Soluciones del 1984 AIME | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Halla el valor de $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{98}$ si $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ forman una progresión aritmética de diferencia común $1,$ y $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{98}=137.$

Find the value of $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{98}$ if $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is an arithmetic progression with common difference $1,$ and $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{98}=137.$

Respuesta

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Empareja los términos de índice impar con los de índice par

Pair the odd-indexed terms with the even-indexed terms

Pista grande:

Cada término de índice par es $1$ mayor que el término de índice impar inmediatamente anterior

Each even-indexed term is $1$ greater than the odd-indexed term immediately before it

Solución:

Sean $E=a_2+a_4+\cdots+a_{98}$ y $O=a_1+a_3+\cdots+a_{97}.$ Hay $49$ pares, y $a_{2k}-a_{2k-1}=1,$ de modo que $E-O=49.$ Además, $E+O=137.$ Al sumar las dos ecuaciones se obtiene $2E=186,$ y por tanto $E=93.$

Let $E=a_2+a_4+\cdots+a_{98}$ and $O=a_1+a_3+\cdots+a_{97}.$ There are $49$ pairs, and $a_{2k}-a_{2k-1}=1,$ so $E-O=49.$ Also $E+O=137.$ Adding the two equations gives $2E=186,$ and hence $E=93.$

2.

El entero $n$ es el menor múltiplo positivo de $15$ tal que cada dígito de $n$ es $8$ o $0.$ Calcula $\frac{n}{15}.$

The integer $n$ is the smallest positive multiple of $15$ such that every digit of $n$ is either $8$ or $0.$ Compute $\frac{n}{15}.$

Respuesta

Conceptos:divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

La divisibilidad entre $5$ determina el último dígito

Divisibility by $5$ determines the last digit

Pista grande:

La divisibilidad entre $3$ restringe la cantidad de dígitos iguales a $8$

Divisibility by $3$ restricts the number of digits equal to $8$

Solución:

Un múltiplo de $15$ debe terminar en $0$ y tener una suma de dígitos divisible entre $3.$ Como $8\equiv2\pmod3,$ la cantidad de dígitos $8$ debe ser un múltiplo positivo de $3.$ Por lo tanto, el menor número posible tiene tres $8$ seguidos de un $0,$ a saber, $n=8880.$ Así, $\frac{n}{15}=592.$

A multiple of $15$ must end in $0$ and have digit sum divisible by $3.$ Because $8\equiv2\pmod3,$ the number of $8$ ’s must be a positive multiple of $3.$ The smallest possible number therefore has three $8$ ’s followed by $0,$ namely $n=8880.$ Thus $\frac{n}{15}=592.$

3.

Se elige un punto $P$ en el interior de $\triangle ABC$ de modo que, al trazar por $P$ rectas paralelas a los lados de $\triangle ABC,$ los triángulos más pequeños $t_1,$ $t_2,$ y $t_3$ de la figura tienen áreas $4,$ $9,$ y $49,$ respectivamente. Halla el área de $\triangle ABC.$

A point $P$ is chosen in the interior of $\triangle ABC$ so that when lines are drawn through $P$ parallel to the sides of $\triangle ABC,$ the resulting smaller triangles, $t_1,$ $t_2,$ and $t_3$ in the figure, have areas $4,$ $9,$ and $49,$ respectively. Find the area of $\triangle ABC.$

Respuesta

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Cada uno de los tres triángulos pequeños es semejante a $\triangle ABC$

Each of the three smaller triangles is similar to $\triangle ABC$

Pista grande:

Convierte cada razón de áreas en una razón de longitudes y suma las tres razones de longitudes

Convert each area ratio into a linear ratio and add the three linear ratios

Solución:

