1987 AIME — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Un par ordenado $(m,n)$ de enteros no negativos se llama «simple» si al sumar $m+n$ en base $10$ no se produce ningún acarreo. Halla la cantidad de pares ordenados simples cuya suma es $1492.$

An ordered pair $(m,n)$ of nonnegative integers is called “simple” if adding $m+n$ in base $10$ requires no carrying. Find the number of simple ordered pairs that sum to $1492.$

Respuesta

Respuesta: 300

Conceptos:dígitos valor posicional principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Considera por separado las cuatro posiciones decimales

Treat the four decimal places independently

Pista grande:

Sin acarreo, una cifra objetivo $d$ puede descomponerse en un par ordenado de cifras de $d+1$ maneras

A target digit $d$ can be split into an ordered pair of digits in $d+1$ ways without carrying

Solución:

Para una cifra objetivo $d,$ hay $d+1$ pares ordenados de cifras no negativas cuya suma es $d.$ Por tanto, las cuatro cifras $1,$ $4,$ $9,$ y $2$ dan, de manera independiente, $2,$ $5,$ $10,$ y $3$ opciones. La respuesta es $2\cdot5\cdot10\cdot3=300.$

For a target digit $d,$ there are $d+1$ ordered pairs of nonnegative digits with sum $d.$ The four digits $1,$ $4,$ $9,$ $2$ therefore give $2,$ $5,$ $10,$ $3$ choices independently. The answer is $2\cdot5\cdot10\cdot3=300.$

2.

¿Cuál es la mayor distancia posible entre dos puntos, uno sobre la esfera de radio $19$ con centro en $(-2,-10,5)$ y el otro sobre la esfera de radio $87$ con centro en $(12,8,-16)$ ?

What is the largest possible distance between two points, one on the sphere of radius $19$ centered at $(-2,-10,5)$ and the other on the sphere of radius $87$ centered at $(12,8,-16)?$

Respuesta

Respuesta: 137

Conceptos:esfera fórmula de la distancia desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Primero halla la distancia entre los dos centros

First find the distance between the two centers

Pista grande:

El máximo se alcanza sobre la recta de los centros, en los dos lados exteriores

The maximum occurs along the line of centers, on the two outward sides

Solución:

El cuadrado de la distancia entre los centros es $14^2+18^2+(-21)^2=961,$ así que están separados por $\sqrt{961}=31$ . Por la desigualdad triangular, la mayor distancia entre los puntos se obtiene sobre la recta de los centros y es $19+31+87=137.$

The squared distance between the centers is $14^2+18^2+(-21)^2=961,$ so they are $\sqrt{961}=31$ apart. By the triangle inequality, the greatest point-to-point distance is obtained on the line of centers and equals $19+31+87=137.$

3.

Un divisor propio de un número natural es un divisor entero positivo distinto de $1$ y del propio número. Un número natural mayor que $1$ se llama «bonito» si es igual al producto de sus distintos divisores propios. ¿Cuál es la suma de los primeros diez números bonitos?

A proper divisor of a natural number is a positive integral divisor other than $1$ and the number itself. A natural number greater than $1$ is called “nice” if it equals the product of its distinct proper divisors. What is the sum of the first ten nice numbers?

Respuesta

Respuesta: 182

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Expresa el producto de todos los divisores positivos en función del número y de su cantidad de divisores

Express the product of all positive divisors in terms of the number and its divisor count

Pista grande:

Los números bonitos son exactamente los que tienen cuatro divisores positivos

The nice numbers are exactly those having four positive divisors

Solución:

Si $N$ tiene $d$ divisores positivos, su producto es $N^{\frac{d}{2}}.$ Al eliminar $1$ y $N$ , queda el producto $N^{\frac{d}{2}-1},$ que es igual a $N$ exactamente cuando $d=4.$ Por tanto, los números bonitos son precisamente los de la forma $p^3$ y $pq$ , con primos distintos en el segundo caso. Los primeros diez son $6,$ $8,$ $10,$ $14,$ $15,$ $21,$ $22,$ $26,$ $27,$ $33,$ cuya suma es $182.$

