Question

Un par ordenado $(m,n)$ de enteros no negativos se llama «simple» si al sumar $m+n$ en base $10$ no se produce ningún acarreo. Halla la cantidad de pares ordenados simples cuya suma es $1492.$

An ordered pair $(m,n)$ of nonnegative integers is called “simple” if adding $m+n$ in base $10$ requires no carrying. Find the number of simple ordered pairs that sum to $1492.$

Respuesta

Respuesta: 300

Conceptos:dígitos valor posicional principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Considera por separado las cuatro posiciones decimales

Treat the four decimal places independently

Pista grande:

Sin acarreo, una cifra objetivo $d$ puede descomponerse en un par ordenado de cifras de $d+1$ maneras

A target digit $d$ can be split into an ordered pair of digits in $d+1$ ways without carrying

Solución:

Para una cifra objetivo $d,$ hay $d+1$ pares ordenados de cifras no negativas cuya suma es $d.$ Por tanto, las cuatro cifras $1,$ $4,$ $9,$ y $2$ dan, de manera independiente, $2,$ $5,$ $10,$ y $3$ opciones. La respuesta es $2\cdot5\cdot10\cdot3=300.$

For a target digit $d,$ there are $d+1$ ordered pairs of nonnegative digits with sum $d.$ The four digits $1,$ $4,$ $9,$ $2$ therefore give $2,$ $5,$ $10,$ $3$ choices independently. The answer is $2\cdot5\cdot10\cdot3=300.$

1987 AIME Problema 1

Respuesta: 300

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años