Sea el área de $\triangle ABC$ igual a $K.$ Los tres triángulos pequeños son semejantes a $\triangle ABC,$ por lo que sus razones de longitudes correspondientes son $\frac{2}{\sqrt K},\qquad \frac{3}{\sqrt K},\qquad \frac{7}{\sqrt K}.$ Cada factor de escala también es la distancia perpendicular de $P$ a un lado dividida entre la altura relativa a ese lado. Estas son las tres razones de áreas baricéntricas $\frac{[PBC]}{K},$ $\frac{[PCA]}{K},$ y $\frac{[PAB]}{K},$ cuya suma es $1.$ Por lo tanto, $\frac{2+3+7}{\sqrt K}=1.$ Así, $\sqrt K=12$ y $K=144.$

Let the area of $\triangle ABC$ be $K.$ The three small triangles are similar to $\triangle ABC,$ so their corresponding linear ratios are $\frac{2}{\sqrt K},\qquad \frac{3}{\sqrt K},\qquad \frac{7}{\sqrt K}.$ Each such scale factor is also the perpendicular distance from $P$ to one side divided by the altitude to that side. These are the three barycentric area ratios $\frac{[PBC]}{K},$ $\frac{[PCA]}{K},$ and $\frac{[PAB]}{K},$ which add to $1.$ Hence $\frac{2+3+7}{\sqrt K}=1.$ Therefore $\sqrt K=12$ and $K=144.$

4.

Sea $S$ una lista de enteros positivos, no necesariamente distintos, en la que aparece el número $68$ . El promedio (media aritmética) de los números de $S$ es $56.$ Sin embargo, si se elimina $68$ , el promedio de los números restantes baja a $55.$ ¿Cuál es el mayor número que puede aparecer en $S$ ?

Let $S$ be a list of positive integers—not necessarily distinct—in which the number $68$ appears. The average (arithmetic mean) of the numbers in $S$ is $56.$ However, if $68$ is removed, the average of the remaining numbers drops to $55.$ What is the largest number that can appear in $S?$

Respuesta

Conceptos:media optimización

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Sea $N$ el número de elementos de la lista original

Let $N$ be the number of entries in the original list

Pista grande:

Para maximizar un elemento, haz que cada entero positivo sin restricción sea lo más pequeño posible

To maximize one entry, make every unrestricted positive integer as small as possible

Solución:

Si la lista original tiene $N$ elementos, entonces $56N-68=55(N-1),$ de modo que $N=13$ y la suma de los elementos es $56\cdot13=728.$ Además del elemento $68,$ hacemos que once elementos sean iguales al menor entero positivo, $1.$ El elemento restante es entonces $728-68-11=649.$ Esta construcción es válida y ningún elemento mayor es posible.

If the original list has $N$ entries, then $56N-68=55(N-1),$ so $N=13$ and the total of the entries is $56\cdot13=728.$ Besides the entry $68,$ make eleven entries equal to the least positive integer, $1.$ The remaining entry is then $728-68-11=649.$ This construction is valid, and no larger entry is possible.

5.

Determina el valor de $ab$ si $\log_8a+\log_4b^2=5$ y $\log_8b+\log_4a^2=7.$

Determine the value of $ab$ if $\log_8a+\log_4b^2=5$ and $\log_8b+\log_4a^2=7.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Expresa todos los logaritmos en base $2$

Express every logarithm using base $2$

Pista grande:

Haz $A=\log_2a$ y $B=\log_2b$ para obtener un sistema lineal

Set $A=\log_2a$ and $B=\log_2b$ to obtain a linear system

Solución:

Sean $A=\log_2a$ y $B=\log_2b.$ Las dos ecuaciones se convierten en $\frac A3+B=5,\qquad \frac B3+A=7.$ De manera equivalente, $A+3B=15$ y $3A+B=21,$ de donde $A=6$ y $B=3.$ Por lo tanto, $ab=2^{A+B}=2^9=512.$

Let $A=\log_2a$ and $B=\log_2b.$ The two equations become $\frac A3+B=5,\qquad \frac B3+A=7.$ Equivalently, $A+3B=15$ and $3A+B=21,$ which give $A=6$ and $B=3.$ Therefore $ab=2^{A+B}=2^9=512.$

6.