If $N$ has $d$ positive divisors, their product is $N^{\frac{d}{2}}.$ Removing $1$ and $N$ leaves product $N^{\frac{d}{2}-1},$ which equals $N$ exactly when $d=4.$ Thus nice numbers are precisely $p^3$ and $pq$ for distinct primes. The first ten are $6,$ $8,$ $10,$ $14,$ $15,$ $21,$ $22,$ $26,$ $27,$ $33,$ whose sum is $182.$

4.

Halla el área de la región encerrada por la gráfica de $|x-60|+|y|=|\frac{x}{4}|.$

Find the area of the region enclosed by the graph of $|x-60|+|y|=|\frac{x}{4}|.$

Respuesta

Respuesta: 480

Conceptos:valor absoluto geometría analítica cometa

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Despeja $|y|$ y determina dónde su lado derecho es no negativo

Solve for $|y|$ and determine where its right-hand side is nonnegative

Pista grande:

La frontera es un deltoide cuyos vértices aparecen en los puntos de cambio de los valores absolutos

The boundary is a kite whose vertices occur at the breakpoints of the absolute values

Solución:

Necesitamos $|y|=\frac{|x|}{4}-|x-60|\geq0.$ Esto obliga a que $48\leq x\leq80.$ Para $x=48,$ $x=60,$ $x=80,$ los valores de la frontera son, respectivamente, $y=0,$ $y=\pm15,$ $y=0.$ Por tanto, la región es un deltoide con diagonales perpendiculares de longitudes $80-48=32$ y $30,$ por lo que su área es $\frac12(32)(30)=480.$

We need $|y|=\frac{|x|}{4}-|x-60|\geq0.$ This forces $48\leq x\leq80.$ At $x=48,$ $x=60,$ $x=80,$ the boundary values are respectively $y=0,$ $y=\pm15,$ $y=0.$ Hence the region is a kite with perpendicular diagonals $80-48=32$ and $30,$ so its area is $\frac12(32)(30)=480.$

5.

Halla $3x^2y^2$ si $x$ y $y$ son enteros tales que $y^2+3x^2y^2=30x^2+517.$

Find $3x^2y^2$ if $x$ and $y$ are integers such that $y^2+3x^2y^2=30x^2+517.$

Respuesta

Respuesta: 588

Conceptos:factorización Ecuación diofántica divisibilidad

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Traslada un múltiplo adecuado de $3x^2+1$ para formar un producto

Move a suitable multiple of $3x^2+1$ to create a product

Pista grande:

Factoriza $507$ y usa que $3x^2+1\equiv1\pmod3$

Factor $507$ and use that $3x^2+1\equiv1\pmod3$

Solución:

Al reordenar se obtiene $(3x^2+1)(y^2-10)=507,$ donde $507=3\cdot13^2.$ Los divisores positivos de $507$ congruentes con $1\pmod3$ son $1,$ $13,$ $169.$ Si $3x^2+1=1,$ entonces $x^2=0$ pero $y^2=517,$ que no es un cuadrado. Si $3x^2+1=13,$ entonces $x^2=4$ y $y^2=49.$ Por último, $3x^2+1=169$ da $x^2=56,$ que no es un cuadrado. Por tanto, $3x^2y^2=3\cdot4\cdot49=588.$

Rearranging gives $(3x^2+1)(y^2-10)=507,$ where $507=3\cdot13^2.$ The positive divisors of $507$ congruent to $1\pmod3$ are $1,$ $13,$ $169.$ If $3x^2+1=1,$ then $x^2=0$ but $y^2=517,$ which is not a square. If $3x^2+1=13,$ then $x^2=4$ and $y^2=49.$ Finally, $3x^2+1=169$ gives $x^2=56,$ not a square. Therefore $3x^2y^2=3\cdot4\cdot49=588.$

6.

