Question

En el $\triangle ABC,$ $AB = 360,$ $BC = 507,$ y $CA = 780.$ Sea $M$ el punto medio de $\overline{CA},$ y sea $D$ el punto sobre $\overline{CA}$ tal que $\overline{BD}$ biseca el ángulo $ABC.$ Sea $F$ el punto sobre $\overline{BC}$ tal que $\overline{DF} \perp \overline{BD}.$ Supón que $\overline{DF}$ corta a $\overline{BM}$ en $E.$ La razón $DE : EF$ puede escribirse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In $\triangle ABC,$ $AB = 360,$ $BC = 507,$ and $CA = 780.$ Let $M$ be the midpoint of $\overline{CA},$ and let $D$ be the point on $\overline{CA}$ such that $\overline{BD}$ bisects angle $ABC.$ Let $F$ be the point on $\overline{BC}$ such that $\overline{DF} \perp \overline{BD}.$ Suppose that $\overline{DF}$ meets $\overline{BM}$ at $E.$ The ratio $DE : EF$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 289

Conceptos:teorema de la bisectriz rectas paralelas semejanza

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Extiende $\overline{FD}$ más allá de $D$ hasta cortar el rayo $BA$ en $G.$ En el triángulo $BGF,$ $\overline{BD}$ es a la vez una altura y una bisectriz, así que $BG = BF.$

Extend $\overline{FD}$ past $D$ to hit ray $BA$ at $G.$ In triangle $BGF,$ $\overline{BD}$ is both an altitude and an angle bisector, so $BG = BF.$

Pista grande:

Toma $F_1$ sobre $\overline{AC}$ con $\overline{FF_1} \parallel \overline{BM};$ entonces $DE : EF = DM : MF_1$ por triángulos semejantes.

Take $F_1$ on $\overline{AC}$ with $\overline{FF_1} \parallel \overline{BM};$ then $DE : EF = DM : MF_1$ by similar triangles

Solución:

Escribe $c = AB = 360,$ $a = BC = 507,$ $b = CA = 780.$ Extiende $\overline{FD}$ más allá de $D$ hasta cortar el rayo $BA$ más allá de $A$ en $G.$ En el triángulo $BGF,$ el segmento $\overline{BD}$ es a la vez una bisectriz y una altura, así que $BG = BF = t.$ La bisectriz también da $\frac{CD}{DA} = \frac{a}{c},$ así que el teorema de Menelao para la recta $GDF$ que cruza el triángulo $ABC$ dice $\begin{aligned} &\frac{AG}{GB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CD}{DA} \\ &= \frac{t - c}{t} \cdot \frac{t}{a - t} \cdot \frac{a}{c} = 1, \end{aligned}$ por lo que $t = \frac{2ac}{a + c}.$

Ahora sea $F_1$ el punto sobre $\overline{AC}$ con $\overline{FF_1} \parallel \overline{BM}.$ Como $E$ está sobre $\overline{BM},$ tenemos $\overline{EM} \parallel \overline{FF_1},$ así que los triángulos $DEM$ y $DFF_1$ son semejantes y $\frac{DE}{EF} = \frac{DM}{MF_1}.$ La razón de la bisectriz da $AD = \frac{bc}{a + c},$ así que $DM = \frac{b}{2} - \frac{bc}{a+c} = \frac{b(a - c)}{2(a + c)}.$ También $CF = a - t = \frac{a(a - c)}{a + c},$ así que $CF_1 = CM \cdot \frac{CF}{CB} = \frac{b}{2} \cdot \frac{a - c}{a + c}$ y $MF_1 = \frac{b}{2}\left(1 - \frac{a - c}{a + c}\right) = \frac{bc}{a + c}.$

Por lo tanto, $\begin{aligned} \frac{DE}{EF} &= \frac{DM}{MF_1} = \frac{a - c}{2c} \\ &= \frac{147}{720} = \frac{49}{240}, \end{aligned}$ y $m + n = 49 + 240 = 289.$

Write $c = AB = 360,$ $a = BC = 507,$ $b = CA = 780.$ Extend $\overline{FD}$ beyond $D$ to meet ray $BA$ beyond $A$ at $G.$ In triangle $BGF,$ segment $\overline{BD}$ is both an angle bisector and an altitude, so $BG = BF = t.$ The bisector also gives $\frac{CD}{DA} = \frac{a}{c},$ so Menelaus’ theorem for line $GDF$ crossing triangle $ABC$ says $\begin{aligned} &\frac{AG}{GB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CD}{DA} \\ &= \frac{t - c}{t} \cdot \frac{t}{a - t} \cdot \frac{a}{c} = 1, \end{aligned}$ so $t = \frac{2ac}{a + c}.$

Now let $F_1$ be the point on $\overline{AC}$ with $\overline{FF_1} \parallel \overline{BM}.$ Since $E$ lies on $\overline{BM},$ we have $\overline{EM} \parallel \overline{FF_1},$ so triangles $DEM$ and $DFF_1$ are similar and $\frac{DE}{EF} = \frac{DM}{MF_1}.$ The bisector ratio gives $AD = \frac{bc}{a + c},$ so $DM = \frac{b}{2} - \frac{bc}{a+c} = \frac{b(a - c)}{2(a + c)}.$ Also $CF = a - t = \frac{a(a - c)}{a + c},$ so $CF_1 = CM \cdot \frac{CF}{CB} = \frac{b}{2} \cdot \frac{a - c}{a + c}$ and $MF_1 = \frac{b}{2}\left(1 - \frac{a - c}{a + c}\right) = \frac{bc}{a + c}.$

Therefore $\begin{aligned} \frac{DE}{EF} &= \frac{DM}{MF_1} = \frac{a - c}{2c} \\ &= \frac{147}{720} = \frac{49}{240}, \end{aligned}$ and $m + n = 49 + 240 = 289.$

2003 AIME I Problema 15

Respuesta: 289

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años