Se trazan tres círculos de radio $3,$ con centros en $(14,92),$ $(17,76),$ y $(19,84).$ Una recta que pasa por $(17,76)$ tiene la propiedad de que el área total de las partes de los tres círculos a un lado de la recta es igual al área total de las partes al otro lado. ¿Cuál es el valor absoluto de la pendiente de esta recta?

Three circles, each of radius $3,$ are drawn with centers at $(14,92),$ $(17,76),$ and $(19,84).$ A line passing through $(17,76)$ is such that the total area of the parts of the three circles to one side of the line is equal to the total area of the parts of the three circles to the other side of it. What is the absolute value of the slope of this line?

Respuesta

Conceptos:área del círculo simetría pendiente

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

La recta ya divide en dos partes iguales el círculo con centro en $(17,76)$

The line already bisects the circle centered at $(17,76)$

Pista grande:

Para los otros dos círculos iguales, sus distancias dirigidas a la recta deben ser opuestas

For the other two equal circles, their signed distances from the line must be opposites

Solución:

Para un círculo de radio $3,$ sea $G(d)$ la diferencia dirigida entre las áreas a los dos lados de una recta cuando la distancia dirigida del centro a la recta es $d.$ La función $G$ es impar y estrictamente creciente para $-3<d<3,$ y solo es constante cuando la recta ya no corta el círculo. El círculo con centro en $(17,76)$ aporta cero, así que la recta debe separar los otros dos centros.

Sea $M=(\frac{33}{2},88)$ el punto medio de esos dos centros. Entre las rectas que pasan por $(17,76)$ y los separan, la menor de las dos distancias de los centros a la recta es máxima cuando las distancias son iguales, es decir, para la recta que pasa por $M.$ Incluso entonces, la distancia es $\frac{56}{\sqrt{577}}<3,$ así que la recta debe cortar al menos uno de los dos círculos. Para que haya equilibrio, debe cortar ambos. El crecimiento estricto de $G$ obliga entonces a que las dos distancias dirigidas sean opuestas, así que la recta buscada pasa por $M.$ Su pendiente es $\frac{88-76}{\frac{33}{2}-17}=-24.$ Su valor absoluto es $24.$

For a circle of radius $3,$ let $G(d)$ be the signed difference between the areas on the two sides of a line when the center’s signed distance from the line is $d.$ The function $G$ is odd and strictly increasing for $-3<d<3,$ and is constant only after the line no longer cuts the circle. The circle centered at $(17,76)$ contributes zero, so the line must separate the other two centers.

Let $M=(\frac{33}{2},88)$ be the midpoint of those two centers. Among the lines through $(17,76)$ that separate them, the smaller of their two distances to the line is largest when the distances are equal, namely for the line through $M.$ Even then, the distance is $\frac{56}{\sqrt{577}}<3,$ so the line must cut at least one of the two circles. Balance then forces it to cut both. The strict increase of $G$ therefore forces the two signed distances to be opposites, so the required line passes through $M.$ Its slope is $\frac{88-76}{\frac{33}{2}-17}=-24.$ Its absolute value is $24.$

7.

La función $f$ está definida sobre el conjunto de los enteros y satisface $f(n)=n-3$ si $n\geq1000,$ y $f(n)=f(f(n+5))$ si $n<1000.$ Halla $f(84).$

The function $f$ is defined on the set of integers and satisfies $f(n)=n-3$ if $n\geq1000,$ and $f(n)=f(f(n+5))$ if $n<1000.$ Find $f(84).$

Respuesta

Conceptos:recursión inducción paridad

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Comienza por evaluar $f(995),$ $f(996),$ $\ldots,$ $f(999)$

Start by evaluating $f(995),$ $f(996),$ $\ldots,$ $f(999)$

Pista grande:

Usa inducción descendente para hallar un patrón de paridad para cada entero menor que $1000$

Use downward induction to find a parity pattern for every integer below $1000$

Solución:

