Soluciones del 1986 AIME | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es la suma de las soluciones de la ecuación $\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}$ ?

What is the sum of the solutions to the equation $\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}?$

Respuesta

Conceptos:cuadrática radical sustitución

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sustituye $t=\sqrt[4]{x}$

Substitute $t=\sqrt[4]{x}$

Pista grande:

Después de eliminar el denominador, factoriza la cuadrática resultante en $t$

After clearing the denominator, factor the resulting quadratic in $t$

Solución:

Sea $t=\sqrt[4]{x},$ de modo que $t\geq0.$ La ecuación se convierte en $t(7-t)=12,$ o bien $t^2-7t+12=0.$ Así, $t=3$ o $t=4,$ y ambos valores son válidos en la ecuación original. Por tanto, $x=3^4=81$ o $x=4^4=256,$ y su suma es $81+256=337.$

Let $t=\sqrt[4]{x},$ so $t\geq0.$ The equation becomes $t(7-t)=12,$ or $t^2-7t+12=0.$ Thus $t=3$ or $t=4,$ and both values are valid in the original equation. Hence $x=3^4=81$ or $x=4^4=256,$ and their sum is $81+256=337.$

2.

Evalúa el producto $\begin{gathered} (\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5+\sqrt6-\sqrt7). \end{gathered}$

Evaluate the product $\begin{gathered} (\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7)\\ {}\cdot(\sqrt5+\sqrt6-\sqrt7). \end{gathered}$

Respuesta

Conceptos:manipulación algebraica diferencia de cuadrados radical

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Empareja los factores de modo que cada pareja sea una diferencia de cuadrados

Pair factors so that each pair is a difference of squares

Pista grande:

Después del primer emparejamiento, los radicales restantes solo aparecen mediante $\sqrt{42}$

After the first pairing, the remaining radicals occur only through $\sqrt{42}$

Solución:

Empareja los dos primeros factores y luego los dos últimos: $\begin{gathered} (\sqrt6+\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2\\ {}=8+2\sqrt{42},\\ (\sqrt5)^2-(\sqrt7-\sqrt6)^2\\ {}=-8+2\sqrt{42}. \end{gathered}$ Por lo tanto, el producto pedido es $\begin{aligned} &(8+2\sqrt{42})(-8+2\sqrt{42})\\ &\qquad=168-64=104. \end{aligned}$

Pair the first two factors, then the last two: $\begin{gathered} (\sqrt6+\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2\\ {}=8+2\sqrt{42},\\ (\sqrt5)^2-(\sqrt7-\sqrt6)^2\\ {}=-8+2\sqrt{42}. \end{gathered}$ Therefore the requested product is $\begin{aligned} &(8+2\sqrt{42})(-8+2\sqrt{42})\\ &\qquad=168-64=104. \end{aligned}$

3.

Si $\tan x+\tan y=25$ y $\cot x+\cot y=30,$ ¿cuánto vale $\tan(x+y)$ ?

If $\tan x+\tan y=25$ and $\cot x+\cot y=30,$ what is $\tan(x+y)?$

Respuesta

Conceptos:manipulación algebraica identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Expresa la suma de las cotangentes mediante $\tan x$ y $\tan y$

Express the sum of the cotangents using $\tan x$ and $\tan y$

Pista grande:

Usa la fórmula de adición de tangentes después de hallar $\tan x\tan y$

Use the tangent addition formula after finding $\tan x\tan y$

Solución:

Como $\cot x+\cot y =\frac{\tan x+\tan y}{\tan x\tan y},$ las ecuaciones dadas producen $\tan x\tan y=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \tan(x+y) &=\frac{\tan x+\tan y} {1-\tan x\tan y}\\ &=\frac{25}{1-\frac56}\\ &=150. \end{aligned}$

Since $\cot x+\cot y =\frac{\tan x+\tan y}{\tan x\tan y},$ the given equations yield $\tan x\tan y=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}.$ Therefore $\begin{aligned} \tan(x+y) &=\frac{\tan x+\tan y} {1-\tan x\tan y}\\ &=\frac{25}{1-\frac56}\\ &=150. \end{aligned}$

4.

