Question

Sean $x,$ $y,$ y $z$ mayores que $1$ , y sea $w$ un número positivo tal que $\begin{aligned} \log_x w &= 24,\\ \log_y w &= 40,\\ \log_{xyz} w &= 12. \end{aligned}$ Halla $\log_z w.$

Let $x,$ $y,$ and $z$ all exceed $1$ and let $w$ be a positive number such that $\begin{aligned} \log_x w &= 24,\\ \log_y w &= 40,\\ \log_{xyz} w &= 12. \end{aligned}$ Find $\log_z w.$

Respuesta

Respuesta: 60

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Reescribe cada logaritmo dado con base $w$

Rewrite each given logarithm with base $w$

Pista grande:

Expande $\log_w(xyz)$ como una suma de tres logaritmos

Expand $\log_w(xyz)$ as a sum of three logarithms

Solución:

Al tomar los recíprocos de los logaritmos dados se obtiene $\begin{aligned} \log_w x&=\frac1{24},\\ \log_w y&=\frac1{40},\\ \log_w(xyz)&=\frac1{12}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\log_w z=\frac1{12}-\frac1{24}-\frac1{40} =\frac1{60}.$ Al tomar el recíproco se obtiene $\log_z w=60.$

Taking reciprocals of the given logarithms gives $\begin{aligned} \log_w x&=\frac1{24},\\ \log_w y&=\frac1{40},\\ \log_w(xyz)&=\frac1{12}. \end{aligned}$ Therefore $\log_w z=\frac1{12}-\frac1{24}-\frac1{40} =\frac1{60}.$ Taking the reciprocal yields $\log_z w=60.$

1983 AIME Problema 1

Respuesta: 60

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años