Directamente de la definición, $\begin{aligned} f(999)&=f(f(1004))\\ &=f(1001)=998,\\ f(998)&=f(f(1003))\\ &=f(1000)=997. \end{aligned}$ Al continuar se obtiene $f(997)=998,$ $f(996)=997,$ y $f(995)=998.$

Ahora usamos inducción descendente. Si $n<995$ es par, entonces $n+5$ es impar, así que el patrón ya establecido para los enteros mayores que $n$ da $f(n)=f(f(n+5)).$ Por ello, $f(n)=f(998)=997.$ Si $n$ es impar, el mismo argumento da $f(n)=f(997)=998.$ Por lo tanto, todo entero par $n<1000$ tiene valor $997.$ Como $84$ es par, $f(84)=997.$

Directly from the definition, $\begin{aligned} f(999)&=f(f(1004))\\ &=f(1001)=998,\\ f(998)&=f(f(1003))\\ &=f(1000)=997. \end{aligned}$ Continuing gives $f(997)=998,$ $f(996)=997,$ and $f(995)=998.$

We now use downward induction. If $n<995$ is even, then $n+5$ is odd, so the established pattern above $n$ gives $f(n)=f(f(n+5)).$ Thus $f(n)=f(998)=997.$ If $n$ is odd, the same argument gives $f(n)=f(997)=998.$ Thus every even $n<1000$ has value $997.$ Since $84$ is even, $f(84)=997.$

8.

La ecuación $z^6+z^3+1=0$ tiene una raíz compleja cuyo argumento $\theta$ en el plano complejo está entre $90^\circ$ y $180^\circ$ . Determina la medida en grados de $\theta.$

The equation $z^6+z^3+1=0$ has one complex root with argument $\theta$ between $90^\circ$ and $180^\circ$ in the complex plane. Determine the degree measure of $\theta.$

Respuesta

Conceptos:número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Sustituye $u=z^3$

Substitute $u=z^3$

Pista grande:

Los dos argumentos posibles de $z^3$ son $120^\circ$ y $240^\circ$

The two possible arguments of $z^3$ are $120^\circ$ and $240^\circ$

Solución:

Sea $u=z^3.$ Entonces $u^2+u+1=0,$ por lo que $u$ tiene argumento $120^\circ$ o $240^\circ.$ Al tomar raíces cúbicas se obtienen los argumentos posibles $40^\circ,160^\circ,280^\circ,80^\circ,200^\circ,320^\circ.$ El único que está estrictamente entre $90^\circ$ y $180^\circ$ es $160^\circ.$

Let $u=z^3.$ Then $u^2+u+1=0,$ so $u$ has argument $120^\circ$ or $240^\circ.$ Taking cube roots gives possible arguments $40^\circ,160^\circ,280^\circ,80^\circ,200^\circ,320^\circ.$ The only one strictly between $90^\circ$ and $180^\circ$ is $160^\circ.$

9.

En el tetraedro $ABCD,$ la arista $AB$ mide $3$ cm. El área de la cara $ABC$ es $15\text{ cm}^2$ y el área de la cara $ABD$ es $12\text{ cm}^2.$ Estas dos caras forman un ángulo de $30^\circ$ . Halla el volumen del tetraedro en $\text{cm}^3.$

In tetrahedron $ABCD,$ edge $AB$ has length $3$ cm. The area of face $ABC$ is $15\text{ cm}^2$ and the area of face $ABD$ is $12\text{ cm}^2.$ These two faces meet each other at a $30^\circ$ angle. Find the volume of the tetrahedron in $\text{cm}^3.$

Respuesta

Conceptos:Geometría 3D área del triángulo volumen

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Halla las alturas desde $C$ y $D$ hasta la arista común $AB$

Find the altitudes from $C$ and $D$ to the common edge $AB$

Pista grande:

Expresa el volumen del tetraedro mediante la arista común, las dos alturas y el seno del ángulo diedro

Express the tetrahedron’s volume using the common edge, the two altitudes, and the sine of the dihedral angle

Solución:

