so one stripe’s worth of paint is $34 + 58$ ounces

Solución:

Supongamos que cada franja usó $s$ onzas de pintura. El azul se usó solo en la franja azul, así que se usaron $s$ onzas de azul. Como las tres cantidades sobrantes son iguales y los colores partían con $34$ y $58$ onzas de diferencia, el uso de rojo superó al de azul en $164 - 130 = 34$ onzas y el uso de blanco superó al de azul en $188 - 130 = 58$ onzas. Ese rojo y blanco adicionales se usaron exactamente en la franja rosada, así que $s = 34 + 58 = 92.$

Por lo tanto, a Bill le quedaron $130 - 92 = 38$ onzas de cada color, para un total de $3 \cdot 38 = 114$ onzas.

Say each stripe used $s$ ounces of paint. Blue was used only on the blue stripe, so $s$ ounces of blue were used. Since the three leftovers are equal and the colors started $34$ and $58$ ounces apart, red use exceeded blue use by $164 - 130 = 34$ ounces and white use exceeded blue use by $188 - 130 = 58$ ounces. That extra red and white is exactly the pink stripe, so $s = 34 + 58 = 92.$

Bill therefore had $130 - 92 = 38$ ounces of each color left, for a total of $3 \cdot 38 = 114$ ounces.

2009 AIME II Problema 1

Respuesta: 114

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años