Question

Halla el valor de $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{98}$ si $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ forman una progresión aritmética de diferencia común $1,$ y $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{98}=137.$

Find the value of $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{98}$ if $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is an arithmetic progression with common difference $1,$ and $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{98}=137.$

Respuesta

Respuesta: 93

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Empareja los términos de índice impar con los de índice par

Pair the odd-indexed terms with the even-indexed terms

Pista grande:

Cada término de índice par es $1$ mayor que el término de índice impar inmediatamente anterior

Each even-indexed term is $1$ greater than the odd-indexed term immediately before it

Solución:

Sean $E=a_2+a_4+\cdots+a_{98}$ y $O=a_1+a_3+\cdots+a_{97}.$ Hay $49$ pares, y $a_{2k}-a_{2k-1}=1,$ de modo que $E-O=49.$ Además, $E+O=137.$ Al sumar las dos ecuaciones se obtiene $2E=186,$ y por tanto $E=93.$

Let $E=a_2+a_4+\cdots+a_{98}$ and $O=a_1+a_3+\cdots+a_{97}.$ There are $49$ pairs, and $a_{2k}-a_{2k-1}=1,$ so $E-O=49.$ Also $E+O=137.$ Adding the two equations gives $2E=186,$ and hence $E=93.$

1984 AIME Problema 1

Respuesta: 93

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años