Determina $3x_4+2x_5$ si $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ y $x_5$ satisfacen el sistema $\begin{aligned} 2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=6,\\ x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5&=12,\\ x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5&=24,\\ x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5&=48,\\ x_1+x_2+x_3+x_4+2x_5&=96. \end{aligned}$

Determine $3x_4+2x_5$ if $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ and $x_5$ satisfy the system $\begin{aligned} 2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=6,\\ x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5&=12,\\ x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5&=24,\\ x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5&=48,\\ x_1+x_2+x_3+x_4+2x_5&=96. \end{aligned}$

Respuesta

Conceptos:manipulación algebraica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Sea $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$

Let $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$

Pista grande:

Cada ecuación tiene la forma $S+x_i=$ una constante

Each equation has the form $S+x_i=$ a constant

Solución:

Sea $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5.$ Las cinco ecuaciones dicen que $S+x_i$ es igual a $6,$ $12,$ $24,$ $48,$ y $96,$ respectivamente. Al sumarlas se obtiene $\begin{aligned} 6S&=6+12+24+48+96\\ &=186, \end{aligned}$ así que $S=31.$ Por tanto, $x_4=48-31=17$ y $x_5=96-31=65.$ El valor pedido es $3(17)+2(65)=181.$

Put $S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5.$ The five equations say that $S+x_i$ equals $6,$ $12,$ $24,$ $48,$ $96,$ respectively. Adding them gives $\begin{aligned} 6S&=6+12+24+48+96\\ &=186, \end{aligned}$ so $S=31.$ Hence $x_4=48-31=17$ and $x_5=96-31=65.$ The requested value is $3(17)+2(65)=181.$

5.

¿Cuál es el mayor entero positivo $n$ para el cual $n^3+100$ es divisible por $n+10$ ?

What is the largest positive integer $n$ for which $n^3+100$ is divisible by $n+10?$

Respuesta

Conceptos:divisibilidad aritmética modular polinomio

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Reduce $n^3+100$ módulo $n+10$

Reduce $n^3+100$ modulo $n+10$

Pista grande:

La condición hace que $n+10$ sea un divisor positivo de un entero fijo

The condition makes $n+10$ a positive divisor of a fixed integer

Solución:

Módulo $n+10,$ se tiene $n\equiv-10.$ Por tanto, $\begin{gathered} n^3+100 \equiv(-10)^3+100\\ \equiv-900\pmod{n+10}. \end{gathered}$ Así, la condición equivale a que $900$ sea divisible por $n+10.$ Como $n$ es positivo, $n+10$ es un divisor positivo de $900,$ y su mayor valor posible es $900.$ Esto da $n=900-10=890.$

Modulo $n+10,$ we have $n\equiv-10.$ Thus $\begin{gathered} n^3+100 \equiv(-10)^3+100\\ \equiv-900\pmod{n+10}. \end{gathered}$ The condition is therefore equivalent to $900$ being divisible by $n+10.$ Since $n$ is positive, $n+10$ is a positive divisor of $900,$ and its largest possible value is $900.$ This gives $n=900-10=890.$

6.

Las páginas de un libro están numeradas del $1$ al $n.$ Al sumar los números de página, se sumó por error uno de ellos dos veces, lo que produjo la suma incorrecta $1986.$ ¿Qué número de página se sumó dos veces?

The pages of a book are numbered $1$ through $n.$ When the page numbers of the book were added, one of the page numbers was mistakenly added twice, resulting in an incorrect sum of $1986.$ What was the number of the page that was added twice?

Respuesta

Conceptos:acotación a casos límite número triangular

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Compara $1986$ con números triangulares consecutivos

Compare $1986$ with consecutive triangular numbers

Pista grande:

El exceso sobre $1+2+\cdots+n$ es el número de página repetido

The excess over $1+2+\cdots+n$ is the repeated page number

Solución:

Los números triangulares consecutivos alrededor de $1986$ son $\begin{aligned} \frac{62\cdot63}{2}&=1953,\\ \frac{63\cdot64}{2}&=2016. \end{aligned}$ Por tanto, el libro tiene $62$ páginas, y el sumando adicional es $1986-1953=33,$ que en efecto es un número de página válido.

Consecutive triangular numbers around $1986$ are $\begin{aligned} \frac{62\cdot63}{2}&=1953,\\ \frac{63\cdot64}{2}&=2016. \end{aligned}$ Hence the book has $62$ pages, and the extra summand is $1986-1953=33,$ which is indeed a valid page number.

7.

La sucesión creciente $1,$ $3,$ $4,$ $9,$ $10,$ $12,$ $13,$ $\ldots$ consta de todos los enteros positivos que son potencias de $3$ o sumas de potencias distintas de $3.$ Halla el término número $100$ de esta sucesión.