Como se muestra, cinco segmentos dividen el rectángulo $ABCD$ en cuatro partes de igual área, donde $XY=YB+BC+CZ,$ $YB+BC+CZ=ZW,$ $ZW=WD+DA+AX,$ y $PQ\parallel AB.$ Halla $AB$ , en centímetros, si $BC=19$ cm y $PQ=87$ cm.

Rectangle $ABCD$ is divided into four parts of equal area by five segments as shown, where $XY=YB+BC+CZ,$ $YB+BC+CZ=ZW,$ $ZW=WD+DA+AX,$ and $PQ\parallel AB.$ Find $AB$ (in cm) if $BC=19$ cm and $PQ=87$ cm.

Respuesta

Respuesta: 193

Conceptos:rectángulo sistema de ecuaciones trapecio

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Llama $t$ a la longitud común de los bordes y $L$ al ancho del rectángulo

Call the common boundary length $t$ and the rectangle width $L$

Pista grande:

Las áreas iguales por encima y por debajo de $PQ$ sitúan a $PQ$ a media altura del rectángulo

Equal areas above and below $PQ$ place $PQ$ halfway up the rectangle

Solución:

Sea $AB=L$ y sean las cuatro longitudes iguales de los bordes $t.$ Al escribir $AX=x$ y $DW=w,$ la condición del borde izquierdo da $x+w=t-19.$ Al sustituir $XY=ZW=t$ en la condición derecha se obtiene $2L+38=4t,$ por lo que $t=\frac{L+19}{2}.$

Las regiones centrales superior e inferior son trapecios con las mismas bases $t$ y $87.$ Como sus áreas son iguales, $PQ$ está a media altura del rectángulo de $19$ cm. Por tanto, cada región central tiene área $\frac{19(t+87)}{4}.$ Esto es un cuarto del área del rectángulo, $\frac{19L}{4},$ así que $t+87=L.$ Al combinarlo con $t=\frac{L+19}{2}$ se obtiene $L=193.$

Put $AB=L$ and let the four equal boundary lengths be $t.$ Writing $AX=x$ and $DW=w,$ the left boundary condition gives $x+w=t-19.$ Substituting $XY=ZW=t$ into the right condition gives $2L+38=4t,$ so $t=\frac{L+19}{2}.$

The upper and lower central regions are trapezoids with the same bases $t$ and $87.$ Since their areas are equal, $PQ$ lies halfway up the $19$ -cm rectangle. Each central region therefore has area $\frac{19(t+87)}{4}.$ This is one quarter of the rectangle, $\frac{19L}{4},$ so $t+87=L.$ Combining with $t=\frac{L+19}{2}$ yields $L=193.$

7.

Sea $[r,s]$ el mínimo común múltiplo de los enteros positivos $r$ y $s.$ Halla la cantidad de ternas ordenadas $(a,b,c)$ para las cuales $[a,b]=1000,$ $[b,c]=2000,$ y $[c,a]=2000.$

Let $[r,s]$ denote the least common multiple of positive integers $r,$ $s.$ Find the number of ordered triples $(a,b,c)$ for which $[a,b]=1000,$ $[b,c]=2000,$ and $[c,a]=2000.$

Respuesta

Respuesta: 70

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Considera por separado los exponentes de $2$ y $5$

Treat the exponents of $2$ and $5$ independently

Pista grande:

Para cada primo, convierte cada mínimo común múltiplo en una condición sobre máximos por parejas

For each prime, translate every least common multiple into a condition on pairwise maxima

Solución:

Para el exponente de $5,$ los tres máximos por parejas son iguales a $3.$ Por tanto, al menos dos exponentes son $3:$ hay una terna cuyos tres exponentes son $3$ y $3\cdot3$ ternas con exactamente dos exponentes iguales a $3$ , para un total de $10$ opciones.

