Question

Una tira larga y delgada de papel tiene $1024$ unidades de longitud, $1$ unidad de ancho, y está dividida en $1024$ cuadrados unitarios. El papel se dobla por la mitad repetidamente. En el primer doblez, el extremo derecho del papel se dobla para coincidir con el extremo izquierdo y quedar encima de él. El resultado es una tira de $512$ por $1$ de doble grosor. Luego, el extremo derecho de esta tira se dobla para coincidir con el extremo izquierdo y quedar encima de él, resultando en una tira de $256$ por $1$ de grosor cuádruple. Este proceso se repite $8$ veces más. Después del último doblez, la tira se ha convertido en una pila de $1024$ cuadrados unitarios. ¿Cuántos de estos cuadrados quedan debajo del cuadrado que originalmente era el cuadrado número $942$ contando desde la izquierda?

A long thin strip of paper is $1024$ units in length, $1$ unit in width, and is divided into $1024$ unit squares. The paper is folded in half repeatedly. For the first fold, the right end of the paper is folded over to coincide with and lie on top of the left end. The result is a $512$ by $1$ strip of double thickness. Next, the right end of this strip is folded over to coincide with and lie on top of the left end, resulting in a $256$ by $1$ strip of quadruple thickness. This process is repeated $8$ more times. After the last fold, the strip has become a stack of $1024$ unit squares. How many of these squares lie below the square that was originally the $942$ nd square counting from the left?

Respuesta

Solución:

Después de $f$ dobleces la tira mide $2^{10-f}$ cuadrados de largo y $2^f$ capas de grosor, así que las posiciones $L$ desde la izquierda y $R$ desde la derecha satisfacen $L + R = 2^{10-f} + 1,$ y las posiciones $B$ desde el fondo y $T$ desde arriba satisfacen $B + T = 2^f + 1.$ Cuando la mitad derecha se dobla sobre la izquierda, un cuadrado de la mitad izquierda conserva su $L$ y $B,$ mientras que un cuadrado de la mitad derecha se voltea: su nuevo $L$ es su antiguo $R,$ y su nuevo $T$ es su antiguo $B.$

El cuadrado número $942$ empieza en $(L, B) = (942, 1).$ Aplicando la regla a lo largo de los diez dobleces da $\begin{gathered} (83, 2),\ (83, 2),\ (83, 2),\ (46, 15),\\ \ (19, 18),\ (14, 47),\ (3, 82),\\ \ (3, 82),\ (2, 431),\ (1, 594). \end{gathered}$ Por ejemplo, en el cuarto doblez la tira tiene longitud $128$ y $L = 83 \gt 64,$ así que el nuevo $L$ es $128 + 1 - 83 = 46$ y el nuevo $T$ es el antiguo $B = 2,$ haciendo $B = 16 + 1 - 2 = 15.$

En la pila final de $1024$ cuadrados, este cuadrado está a altura $594$ desde el fondo, así que $594 - 1 = 593$ cuadrados quedan debajo de él.

After $f$ folds the strip is $2^{10-f}$ squares long and $2^f$ layers thick, so the positions $L$ from the left and $R$ from the right satisfy $L + R = 2^{10-f} + 1,$ and the positions $B$ from the bottom and $T$ from the top satisfy $B + T = 2^f + 1.$ When the right half is folded over onto the left, a square in the left half keeps its $L$ and $B,$ while a square in the right half is flipped: its new $L$ is its old $R,$ and its new $T$ is its old $B.$

The $942$ nd square starts at $(L, B) = (942, 1).$ Applying the rule through the ten folds gives $\begin{gathered} (83, 2),\ (83, 2),\ (83, 2),\ (46, 15),\\ \ (19, 18),\ (14, 47),\ (3, 82),\\ \ (3, 82),\ (2, 431),\ (1, 594). \end{gathered}$ For example, at the fourth fold the strip has length $128$ and $L = 83 \gt 64,$ so the new $L$ is $128 + 1 - 83 = 46$ and the new $T$ is the old $B = 2,$ making $B = 16 + 1 - 2 = 15.$

In the final stack of $1024$ squares, this square sits at height $594$ from the bottom, so $594 - 1 = 593$ squares lie below it.

2004 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años