The increasing sequence $1,$ $3,$ $4,$ $9,$ $10,$ $12,$ $13,$ $\ldots$ consists of all those positive integers which are powers of $3$ or sums of distinct powers of $3.$ Find the $100$ th term of this sequence.

Respuesta

Conceptos:base numérica valor posicional

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Estos son precisamente los números cuyas cifras en base $3$ son todas $0$ o $1$

These are precisely the numbers whose base- $3$ digits are all $0$ or $1$

Pista grande:

Escribe el índice en base $2,$ y después interpreta las mismas cifras en base $3$

Write the index in base $2,$ then reinterpret those same digits in base $3$

Solución:

Una suma de potencias distintas de $3$ solo tiene $0$ y $1$ en base $3.$ Al aumentar estas cadenas, aparecen en el mismo orden que los números binarios con las mismas cifras. Como $100=1100100_2,$ el término positivo número $100$ es $\begin{aligned} 1100100_3 &=3^6+3^5+3^2\\ &=729+243+9\\ &=981. \end{aligned}$

A sum of distinct powers of $3$ has only $0$ ’s and $1$ ’s in base $3.$ As these strings increase, they occur in the same order as binary numerals with the same digit strings. Since $100=1100100_2,$ the $100$ th positive term is $\begin{aligned} 1100100_3 &=3^6+3^5+3^2\\ &=729+243+9\\ &=981. \end{aligned}$

8.

Sea $S$ la suma de los logaritmos en base $10$ de todos los divisores propios de $1000000.$ ¿Cuál es el entero más cercano a $S$ ?

Let $S$ be the sum of the base $10$ logarithms of all the proper divisors of $1000000.$ What is the integer nearest to $S?$

Respuesta

Conceptos:conteo de factores logaritmo factorización en primos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Factoriza $1000000$ y cuenta todos sus divisores positivos

Factor $1000000$ and count all of its positive divisors

Pista grande:

Empareja cada divisor $d$ con su divisor complementario $\frac{1000000}{d}$

Pair every divisor $d$ with its complementary divisor $\frac{1000000}{d}$

Solución:

Sea $N=1000000=2^6 5^6.$ Tiene $(6+1)(6+1)=49$ divisores positivos. El producto de todos ellos es $N^{\frac{49}{2}},$ así que la suma de sus logaritmos en base $10$ es $\frac{49}{2}\log_{10}N=\frac{49}{2}\cdot6=147.$ Los divisores propios incluyen $1$ , pero excluyen al propio $N.$ Al restar $\log_{10}N=6$ , se obtiene $S=141,$ que ya es un entero.

Let $N=1000000=2^6 5^6.$ It has $(6+1)(6+1)=49$ positive divisors. The product of all of them is $N^{\frac{49}{2}},$ so the sum of their base- $10$ logarithms is $\frac{49}{2}\log_{10}N=\frac{49}{2}\cdot6=147.$ The proper divisors include $1$ but exclude $N$ itself. Subtracting $\log_{10}N=6$ gives $S=141,$ already an integer.

9.

En $\triangle ABC,$ $AB=425,$ $BC=450,$ y $AC=510.$ Se toma un punto interior $P$ y se trazan por $P$ segmentos paralelos a los lados del triángulo. Si estos tres segmentos tienen la misma longitud $d,$ halla $d.$

In $\triangle ABC,$ $AB=425,$ $BC=450,$ and $AC=510.$ An interior point $P$ is drawn, and segments are drawn through $P$ parallel to the sides of the triangle. If these three segments have equal length $d,$ find $d.$

Respuesta

Conceptos:manipulación algebraica razón de áreas semejanza

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Normaliza las distancias perpendiculares de $P$ a los tres lados

Normalize the perpendicular distances from $P$ to the three sides

Pista grande:

Un corte paralelo a un lado tiene longitud igual a la de ese lado multiplicada por uno menos la distancia normalizada correspondiente

A cross-section parallel to a side has length equal to that side times one minus the corresponding normalized distance

Solución:

Escribe $a=BC=450,$ $b=CA=510,$ y $c=AB=425.$ Sean $x,$ $y$ y $z$ las distancias de $P$ a $BC,$ $CA,$ y $AB,$ respectivamente, cada una dividida por la altura correspondiente. La descomposición del área da $x+y+z=1.$