Para el exponente de $2,$ la primera pareja tiene máximo $3$ , mientras que las otras dos tienen máximo $4.$ El exponente de $c$ debe ser $4,$ y los exponentes de $a$ y $b$ pertenecen a $\{0,1,2,3\}$ con máximo $3,$ lo que da $4^2-3^2=7$ opciones. La independencia da $10\cdot7=70.$

For the exponent of $5,$ all three pairwise maxima equal $3.$ Thus at least two exponents are $3:$ there is one all- $3$ triple and $3\cdot3$ triples with exactly two $3$ ’s, for $10$ choices.

For the exponent of $2,$ the first pair has maximum $3$ while the other two have maximum $4.$ The exponent of $c$ must be $4,$ and the exponents of $a$ and $b$ lie in $\{0,1,2,3\}$ with maximum $3,$ giving $4^2-3^2=7$ choices. Independence gives $10\cdot7=70.$

8.

¿Cuál es el mayor entero positivo $n$ para el cual existe un único entero $k$ tal que $\frac8{15}<\frac{n}{n+k}<\frac7{13}$ ?

What is the largest positive integer $n$ for which there is a unique integer $k$ such that $\frac8{15}<\frac{n}{n+k}<\frac7{13}?$

Respuesta

Respuesta: 112

Conceptos:desigualdad fracción acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Despeja $k$ en ambas desigualdades

Solve both inequalities for $k$

Pista grande:

Estudia los enteros del intervalo abierto $(\frac{6n}{7},\frac{7n}{8})$

Study the integers in the open interval $(\frac{6n}{7},\frac{7n}{8})$

Solución:

Las desigualdades son equivalentes a $\frac{6n}{7}<k<\frac{7n}{8}.$ Este intervalo tiene longitud $\frac{n}{56}.$ Para $n=112$ es $(96,98),$ que contiene únicamente a $97.$ Si $n>112$ , su longitud supera $2,$ así que contiene al menos dos enteros. Por tanto, el mayor valor posible de $n$ es $112.$

The inequalities are equivalent to $\frac{6n}{7}<k<\frac{7n}{8}.$ This interval has length $\frac{n}{56}.$ At $n=112$ it is $(96,98),$ containing only $97.$ For $n>112$ its length exceeds $2,$ so it contains at least two integers. Thus the largest possible $n$ is $112.$

9.

El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $B$ y contiene un punto $P$ para el cual $PA=10,$ $PB=6,$ y $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA.$ Halla $PC.$

Triangle $ABC$ has a right angle at $B$ and contains a point $P$ for which $PA=10,$ $PB=6,$ and $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA.$ Find $PC.$

Respuesta

Respuesta: 33

Conceptos:vector triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Los tres ángulos iguales alrededor de $P$ miden $120^\circ$ cada uno

The three equal angles around $P$ are each $120^\circ$

Pista grande:

Usa vectores con origen en $P$ y convierte el ángulo recto en $B$ en un producto escalar

Use vectors from $P$ and translate the right angle at $B$ into a dot product

Solución:

Sean $\mathbf a,$ $\mathbf b,$ y $\mathbf c$ los vectores desde $P$ hasta $A,$ $B$ y $C,$ y sea $|\mathbf c|=x.$ Sus ángulos por parejas son de $120^\circ,$ así que $\mathbf a\cdot\mathbf b=-30,$ $\mathbf b\cdot\mathbf c=-3x,$ y $\mathbf a\cdot\mathbf c=-5x.$ Como $AB\perp BC,$

$(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0.$ Al desarrollar se obtiene $-5x+30+3x+36=0,$ por lo que $x=33.$

Let $\mathbf a,$ $\mathbf b,$ and $\mathbf c$ be the vectors from $P$ to $A,$ $B,$ $C,$ and put $|\mathbf c|=x.$ Their pairwise angles are $120^\circ,$ so $\mathbf a\cdot\mathbf b=-30,$ $\mathbf b\cdot\mathbf c=-3x,$ and $\mathbf a\cdot\mathbf c=-5x.$ Since $AB\perp BC,$

$(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0.$ Expanding gives $-5x+30+3x+36=0,$ so $x=33.$

10.