Sean $h_C$ y $h_D$ las distancias perpendiculares de $C$ y $D$ a $AB.$ A partir de las áreas de las dos caras, $\begin{aligned} h_C&=\frac{2\cdot15}{3}=10,\\ h_D&=\frac{2\cdot12}{3}=8. \end{aligned}$ El ángulo entre estas dos direcciones perpendiculares es el ángulo diedro de $30^\circ$ . Por lo tanto, el producto triple escalar da $\begin{aligned} V&=\frac16(AB)h_Ch_D\sin30^\circ\\ &=\frac16\cdot3\cdot10\cdot8\cdot\frac12\\ &=20. \end{aligned}$

Let $h_C$ and $h_D$ be the perpendicular distances from $C$ and $D$ to $AB.$ From the two face areas, $\begin{aligned} h_C&=\frac{2\cdot15}{3}=10,\\ h_D&=\frac{2\cdot12}{3}=8. \end{aligned}$ The angle between these two perpendicular directions is the $30^\circ$ dihedral angle. Hence the scalar triple product gives $\begin{aligned} V&=\frac16(AB)h_Ch_D\sin30^\circ\\ &=\frac16\cdot3\cdot10\cdot8\cdot\frac12\\ &=20. \end{aligned}$

10.

María le dijo a Juan su puntuación en el Examen Estadounidense de Matemáticas para Escuelas Secundarias (AHSME), que era mayor que $80.$ A partir de ella, Juan pudo determinar cuántos problemas había resuelto correctamente María. Si la puntuación de María hubiera sido menor, pero todavía mayor que $80,$ Juan no habría podido determinarlo. ¿Cuál era la puntuación de María? (Recuerda que el AHSME consta de $30$ problemas de opción múltiple y que la puntuación $s$ se calcula mediante la fórmula $s=30+4c-w,$ donde $c$ es la cantidad de respuestas correctas y $w$ la cantidad de respuestas incorrectas; no se penalizan los problemas sin responder).

Mary told John her score on the American High School Mathematics Examination (AHSME), which was over $80.$ From this, John was able to determine the number of problems Mary solved correctly. If Mary’s score had been any lower, but still over $80,$ John could not have determined this. What was Mary’s score? (Recall that the AHSME consists of $30$ multiple-choice problems and that one’s score, $s,$ is computed by the formula $s=30+4c-w,$ where $c$ is the number correct and $w$ is the number wrong; students are not penalized for problems left unanswered.)

Respuesta

Conceptos:Ecuación diofántica conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Para una puntuación fija $s,$ expresa la cantidad de respuestas incorrectas en términos de $s$ y $c$

For a fixed score $s,$ express the number wrong in terms of $s$ and $c$

Pista grande:

Usa $w\geq0$ y $c+w\leq30$ para acotar los posibles valores enteros de $c$

Use $w\geq0$ and $c+w\leq30$ to bound the possible integer values of $c$

Solución:

De $s=30+4c-w,$ obtenemos $w=30+4c-s.$ Las condiciones $w\geq0$ y $30-c-w\geq0$ dan $\left\lceil\frac{s-30}{4}\right\rceil \leq c\leq \left\lfloor\frac{s}{5}\right\rfloor.$ Al evaluar estos extremos enteros para las puntuaciones desde $81$ hasta $118$ , siempre quedan por lo menos dos valores posibles de $c.$ Cuando $s=119,$ ambos extremos son iguales a $23,$ así que Juan puede determinar que $c=23.$ Por lo tanto, la primera puntuación mayor que $80$ con la propiedad requerida es $119.$

From $s=30+4c-w,$ we have $w=30+4c-s.$ The conditions $w\geq0$ and $30-c-w\geq0$ give $\left\lceil\frac{s-30}{4}\right\rceil \leq c\leq \left\lfloor\frac{s}{5}\right\rfloor.$ Evaluating these integer endpoints for scores $81$ through $118$ always leaves at least two possible values of $c.$ At $s=119,$ both endpoints equal $23,$ so John can determine $c=23.$ Thus the first score over $80$ with the required property is $119.$

11.