Por semejanza de triángulos, el segmento que pasa por $P$ y es paralelo a $BC$ tiene longitud $a(1-x),$ y análogamente las otras dos longitudes son $b(1-y)$ y $c(1-z).$ Como las tres son iguales a $d,$ $\begin{aligned} x&=1-\frac da,\\ y&=1-\frac db,\\ z&=1-\frac dc. \end{aligned}$ Su suma es $1,$ así que $d=\frac{2abc}{ab+bc+ca}.$ Al sustituir las tres longitudes de lado se obtiene $\begin{aligned} d&=\frac{195075000}{637500}\\ &=306. \end{aligned}$

Write $a=BC=450,$ $b=CA=510,$ and $c=AB=425.$ Let $x,$ $y,$ and $z$ be the distances from $P$ to $BC,$ $CA,$ and $AB,$ respectively, each divided by the corresponding altitude. Area decomposition gives $x+y+z=1.$

By similar triangles, the segment through $P$ parallel to $BC$ has length $a(1-x),$ and similarly the other two lengths are $b(1-y)$ and $c(1-z).$ Since all three equal $d,$ $\begin{aligned} x&=1-\frac da,\\ y&=1-\frac db,\\ z&=1-\frac dc. \end{aligned}$ Their sum is $1,$ so $d=\frac{2abc}{ab+bc+ca}.$ Substituting the three side lengths gives $\begin{aligned} d&=\frac{195075000}{637500}\\ &=306. \end{aligned}$

10.

En un juego de salón, el mago pide a un participante que piense en un número de tres cifras $(abc),$ donde $a,$ $b,$ y $c$ representan cifras en base $10$ en el orden indicado. Después le pide formar los números $(acb),$ $(bca),$ $(bac),$ $(cab),$ y $(cba),$ sumar estos cinco números y revelar su suma $N.$ Si conoce $N,$ el mago puede identificar el número original $(abc).$ Haz de mago y determina $(abc)$ si $N=3194.$

In a parlor game, the magician asks one of the participants to think of a three-digit number $(abc),$ where $a,$ $b,$ and $c$ represent base- $10$ digits in the indicated order. The magician then asks this person to form the numbers $(acb),$ $(bca),$ $(bac),$ $(cab),$ and $(cba),$ to add these five numbers, and to reveal their sum $N.$ If told $N,$ the magician can identify the original number $(abc).$ Play the role of the magician and determine $(abc)$ if $N=3194.$

Respuesta

Conceptos:dígitos valor posicional sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Incluye primero el número original y suma las seis permutaciones

First include the original number and sum all six permutations

Pista grande:

Si $s=a+b+c,$ expresa el número original en función de $s$ y $N$

If $s=a+b+c,$ express the original number in terms of $s$ and $N$

Solución:

En las seis permutaciones, cada cifra aparece dos veces en cada posición, así que su total es $222(a+b+c).$ Sea $s=a+b+c$ y sea el número original $M.$ Como los otros cinco suman $3194,$ $M=222s-3194.$ Puesto que $100\leq M\leq999,$ necesitamos $15\leq s\leq18.$ Al probar estos cuatro valores se obtienen $M=136,$ $M=358,$ $M=580,$ y $M=802,$ respectivamente. Solo $358$ tiene una suma de cifras igual al valor supuesto, a saber, $16.$ Por lo tanto, el número original es $358.$

Across all six permutations, each digit occurs twice in each place, so their total is $222(a+b+c).$ Put $s=a+b+c$ and let the original number be $M.$ Since the other five sum to $3194,$ $M=222s-3194.$ Because $100\leq M\leq999,$ we need $15\leq s\leq18.$ Testing these four values gives $M=136,$ $M=358,$ $M=580,$ and $M=802,$ respectively. Only $358$ has digit sum equal to its assumed value, namely $16.$ Therefore the original number is $358.$

11.