Al baja caminando por una escalera mecánica que sube y cuenta $150$ escalones. Bob sube caminando y cuenta $75$ escalones. Si la velocidad al caminar de Al es tres veces la de Bob, ¿cuántos escalones son visibles en un momento dado? Supón que esta cantidad es constante.

Al walks down an escalator that is moving up and counts $150$ steps. Bob walks up and counts $75$ steps. If Al’s walking speed is three times Bob’s, how many steps are visible at a given time? Assume this is constant.

Respuesta

Respuesta: 120

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Denota la velocidad de Bob por $b,$ la velocidad ascendente de la escalera por $e,$ y la cantidad visible por $N$

Let Bob’s speed be $b,$ the escalator’s upward speed be $e,$ and the visible count be $N$

Pista grande:

Para cada persona, escribe $N$ como la velocidad neta multiplicada por el tiempo de recorrido

Write $N$ as net speed times travel time for each person

Solución:

El tiempo de Bob es $\frac{75}{b},$ así que $N=(b+e)(\frac{75}{b}),$ o bien $N=75(1+\frac{e}{b}).$ El tiempo de Al es $\frac{150}{3b}=\frac{50}{b},$ así que $N=(3b-e)(\frac{50}{b}),$ o bien $N=150-\frac{50e}{b}.$ Al igualar se obtiene $\frac{125e}{b}=75,$ de donde $\frac{e}{b}=\frac{3}{5}$ y $N=75(1+\frac{3}{5})=120.$

Bob’s time is $\frac{75}{b},$ so $N=(b+e)(\frac{75}{b}),$ or $N=75(1+\frac{e}{b}).$ Al’s time is $\frac{150}{3b}=\frac{50}{b},$ so $N=(3b-e)(\frac{50}{b}),$ or $N=150-\frac{50e}{b}.$ Equating gives $\frac{125e}{b}=75,$ hence $\frac{e}{b}=\frac{3}{5}$ and $N=75(1+\frac{3}{5})=120.$

11.

Halla el mayor valor posible de $k$ para el cual $3^{11}$ puede expresarse como la suma de $k$ enteros positivos consecutivos.

Find the largest possible $k$ for which $3^{11}$ is expressible as the sum of $k$ consecutive positive integers.

Respuesta

Respuesta: 486

Conceptos:sucesión aritmética divisibilidad exponente

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Escribe la suma como $\frac{k(2a+k-1)}{2}$

Write the sum as $\frac{k(2a+k-1)}{2}$

Pista grande:

Las únicas longitudes posibles dividen a $2\cdot3^{11}$ ; después exige que el primer término sea positivo

The only possible lengths divide $2\cdot3^{11}$ ; then enforce a positive first term

Solución:

Si el primer término es $a,$ entonces $2\cdot3^{11}=k(2a+k-1).$ Por tanto, $k$ es de la forma $3^j$ o $2\cdot3^j.$ La mayor opción par viable es $k=2\cdot3^5=486,$ para la cual $2a+k-1=3^6=729$ y $a=122>0.$ Los siguientes candidatos, $3^6$ y $2\cdot3^6,$ obligan a que el primer término no sea positivo, al igual que todas las opciones mayores. Por tanto, $k=486.$

If the first term is $a,$ then $2\cdot3^{11}=k(2a+k-1).$ Thus $k$ is $3^j$ or $2\cdot3^j.$ The largest viable even choice is $k=2\cdot3^5=486,$ for which $2a+k-1=3^6=729$ and $a=122>0.$ The next candidates, $3^6$ and $2\cdot3^6,$ force a nonpositive first term, as do all larger choices. Hence $k=486.$

12.

