Question

Como se muestra, los cuadrados $S_1,$ $S_2$ están inscritos en el triángulo rectángulo $ABC$ . Halla $AC+CB$ si $\operatorname{area}(S_1)=441$ y $\operatorname{area}(S_2)=440.$

Squares $S_1,$ $S_2$ are inscribed in right triangle $ABC$ as shown. Find $AC+CB$ if $\operatorname{area}(S_1)=441$ and $\operatorname{area}(S_2)=440.$

Respuesta

Respuesta: 462

Conceptos:triángulo rectángulo semejanza cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Sean $a$ y $b$ los catetos y usa el primer cuadrado para relacionar $ab$ con $a+b$

Let the legs be $a$ and $b$ and use the first square to relate $ab$ to $a+b$

Pista grande:

Para el segundo cuadrado, usa la altura a la hipotenusa y secciones transversales semejantes

For the second square, use the altitude to the hypotenuse and similar cross-sections

Solución:

Sean $p=a+b$ y $q=ab,$ y sea $c$ la hipotenusa. Como $S_1$ tiene lado $21,$ la relación estándar para el cuadrado alineado con los catetos da $21=\frac{ab}{a+b},$ así que $q=21p.$ Por tanto, $c^2=p^2-2q=p(p-42).$

La altura a la hipotenusa es $h=\frac{q}{c}.$ Si el lado de $S_2$ es $t,$ la semejanza da $t=\frac{ch}{c+h}.$ Al sustituir, esto se simplifica a $t=\frac{21c}{p-21}.$ Por tanto, $440=\frac{441p(p-42)}{(p-21)^2}.$ Como $p(p-42)=(p-21)^2-441,$ esto se convierte en $440=441\left(1-\frac{441}{(p-21)^2}\right).$ Así, $(p-21)^2=441^2,$ y $p>42$ da $p=462.$

Put $p=a+b,$ $q=ab,$ and let the hypotenuse be $c.$ Since $S_1$ has side $21,$ the standard leg-aligned-square relation gives $21=\frac{ab}{a+b},$ so $q=21p.$ Hence $c^2=p^2-2q=p(p-42).$

The altitude to the hypotenuse is $h=\frac{q}{c}.$ If the side of $S_2$ is $t,$ similarity gives $t=\frac{ch}{c+h}.$ Substitution simplifies this to $t=\frac{21c}{p-21}.$ Therefore $440=\frac{441p(p-42)}{(p-21)^2}.$ Since $p(p-42)=(p-21)^2-441,$ this becomes $440=441\left(1-\frac{441}{(p-21)^2}\right).$ Thus $(p-21)^2=441^2,$ and $p>42$ gives $p=462.$

1987 AIME Problema 15

Respuesta: 462

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años