El polinomio $1-x+x^2-x^3+\cdots$ ${}+x^{16}-x^{17}$ puede escribirse en la forma $\begin{aligned} &a_0+a_1y+a_2y^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17}, \end{aligned}$ donde $y=x+1$ y los $a_i$ son constantes. Halla $a_2.$

The polynomial $1-x+x^2-x^3+\cdots$ ${}+x^{16}-x^{17}$ may be written in the form $\begin{aligned} &a_0+a_1y+a_2y^2+\cdots\\ &\qquad{}+a_{16}y^{16}+a_{17}y^{17}, \end{aligned}$ where $y=x+1$ and the $a_i$ ’s are constants. Find $a_2.$

Respuesta

Conceptos:teorema del binomio combinaciones polinomio

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Sustituye $x=y-1$ antes de desarrollar

Substitute $x=y-1$ before expanding

Pista grande:

Halla solo el coeficiente de $y^2$ en cada potencia y usa la identidad del palo de hockey

Find only the coefficient of $y^2$ in each power and use the hockey-stick identity

Solución:

El polinomio es $\sum_{k=0}^{17}(-x)^k.$ Como $x=y-1,$ se convierte en $\sum_{k=0}^{17}(1-y)^k.$ Para $k\geq2,$ el coeficiente de $y^2$ en $(1-y)^k$ es $\binom{k}{2}.$ Por tanto, $a_2=\sum_{k=2}^{17}\binom{k}{2} =\binom{18}{3}=816.$

The polynomial is $\sum_{k=0}^{17}(-x)^k.$ Since $x=y-1,$ this becomes $\sum_{k=0}^{17}(1-y)^k.$ For $k\geq2,$ the coefficient of $y^2$ in $(1-y)^k$ is $\binom{k}{2}.$ Hence $a_2=\sum_{k=2}^{17}\binom{k}{2} =\binom{18}{3}=816.$

12.

Se define la suma de un conjunto de números como la suma de sus elementos. Sea $S$ un conjunto de enteros positivos, ninguno mayor que $15.$ Supón que no hay dos subconjuntos disjuntos de $S$ con la misma suma. ¿Cuál es la mayor suma que puede tener un conjunto $S$ con estas propiedades?

Let the sum of a set of numbers be the sum of its elements. Let $S$ be a set of positive integers, none greater than $15.$ Suppose no two disjoint subsets of $S$ have the same sum. What is the largest sum a set $S$ with these properties can have?

Respuesta

Conceptos:argumento extremal media subconjuntos

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Si $S$ tuviera seis elementos, compara la varianza de sus $64$ sumas de subconjuntos con la de $64$ enteros consecutivos

If $S$ had six elements, compare the variance of its $64$ subset sums with that of $64$ consecutive integers

Pista grande:

Después de acotar el tamaño de $S,$ examina los subconjuntos de cinco elementos cuyas sumas superan el valor candidato

After bounding the size of $S,$ inspect the five-element subsets whose sums exceed the candidate

Solución:

Primero, $S$ tiene a lo sumo cinco elementos. Si tuviera seis elementos $s_1,\ldots,s_6,$ sus $64$ sumas de subconjuntos serían todas distintas: una igualdad entre dos sumas, después de cancelar los elementos comunes, violaría la condición dada.

Elige uniformemente al azar un subconjunto y sea $X$ su suma. Entonces $\begin{gathered} \operatorname{Var}(X) =\frac14\sum_{i=1}^6s_i^2\\ {}\leq\frac14(10^2+11^2+\cdots+15^2)\\ {}=\frac{955}{4}. \end{gathered}$ Por otra parte, $X$ es uniforme sobre $64$ enteros distintos. La menor varianza posible para $64$ enteros distintos ocurre cuando son consecutivos, y es $\frac{64^2-1}{12}=\frac{1365}{4},$ una contradicción.

Un conjunto con a lo sumo cuatro elementos tiene suma máxima $12+13+14+15=54.$ Solo hay siete subconjuntos de cinco elementos de $\{1,\ldots,15\}$ cuyas sumas son al menos $62.$ Todos fallan, como muestran las siguientes sumas iguales:

$\{8,12,13,14,15\}:$ $13+14=12+15.$ $\{9,11,13,14,15\}:$ $11+13=9+15.$ $\{9,12,13,14,15\}:$ $13+14=12+15.$

$\{10,11,12,14,15\}:$ $11+14=10+15.$ $\{10,11,13,14,15\}:$ $11+13=10+14.$

$\{10,12,13,14,15\}:$ $12+13=10+15.$ $\{11,12,13,14,15\}:$ $12+13=11+14.$

Por tanto, la respuesta es a lo sumo $61.$

El conjunto $\{8,11,13,14,15\}$ alcanza $61.$ Sus $32$ sumas de subconjuntos, en orden, son $\begin{gathered} 0,8,11,13,14,15,19,21,\\ 22,23,24,25,26,27,28,29,\\ 32,33,34,35,36,37,38,39,\\ 40,42,46,47,48,50,53,61, \end{gathered}$ todas distintas. Si dos subconjuntos cualesquiera tuvieran la misma suma, al eliminar su intersección se obtendrían dos subconjuntos disjuntos con la misma suma; por tanto, esto verifica la propiedad requerida.