Sea $m$ el menor entero cuya raíz cúbica tiene la forma $n+r,$ donde $n$ es un entero positivo y $0<r<\frac{1}{1000}.$ Halla $n.$

Let $m$ be the smallest integer whose cube root has the form $n+r,$ where $n$ is a positive integer and $0<r<\frac{1}{1000}.$ Find $n.$

Respuesta

Respuesta: 19

Conceptos:potencia perfecta estimación desigualdad

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Para un $n$ fijo, el menor entero posible es $m=n^3+1$

For fixed $n,$ the smallest possible integer is $m=n^3+1$

Pista grande:

Compara $n^3+1$ con $(n+0.001)^3$

Compare $n^3+1$ with $(n+0.001)^3$

Solución:

Para un $n$ dado, el entero cuya raíz cúbica queda más cerca de $n$ por arriba es $m=n^3+1.$ Necesitamos $n^3+1<(n+0.001)^3,$ o bien $1<0.003n^2+0.000003n+10^{-9}.$ Esto falla para $n=18$ y se cumple para $n=19.$ El lado derecho es creciente para $n$ positivo, así que todo $n$ menor falla; todo $n$ mayor tiene un candidato mínimo mayor, $m=n^3+1.$ Por tanto, el menor $m$ ocurre cuando $n=19.$

For a given $n,$ the closest integer cube-root candidate above $n$ is $m=n^3+1.$ We need $n^3+1<(n+0.001)^3,$ or $1<0.003n^2+0.000003n+10^{-9}.$ This fails at $n=18$ and holds at $n=19.$ The right-hand side is increasing for positive $n,$ so every smaller $n$ fails; every larger $n$ has a larger least candidate $m=n^3+1.$ Hence the smallest $m$ occurs with $n=19.$

13.

Una sucesión dada $r_1,$ $r_2,$ $\ldots,$ $r_n$ de números reales distintos puede ordenarse de menor a mayor mediante una o más «pasadas de burbuja». Una pasada de burbuja por una sucesión consiste en comparar el segundo término con el primero e intercambiarlos si y solo si el segundo es menor; después, comparar el tercero con el segundo e intercambiarlos si y solo si el tercero es menor; y continuar así, en orden, hasta comparar el último término, $r_n,$ con su predecesor actual e intercambiarlos si y solo si el último es menor.

El siguiente ejemplo muestra cómo una pasada de burbuja transforma la sucesión $1,$ $9,$ $8,$ $7$ en la sucesión $1,$ $8,$ $7,$ $9$ . Los números comparados en cada paso están subrayados.

$\begin{aligned} \underline{1}\quad\underline{9}\quad8\quad7\\ 1\quad\underline{9}\quad\underline{8}\quad7\\ 1\quad8\quad\underline{9}\quad\underline{7}\\ 1\quad8\quad7\quad9 \end{aligned}$

Supón que $n=40,$ y que los términos de la sucesión inicial $r_1,$ $r_2,$ $\ldots,$ $r_{40}$ son distintos entre sí y están en orden aleatorio. Sea $\frac{p}{q},$ como fracción irreducible, la probabilidad de que el número que inicialmente es $r_{20}$ termine, después de una pasada de burbuja, en el lugar $30$ . Halla $p+q.$

A given sequence $r_1,$ $r_2,$ $\ldots,$ $r_n$ of distinct real numbers can be put in ascending order by means of one or more “bubble passes.” A bubble pass through a given sequence consists of comparing the second term with the first term, and exchanging them if and only if the second term is smaller, then comparing the third term with the second term and exchanging them if and only if the third term is smaller, and so on in order, through comparing the last term, $r_n,$ with its current predecessor and exchanging them if and only if the last term is smaller.

The example below shows how the sequence $1,$ $9,$ $8,$ $7$ is transformed into the sequence $1,$ $8,$ $7,$ $9$ by one bubble pass. The numbers compared at each step are underlined.

