Question

¿Cuántos enteros pares entre $4000$ y $7000$ tienen sus cuatro cifras distintas?

How many even integers between $4000$ and $7000$ have four different digits?

Respuesta

Respuesta: 728

Conceptos:conteo básico análisis por casos dígitos

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Separa los casos según si la cifra de los millares es par o impar

Separate the cases according to whether the thousands digit is even or odd

Pista grande:

Después de elegir las cifras de los millares y de las unidades, cuenta en orden las opciones para las dos cifras intermedias

After choosing the thousands and units digits, count the choices for the two middle digits in order

Solución:

La cifra de los millares es $4,$ $5,$ o $6.$ Si es $4$ o $6,$ la cifra de las unidades tiene $4$ opciones entre $0,$ $2,$ $4,$ $6,$ y $8,$ después de lo cual las cifras de las centenas y las decenas tienen $8$ y $7$ opciones. Estos dos casos aportan $2\cdot4\cdot8\cdot7=448.$ Si la cifra de los millares es $5,$ están disponibles las $5$ cifras pares para las unidades, lo que aporta $5\cdot8\cdot7=280.$ Por lo tanto, el total es $448+280=728.$

The thousands digit is $4,$ $5,$ or $6.$ If it is $4$ or $6,$ the units digit has $4$ choices among $0,$ $2,$ $4,$ $6,$ and $8,$ after which the hundreds and tens digits have $8$ and $7$ choices. These two cases contribute $2\cdot4\cdot8\cdot7=448.$ If the thousands digit is $5,$ all $5$ even units digits are available, contributing $5\cdot8\cdot7=280.$ Thus the total is $448+280=728.$

1993 AIME Problema 1

Respuesta: 728

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años