First, $S$ has at most five elements. If it had six elements $s_1,\ldots,s_6,$ then its $64$ subset sums would all be distinct: equality between two subset sums, after cancelling their common elements, would violate the given condition.

Choose a subset uniformly at random and let $X$ be its sum. Then $\begin{gathered} \operatorname{Var}(X) =\frac14\sum_{i=1}^6s_i^2\\ {}\leq\frac14(10^2+11^2+\cdots+15^2)\\ {}=\frac{955}{4}. \end{gathered}$ On the other hand, $X$ is uniform on $64$ distinct integers. The least possible variance for $64$ distinct integers occurs when they are consecutive, and is $\frac{64^2-1}{12}=\frac{1365}{4},$ a contradiction.

A set with at most four elements has sum at most $12+13+14+15=54.$ There are only seven five-element subsets of $\{1,\ldots,15\}$ whose sums are at least $62.$ Each fails, as witnessed by the following equal sums:

$\{8,12,13,14,15\}:$ $13+14=12+15.$ $\{9,11,13,14,15\}:$ $11+13=9+15.$ $\{9,12,13,14,15\}:$ $13+14=12+15.$

$\{10,11,12,14,15\}:$ $11+14=10+15.$ $\{10,11,13,14,15\}:$ $11+13=10+14.$

$\{10,12,13,14,15\}:$ $12+13=10+15.$ $\{11,12,13,14,15\}:$ $12+13=11+14.$

Thus the answer is at most $61.$

The set $\{8,11,13,14,15\}$ attains $61.$ Its $32$ subset sums, in order, are $\begin{gathered} 0,8,11,13,14,15,19,21,\\ 22,23,24,25,26,27,28,29,\\ 32,33,34,35,36,37,38,39,\\ 40,42,46,47,48,50,53,61, \end{gathered}$ all distinct. Equal sums from arbitrary subsets would, after deleting their intersection, give equal sums from disjoint subsets, so this verifies the required property.

13.

En una sucesión de lanzamientos de moneda, se pueden registrar los casos en que una cruz va seguida inmediatamente de una cara, una cara va seguida inmediatamente de otra cara, y así sucesivamente. Los denotamos por $\mathrm{TH},$ $\mathrm{HH},$ etcétera. Por ejemplo, en la sucesión $\mathrm{HHTTHHHHTHHTTTT}$ de $15$ lanzamientos hay dos subsecuencias $\mathrm{HH},$ tres $\mathrm{HT},$ cuatro $\mathrm{TH},$ y cinco $\mathrm{TT}.$ ¿Cuántas sucesiones distintas de $15$ lanzamientos contienen exactamente dos $\mathrm{HH},$ tres $\mathrm{HT},$ cuatro $\mathrm{TH},$ y cinco $\mathrm{TT}$ ?

In a sequence of coin tosses, one can keep a record of instances in which a tail is immediately followed by a head, a head is immediately followed by a head, and so on. We denote these by $\mathrm{TH},$ $\mathrm{HH},$ and so on. For example, in the sequence $\mathrm{HHTTHHHHTHHTTTT}$ of $15$ coin tosses, there are two $\mathrm{HH},$ three $\mathrm{HT},$ four $\mathrm{TH},$ and five $\mathrm{TT}$ subsequences. How many different sequences of $15$ coin tosses contain exactly two $\mathrm{HH},$ three $\mathrm{HT},$ four $\mathrm{TH},$ and five $\mathrm{TT}$ subsequences?

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones principio de multiplicación estrellas y barras

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Compara las cantidades de transiciones $\mathrm{HT}$ y $\mathrm{TH}$ para determinar el primer y el último lanzamiento

Compare the numbers of $\mathrm{HT}$ and $\mathrm{TH}$ transitions to determine the first and last tosses

Pista grande:

Convierte las cantidades de $\mathrm{HH}$ y $\mathrm{TT}$ en longitudes totales distribuidas entre rachas alternantes

Translate the $\mathrm{HH}$ and $\mathrm{TT}$ counts into totals distributed among alternating runs

Solución:

Como hay cuatro transiciones $\mathrm{TH}$ y tres transiciones $\mathrm{HT}$ , toda sucesión válida comienza con $\mathrm{T}$ y termina con $\mathrm{H}.$ Por tanto, tiene cuatro rachas de $\mathrm{T}$ y cuatro rachas de $\mathrm{H}$ , alternadas.