$\begin{aligned} \underline{1}\quad\underline{9}\quad8\quad7\\ 1\quad\underline{9}\quad\underline{8}\quad7\\ 1\quad8\quad\underline{9}\quad\underline{7}\\ 1\quad8\quad7\quad9 \end{aligned}$

Suppose that $n=40,$ and that the terms of the initial sequence $r_1,$ $r_2,$ $\ldots,$ $r_{40}$ are distinct from one another and are in random order. Let $\frac{p}{q},$ in lowest terms, be the probability that the number that begins as $r_{20}$ will end up, after one bubble pass, in the $30$ th place. Find $p+q.$

Respuesta

Respuesta: 931

Conceptos:probabilidad básica permutaciones simulación de procesos

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Después de la comparación que llega a la posición $j,$ esa posición contiene el máximo de los primeros $j$ términos originales

After the comparison reaching position $j,$ that position holds the maximum of the first $j$ original terms

Pista grande:

Caracteriza los rangos relativos de $r_{20}$ y $r_{31}$ entre los primeros $31$ términos

Characterize the relative ranks of $r_{20}$ and $r_{31}$ among the first $31$ terms

Solución:

Para que $r_{20}$ se desplace hacia la derecha hasta la posición $30,$ debe superar a todos los demás términos entre $r_1,\ldots,r_{30}.$ Se detiene exactamente en la posición $30$ cuando $r_{31}>r_{20}.$ Por tanto, entre los primeros $31$ términos, $r_{31}$ debe ser el mayor y $r_{20}$ el segundo mayor. Estas dos asignaciones ordenadas de posiciones tienen probabilidad $\frac1{31}\cdot\frac1{30}=\frac1{930}.$ Así, $p+q=1+930=931.$

For $r_{20}$ to move right to position $30,$ it must exceed every other term among $r_1,\ldots,r_{30}.$ It stops at position $30$ exactly when $r_{31}>r_{20}.$ Thus among the first $31$ terms, $r_{31}$ must be greatest and $r_{20}$ second greatest. These two ordered rank assignments have probability $\frac1{31}\cdot\frac1{30}=\frac1{930}.$ Therefore $p+q=1+930=931.$

14.

Calcula $\frac{\begin{gathered}(10^4+324)(22^4+324)\\{}\cdot(34^4+324)(46^4+324)\\{}\cdot(58^4+324)\end{gathered}}{\begin{gathered}(4^4+324)(16^4+324)\\{}\cdot(28^4+324)(40^4+324)\\{}\cdot(52^4+324)\end{gathered}}.$

Compute $\frac{\begin{gathered}(10^4+324)(22^4+324)\\{}\cdot(34^4+324)(46^4+324)\\{}\cdot(58^4+324)\end{gathered}}{\begin{gathered}(4^4+324)(16^4+324)\\{}\cdot(28^4+324)(40^4+324)\\{}\cdot(52^4+324)\end{gathered}}.$

Respuesta

Respuesta: 373

Conceptos:manipulación algebraica factorización telescópica

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Usa la identidad de Sophie Germain con $324=4\cdot3^4$

Use Sophie Germain’s identity with $324=4\cdot3^4$

Pista grande:

Si $g(x)=x^2+6x+18,$ reescribe $x^4+324$ como $g(x-6)g(x)$

If $g(x)=x^2+6x+18,$ rewrite $x^4+324$ as $g(x-6)g(x)$

Solución:

Sea $g(x)=x^2+6x+18.$ La identidad de Sophie Germain da $x^4+324=g(x-6)g(x).$ Por tanto, el numerador aporta $g(4),g(10),\ldots,g(58),$ mientras que el denominador aporta $g(-2),g(4),\ldots,g(52).$ Todo se cancela salvo $\begin{aligned}\frac{g(58)}{g(-2)}&=\frac{58^2+6(58)+18}{4-12+18}\\&=\frac{3730}{10}=373.\end{aligned}$

Let $g(x)=x^2+6x+18.$ Sophie Germain’s identity gives $x^4+324=g(x-6)g(x).$ The numerator therefore supplies $g(4),g(10),\ldots,g(58),$ while the denominator supplies $g(-2),g(4),\ldots,g(52).$ Everything cancels except $\begin{aligned}\frac{g(58)}{g(-2)}&=\frac{58^2+6(58)+18}{4-12+18}\\&=\frac{3730}{10}=373.\end{aligned}$

15.