Un jardinero planta tres arces, cuatro robles y cinco abedules en una fila. Los planta en un orden aleatorio, y todos los órdenes son igualmente probables. Sea $\frac{m}{n}$ , en su mínima expresión, la probabilidad de que no haya dos abedules contiguos. Halla $m+n.$

A gardener plants three maple trees, four oak trees, and five birch trees in a row. He plants them in random order, each arrangement being equally likely. Let $\frac{m}{n}$ in lowest terms be the probability that no two birch trees are next to one another. Find $m+n.$

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones combinaciones probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Elige primero las cinco posiciones ocupadas por los abedules

First choose the five positions occupied by birch trees

Pista grande:

Coloca primero los siete árboles que no son abedules y usa los ocho espacios que los rodean

Place the seven non-birch trees first and use the eight gaps around them

Solución:

Las cinco posiciones de los abedules forman un subconjunto de $5$ elementos elegido uniformemente entre las $12$ posiciones, así que hay $\binom{12}{5}$ posibilidades. Después de colocar los siete árboles que no son abedules, hay ocho espacios, incluidos los dos de los extremos. Elegir cinco espacios distintos da $\binom85$ ordenamientos sin abedules contiguos. Por lo tanto, $\frac{m}{n}=\frac{\binom85}{\binom{12}{5}} =\frac{56}{792}=\frac7{99},$ y $m+n=106.$

The five birch positions form a uniformly chosen $5$ -element subset of the $12$ positions, so there are $\binom{12}{5}$ possibilities. After the seven non-birch trees are placed, there are eight gaps, including the two end gaps. Choosing five distinct gaps gives $\binom85$ arrangements with no adjacent birches. Therefore $\frac{m}{n}=\frac{\binom85}{\binom{12}{5}} =\frac{56}{792}=\frac7{99},$ and $m+n=106.$

12.

Una función $f$ está definida para todos los números reales y satisface $\begin{aligned} f(2+x)&=f(2-x),\\ f(7+x)&=f(7-x) \end{aligned}$ para todo número real $x.$ Si $x=0$ es una raíz de $f(x)=0,$ ¿cuál es el menor número de raíces que debe tener $f(x)=0$ en el intervalo $-1000\leq x\leq1000$ ?

A function $f$ is defined for all real numbers and satisfies $\begin{aligned} f(2+x)&=f(2-x),\\ f(7+x)&=f(7-x) \end{aligned}$ for all real $x.$ If $x=0$ is a root of $f(x)=0,$ what is the least number of roots $f(x)=0$ must have in the interval $-1000\leq x\leq1000?$

Respuesta

Conceptos:ecuación funcional reflexión (geometría)conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Interpreta las dos identidades como simetrías por reflexión respecto de $2$ y $7$

Interpret the two identities as reflection symmetries about $2$ and $7$

Pista grande:

La composición de las dos reflexiones produce una traslación de $10$

Composing the two reflections produces a translation by $10$

Solución:

Las identidades hacen que el conjunto de raíces sea invariante bajo las reflexiones respecto de $2$ y de $7.$ Su composición es una traslación de $10.$ A partir de la raíz $0,$ estas operaciones obligan a que todo número de $\begin{gathered} \{10k:k\in\mathbb Z\}\\ {}\cup\{4+10k:k\in\mathbb Z\} \end{gathered}$ sea una raíz. En el intervalo, el primer conjunto aporta $201$ raíces y el segundo aporta $200,$ para un total de $401.$

Esta cota se puede alcanzar: define $f$ como $0$ en este conjunto invariante y como $1$ en los demás puntos. Tiene las dos simetrías por reflexión requeridas. Por consiguiente, la menor cantidad posible es $401.$

The identities make the root set invariant under reflection about $2$ and about $7.$ Their composition is translation by $10.$ Starting from the root $0,$ these operations force every number in $\begin{gathered} \{10k:k\in\mathbb Z\}\\ {}\cup\{4+10k:k\in\mathbb Z\} \end{gathered}$ to be a root. In the interval, the first set contributes $201$ roots and the second contributes $200,$ for a total of $401.$

This bound is attainable: define $f$ to be $0$ on this invariant set and $1$ elsewhere. It has both required reflection symmetries. Hence the least possible number is $401.$

13.