Si las rachas de $\mathrm{H}$ tienen longitud total $h,$ entonces la cantidad de transiciones $\mathrm{HH}$ es $h-4.$ Así, $h=6,$ y las longitudes positivas de las cuatro rachas de $\mathrm{H}$ se pueden elegir de $\binom{6-1}{4-1}=\binom53=10$ maneras. Análogamente, cinco transiciones $\mathrm{TT}$ significan que las cuatro rachas de $\mathrm{T}$ tienen longitud total $9,$ lo que da $\binom{9-1}{4-1}=\binom83=56$ opciones. El orden alternante está fijado, así que la cantidad de sucesiones es $10\cdot56=560.$

Since there are four $\mathrm{TH}$ transitions and three $\mathrm{HT}$ transitions, every valid sequence starts with $\mathrm{T}$ and ends with $\mathrm{H}.$ It therefore has four $\mathrm{T}$ -runs and four $\mathrm{H}$ -runs, alternating.

If the $\mathrm{H}$ -runs have total length $h,$ then the number of $\mathrm{HH}$ transitions is $h-4.$ Thus $h=6,$ and the positive lengths of the four $\mathrm{H}$ -runs can be chosen in $\binom{6-1}{4-1}=\binom53=10$ ways. Similarly, five $\mathrm{TT}$ transitions mean that the four $\mathrm{T}$ -runs have total length $9,$ giving $\binom{9-1}{4-1}=\binom83=56$ choices. The alternating order is fixed, so the number of sequences is $10\cdot56=560.$

14.

Las distancias mínimas entre una diagonal espacial de un paralelepípedo rectangular $P$ y las aristas que no corta son $2\sqrt5,$ $\frac{30}{\sqrt{13}},$ y $\frac{15}{\sqrt{10}}.$ Determina el volumen de $P.$

The shortest distances between an interior diagonal of a rectangular parallelepiped $P$ and the edges it does not meet are $2\sqrt5,$ $\frac{30}{\sqrt{13}},$ and $\frac{15}{\sqrt{10}}.$ Determine the volume of $P.$

Respuesta

Conceptos:prisma rectangular sistema de ecuaciones vector

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Denota por $a,$ $b,$ y $c$ las longitudes de las aristas y usa una fórmula vectorial para la distancia entre rectas alabeadas

Let the side lengths be $a,$ $b,$ and $c$ and use a vector formula for the distance between skew lines

Pista grande:

Tomar los recíprocos de los cuadrados de las distancias hace que las ecuaciones sean lineales en $\frac{1}{a^2},$ $\frac{1}{b^2},$ y $\frac{1}{c^2}$

Taking reciprocals of the squared distances makes the equations linear in $\frac{1}{a^2},$ $\frac{1}{b^2},$ and $\frac{1}{c^2}$

Solución:

Las longitudes de las aristas son $a,$ $b,$ y $c.$ Por ejemplo, la distancia desde la diagonal espacial con dirección $(a,b,c)$ hasta una arista que no la corta y es paralela a la dirección $a$ es $\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}.$ Las otras dos distancias se obtienen cíclicamente. Podemos asignar las tres distancias dadas a estas tres direcciones en el orden indicado, pues permutarlas solo permuta las longitudes de las aristas.

Sean $X=\frac{1}{a^2},$ $Y=\frac{1}{b^2},$ y $Z=\frac{1}{c^2}.$ Al tomar los recíprocos de los cuadrados se obtiene $\begin{aligned} Y+Z&=\frac1{20},\\ X+Z&=\frac{13}{900},\\ X+Y&=\frac2{45}. \end{aligned}$ Al resolver, $\begin{aligned} X&=\frac1{225},\\ Y&=\frac1{25},\\ Z&=\frac1{100}. \end{aligned}$ Por tanto, las longitudes de las aristas son $15,$ $5,$ $10,$ y el volumen es $15\cdot5\cdot10=750.$

Let the side lengths be $a,$ $b,$ and $c.$ For example, the distance from the space diagonal with direction $(a,b,c)$ to a nonintersecting edge parallel to the $a$ -direction is $\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}.$ The other two distances are obtained cyclically. We may assign the three given distances to these three directions in the listed order, since permuting them only permutes the side lengths.

