Question

Para algún entero $m,$ el polinomio $x^3 - 2011x + m$ tiene las tres raíces enteras $a,$ $b,$ y $c.$ Halla $|a| + |b| + |c|.$

For some integer $m,$ the polynomial $x^3 - 2011x + m$ has the three integer roots $a,$ $b,$ and $c.$ Find $|a| + |b| + |c|.$

Respuesta

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, $a + b + c = 0$ y $ab + bc + ca = -2011.$ Negar las tres raíces reemplaza $m$ por $-m,$ así que podemos suponer que dos raíces, digamos $a \ge b,$ son no negativas. Sustituir $c = -(a + b)$ en la segunda ecuación da $ab - (a + b)^2 = -2011,$ es decir, $a^2 + ab + b^2 = 2011.$

Multiplicando por $4$ y completando el cuadrado, $(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044.$ Como $a \ge b \ge 0,$ tenemos $3b^2 \le a^2 + ab + b^2 = 2011,$ así que $0 \le b \le 25.$ Al revisar estos valores, $8044 - 3b^2$ es un cuadrado perfecto solo para $b = 10,$ donde $8044 - 300 = 7744 = 88^2.$

Entonces $2a + b = 88$ da $a = 39,$ y $c = -(a + b) = -49.$ (En efecto $39 \cdot 10 - 49^2 = -2011.$ ) Por lo tanto, $|a| + |b| + |c| = 39 + 10 + 49$ $= 98.$

By Vieta's formulas, $a + b + c = 0$ and $ab + bc + ca = -2011.$ Negating all three roots replaces $m$ by $-m,$ so we may assume two roots, say $a \ge b,$ are nonnegative. Substituting $c = -(a + b)$ into the second equation gives $ab - (a + b)^2 = -2011,$ that is, $a^2 + ab + b^2 = 2011.$

Multiplying by $4$ and completing the square, $(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044.$ Since $a \ge b \ge 0,$ we have $3b^2 \le a^2 + ab + b^2 = 2011,$ so $0 \le b \le 25.$ Checking these values, $8044 - 3b^2$ is a perfect square only for $b = 10,$ where $8044 - 300 = 7744 = 88^2.$

Then $2a + b = 88$ gives $a = 39,$ and $c = -(a + b) = -49.$ (Indeed $39 \cdot 10 - 49^2 = -2011.$ ) Therefore $|a| + |b| + |c| = 39 + 10 + 49$ $= 98.$

2011 AIME I Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años