Question

¿Cuál es la suma de las soluciones de la ecuación $\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}$ ?

What is the sum of the solutions to the equation $\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}?$

Respuesta

Respuesta: 337

Conceptos:cuadrática radical sustitución

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sustituye $t=\sqrt[4]{x}$

Substitute $t=\sqrt[4]{x}$

Pista grande:

Después de eliminar el denominador, factoriza la cuadrática resultante en $t$

After clearing the denominator, factor the resulting quadratic in $t$

Solución:

Sea $t=\sqrt[4]{x},$ de modo que $t\geq0.$ La ecuación se convierte en $t(7-t)=12,$ o bien $t^2-7t+12=0.$ Así, $t=3$ o $t=4,$ y ambos valores son válidos en la ecuación original. Por tanto, $x=3^4=81$ o $x=4^4=256,$ y su suma es $81+256=337.$

Let $t=\sqrt[4]{x},$ so $t\geq0.$ The equation becomes $t(7-t)=12,$ or $t^2-7t+12=0.$ Thus $t=3$ or $t=4,$ and both values are valid in the original equation. Hence $x=3^4=81$ or $x=4^4=256,$ and their sum is $81+256=337.$

1986 AIME Problema 1

Respuesta: 337

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años