Halla el valor de $\begin{aligned} 10\cot\bigl(&\cot^{-1}3+\cot^{-1}7\\ &{}+\cot^{-1}13+\cot^{-1}21\bigr). \end{aligned}$

Find the value of $\begin{aligned} 10\cot\bigl(&\cot^{-1}3+\cot^{-1}7\\ &{}+\cot^{-1}13+\cot^{-1}21\bigr). \end{aligned}$

Respuesta

Conceptos:identidad trigonométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Usa $\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}$

Use $\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}$

Pista grande:

Combina los cuatro ángulos de cotangente inversa de dos en dos, de izquierda a derecha

Combine the four inverse-cotangent angles two at a time from left to right

Solución:

Sea $\alpha=\cot^{-1}3+\cot^{-1}7.$ La fórmula de adición de la cotangente da $\begin{aligned} \cot\alpha&=\frac{3\cdot7-1}{3+7}\\ &=2. \end{aligned}$ Al combinar el siguiente ángulo se obtiene $\frac{2\cdot13-1}{2+13}=\frac53,$ y al combinar el último se obtiene $\frac{(\frac{5}{3})\cdot21-1}{\frac{5}{3}+21}=\frac32.$ Al multiplicar por $10$ se obtiene $15.$

Let $\alpha=\cot^{-1}3+\cot^{-1}7.$ The cotangent addition formula gives $\begin{aligned} \cot\alpha&=\frac{3\cdot7-1}{3+7}\\ &=2. \end{aligned}$ Combining the next angle gives $\frac{2\cdot13-1}{2+13}=\frac53,$ and combining the last gives $\frac{(\frac{5}{3})\cdot21-1}{\frac{5}{3}+21}=\frac32.$ Multiplying by $10$ yields $15.$

14.

¿Cuál es el mayor entero par que no se puede escribir como suma de dos números compuestos impares?

What is the largest even integer that cannot be written as the sum of two odd composite numbers?

Respuesta

Conceptos:primo aritmética modular argumento extremal

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Para cada entero par candidato, enumera los compuestos impares que no superan la mitad del candidato

Test candidate even integers by listing the odd composites no greater than half the candidate

Pista grande:

Para un entero par $N$ suficientemente grande, trabaja módulo $6$ e intenta restar $9,$ $25,$ o $35$

For sufficiently large even $N,$ work modulo $6$ and try subtracting $9,$ $25,$ or $35$

Solución:

En una representación de $38,$ el menor de los dos compuestos impares sería a lo sumo $19.$ Las únicas posibilidades son $9$ y $15,$ cuyos complementos, $29$ y $23,$ son primos. Por lo tanto, $38$ no se puede representar.

Ahora sea $N>38$ par. Si $N\equiv0\pmod6,$ escribe $N=9+(N-9).$ Si $N\equiv2\pmod6,$ escribe $N=35+(N-35).$ Si $N\equiv4\pmod6,$ escribe $N=25+(N-25).$ En cada caso, el segundo sumando es un múltiplo impar de $3$ mayor que $3,$ y por tanto es compuesto; el primer sumando fijo también es impar y compuesto. Así, todo entero par mayor que $38$ se puede representar, de modo que la mayor excepción es $38.$

In a representation of $38,$ the smaller odd composite would be at most $19.$ The only possibilities are $9$ and $15,$ whose complements $29$ and $23$ are prime. Thus $38$ is not representable.

Now let $N>38$ be even. If $N\equiv0\pmod6,$ write $N=9+(N-9).$ If $N\equiv2\pmod6,$ write $N=35+(N-35).$ If $N\equiv4\pmod6,$ write $N=25+(N-25).$ In each case the second summand is an odd multiple of $3$ greater than $3,$ hence is composite; the fixed first summand is also odd and composite. Therefore every even integer greater than $38$ is representable, so the largest exception is $38.$

15.