Como se muestra, los cuadrados $S_1,$ $S_2$ están inscritos en el triángulo rectángulo $ABC$ . Halla $AC+CB$ si $\operatorname{area}(S_1)=441$ y $\operatorname{area}(S_2)=440.$

Squares $S_1,$ $S_2$ are inscribed in right triangle $ABC$ as shown. Find $AC+CB$ if $\operatorname{area}(S_1)=441$ and $\operatorname{area}(S_2)=440.$

Respuesta

Respuesta: 462

Conceptos:triángulo rectángulo semejanza cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Sean $a$ y $b$ los catetos y usa el primer cuadrado para relacionar $ab$ con $a+b$

Let the legs be $a$ and $b$ and use the first square to relate $ab$ to $a+b$

Pista grande:

Para el segundo cuadrado, usa la altura a la hipotenusa y secciones transversales semejantes

For the second square, use the altitude to the hypotenuse and similar cross-sections

Solución:

Sean $p=a+b$ y $q=ab,$ y sea $c$ la hipotenusa. Como $S_1$ tiene lado $21,$ la relación estándar para el cuadrado alineado con los catetos da $21=\frac{ab}{a+b},$ así que $q=21p.$ Por tanto, $c^2=p^2-2q=p(p-42).$

La altura a la hipotenusa es $h=\frac{q}{c}.$ Si el lado de $S_2$ es $t,$ la semejanza da $t=\frac{ch}{c+h}.$ Al sustituir, esto se simplifica a $t=\frac{21c}{p-21}.$ Por tanto, $440=\frac{441p(p-42)}{(p-21)^2}.$ Como $p(p-42)=(p-21)^2-441,$ esto se convierte en $440=441\left(1-\frac{441}{(p-21)^2}\right).$ Así, $(p-21)^2=441^2,$ y $p>42$ da $p=462.$

Put $p=a+b,$ $q=ab,$ and let the hypotenuse be $c.$ Since $S_1$ has side $21,$ the standard leg-aligned-square relation gives $21=\frac{ab}{a+b},$ so $q=21p.$ Hence $c^2=p^2-2q=p(p-42).$

The altitude to the hypotenuse is $h=\frac{q}{c}.$ If the side of $S_2$ is $t,$ similarity gives $t=\frac{ch}{c+h}.$ Substitution simplifies this to $t=\frac{21c}{p-21}.$ Therefore $440=\frac{441p(p-42)}{(p-21)^2}.$ Since $p(p-42)=(p-21)^2-441,$ this becomes $440=441\left(1-\frac{441}{(p-21)^2}\right).$ Thus $(p-21)^2=441^2,$ and $p>42$ gives $p=462.$

Problemas del 1987 AIME

Respuesta: 300

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 137

Nivel de dificultad: 1340

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Solución:

Respuesta: 182

Nivel de dificultad: 1830

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Respuesta: 480

Nivel de dificultad: 1810

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Respuesta: 588

Nivel de dificultad: 2070

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Respuesta: 193

Nivel de dificultad: 2270

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Respuesta: 70

Nivel de dificultad: 2230

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Respuesta: 112

Nivel de dificultad: 1860

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Respuesta: 33

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

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Respuesta: 120

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 486

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 19

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 931

Nivel de dificultad: 2450

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Respuesta: 373

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 462

Nivel de dificultad: 2450

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