Put $X=\frac{1}{a^2},$ $Y=\frac{1}{b^2},$ and $Z=\frac{1}{c^2}.$ Taking reciprocal squares gives $\begin{aligned} Y+Z&=\frac1{20},\\ X+Z&=\frac{13}{900},\\ X+Y&=\frac2{45}. \end{aligned}$ Solving, $\begin{aligned} X&=\frac1{225},\\ Y&=\frac1{25},\\ Z&=\frac1{100}. \end{aligned}$ Hence the side lengths are $15,$ $5,$ $10,$ and the volume is $15\cdot5\cdot10=750.$

15.

Sea el triángulo $ABC$ un triángulo rectángulo en el plano $xy$ , con ángulo recto en $C.$ Se sabe que la hipotenusa $AB$ tiene longitud $60,$ y que las medianas que pasan por $A$ y $B$ están sobre las rectas $y=x+3$ y $y=2x+4,$ respectivamente. Halla el área de $\triangle ABC.$

Let triangle $ABC$ be a right triangle in the $xy$ -plane with a right angle at $C.$ Given that the hypotenuse $AB$ has length $60,$ and that the medians through $A$ and $B$ lie along the lines $y=x+3$ and $y=2x+4,$ respectively, find the area of $\triangle ABC.$

Respuesta

Conceptos:baricentro geometría analítica mediana (geometría)área del triángulo

Nivel de dificultad: 2820

Pista pequeña:

La intersección de las dos rectas que contienen las medianas es el centroide

The intersection of the two median lines is the centroid

Pista grande:

Parametriza $A$ y $B$ desde el centroide en las direcciones de los vectores $(1,1)$ y $(1,2)$

Parametrize $A$ and $B$ from the centroid along direction vectors $(1,1)$ and $(1,2)$

Solución:

Las rectas que contienen las medianas se cortan en el centroide $G=(-1,2).$ Para números reales $u$ y $v,$ escribe $\begin{aligned} A&=G+(u,u),\\ B&=G+(v,2v). \end{aligned}$ Como $A+B+C=3G,$ $C=G-(u,u)-(v,2v).$ La condición $AC\perp BC$ da $\begin{aligned} &(2u+v,2u+2v)\\ &\qquad\mathbin{\cdot}(u+2v,u+4v)=0, \end{aligned}$ es decir, $4u^2+15uv+10v^2=0.$ Por otra parte, $AB=60$ da $\begin{aligned} &(u-v)^2+(u-2v)^2\\ &\qquad=2u^2-6uv+5v^2\\ &\qquad=3600. \end{aligned}$ Al restar la mitad de la primera ecuación de la segunda se obtiene $-\frac{27}{2}uv=3600,$ por lo que $uv=-\frac{800}{3}.$

Usando los dos catetos perpendiculares que parten de $C,$ el área es la mitad del valor absoluto del determinante: $\begin{aligned} [ABC] &=\frac12\left| \det\begin{pmatrix}2u+v&2u+2v\\u+2v&u+4v\end{pmatrix} \right|\\ &=\frac12|3uv| =400. \end{aligned}$

The median lines meet at the centroid $G=(-1,2).$ For real $u$ and $v,$ write $\begin{aligned} A&=G+(u,u),\\ B&=G+(v,2v). \end{aligned}$ Since $A+B+C=3G,$ $C=G-(u,u)-(v,2v).$ The condition $AC\perp BC$ gives $\begin{aligned} &(2u+v,2u+2v)\\ &\qquad\mathbin{\cdot}(u+2v,u+4v)=0, \end{aligned}$ or $4u^2+15uv+10v^2=0.$ Meanwhile $AB=60$ gives $\begin{aligned} &(u-v)^2+(u-2v)^2\\ &\qquad=2u^2-6uv+5v^2\\ &\qquad=3600. \end{aligned}$ Subtracting half of the first equation from the second yields $-\frac{27}{2}uv=3600,$ so $uv=-\frac{800}{3}.$

Using the two perpendicular legs from $C,$ the area is half the absolute determinant: $\begin{aligned} [ABC] &=\frac12\left| \det\begin{pmatrix}2u+v&2u+2v\\u+2v&u+4v\end{pmatrix} \right|\\ &=\frac12|3uv| =400. \end{aligned}$