Question

Halla la suma de todos los números racionales positivos menores que $10$ cuyo denominador es $30$ cuando se escriben en su mínima expresión.

Find the sum of all positive rational numbers that are less than $10$ and that have denominator $30$ when written in lowest terms.

Respuesta

Respuesta: 400

Conceptos:Función φ de Euler fracción sumatoria

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Escribe cada número como $\frac{k}{30}$ e impón la condición $\gcd(k,30)=1$

Write every number as $\frac{k}{30}$ and impose the condition $\gcd(k,30)=1$

Pista grande:

Agrupa los numeradores admisibles en diez bloques de longitud $30$

Group the eligible numerators into ten blocks of length $30$

Solución:

Los números son $\frac{k}{30}$ para $1\leq k\lt300$ y $\gcd(k,30)=1.$ Hay $\varphi(30)=8$ residuos admisibles en cada bloque de $30,$ cuya suma es $\frac{30\varphi(30)}{2}=120.$ Por lo tanto, la suma de todos los numeradores admisibles es $\begin{aligned}\sum_{q=0}^9(8\cdot30q+120)&=8\cdot30\cdot45\\&\quad+10\cdot120\\&=12000.\end{aligned}$ Al dividir entre $30$ , se obtiene $400.$

The numbers are $\frac{k}{30}$ for $1\leq k\lt300$ and $\gcd(k,30)=1.$ There are $\varphi(30)=8$ eligible residues in each block of $30,$ and their sum is $\frac{30\varphi(30)}{2}=120.$ Thus the sum of all eligible numerators is $\begin{aligned}\sum_{q=0}^9(8\cdot30q+120)&=8\cdot30\cdot45\\&\quad+10\cdot120\\&=12000.\end{aligned}$ Dividing by $30$ gives $400.$

1992 AIME Problema 1

Respuesta: 400

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años