Determina $w^2+x^2+y^2+z^2$ si $\begin{gathered} \frac{x^2}{2^2-1}+\frac{y^2}{2^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{4^2-1}+\frac{y^2}{4^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{6^2-1}+\frac{y^2}{6^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{8^2-1}+\frac{y^2}{8^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1. \end{gathered}$

Determine $w^2+x^2+y^2+z^2$ if $\begin{gathered} \frac{x^2}{2^2-1}+\frac{y^2}{2^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{4^2-1}+\frac{y^2}{4^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{6^2-1}+\frac{y^2}{6^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1,\\[2pt] \frac{x^2}{8^2-1}+\frac{y^2}{8^2-3^2}\\[-2pt] {}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1. \end{gathered}$

Respuesta

Conceptos:ecuación racional polinomio manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Considera los cuatro miembros izquierdos como valores de una misma función racional de $T$

Regard the four left sides as values of one rational function in $T$

Pista grande:

Compara el coeficiente de $\frac{1}{T}$ cuando $T$ tiende al infinito

Compare the coefficient of $\frac{1}{T}$ as $T$ tends to infinity

Solución:

Define $\begin{aligned} R(T)&=\frac{x^2}{T-1}+\frac{y^2}{T-9}\\ &\quad{}+\frac{z^2}{T-25}+\frac{w^2}{T-49}\\ &\quad{}-1. \end{aligned}$ Sea $\begin{aligned} N(T)&=(T-4)(T-16)\\ &\quad{}\cdot(T-36)(T-64),\\ D(T)&=(T-1)(T-9)\\ &\quad{}\cdot(T-25)(T-49). \end{aligned}$ Al usar el denominador común $D(T),$ el numerador de $R(T)$ tiene coeficiente principal $-1.$ Las cuatro ecuaciones dicen que sus ceros son $4,$ $16,$ $36,$ y $64.$ Por lo tanto, $R(T)=-\frac{N(T)}{D(T)}.$

Sea $S=w^2+x^2+y^2+z^2.$ Cuando $T$ tiende al infinito, la expresión que define la función da $R(T)=-1+\frac{S}{T}+O(T^{-2}).$ Por otro lado, la suma de las cuatro raíces del numerador es $120,$ mientras que la suma de las cuatro raíces del denominador es $84,$ así que la expresión factorizada da $\begin{aligned} R(T)&=-1+\frac{120-84}{T}\\ &\quad{}+O(T^{-2}). \end{aligned}$ Por consiguiente, $w^2+x^2+y^2+z^2=36.$

Define $\begin{aligned} R(T)&=\frac{x^2}{T-1}+\frac{y^2}{T-9}\\ &\quad{}+\frac{z^2}{T-25}+\frac{w^2}{T-49}\\ &\quad{}-1. \end{aligned}$ Put $\begin{aligned} N(T)&=(T-4)(T-16)\\ &\quad{}\cdot(T-36)(T-64),\\ D(T)&=(T-1)(T-9)\\ &\quad{}\cdot(T-25)(T-49). \end{aligned}$ With common denominator $D(T),$ the numerator of $R(T)$ has leading coefficient $-1.$ The four equations say its zeros are $4,$ $16,$ $36,$ and $64.$ Therefore $R(T)=-\frac{N(T)}{D(T)}.$

Let $S=w^2+x^2+y^2+z^2.$ As $T$ tends to infinity, the defining expression gives $R(T)=-1+\frac{S}{T}+O(T^{-2}).$ On the other hand, the sum of the four numerator roots is $120,$ while the sum of the four denominator roots is $84,$ so the factored expression gives $\begin{aligned} R(T)&=-1+\frac{120-84}{T}\\ &\quad{}+O(T^{-2}). \end{aligned}$ Hence $w^2+x^2+y^2+z^2=36.$