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2011 AIME I Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2011 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2011 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Para algún entero m,m, el polinomio x3−2011x+mx^3 - 2011x + m tiene tres raíces enteras a,a, b,b, y c.c. Halla ∣a∣+∣b∣+∣c∣.|a| + |b| + |c|.
For some integer m,m, the polynomial x3−2011x+mx^3 - 2011x + m has the three integer roots a,a, b,b, and c.c. Find ∣a∣+∣b∣+∣c∣.|a| + |b| + |c|.
Respuesta: 98
Conceptos:Fórmulas de VietaEcuación diofánticacuadrado perfecto
Nivel de dificultad: 3270
Pista pequeña:
Vieta da a+b+c=0a + b + c = 0 y ab+bc+ca=−2011;ab + bc + ca = -2011; elimina cc para obtener a2+ab+b2=2011a^2 + ab + b^2 = 2011
Vieta gives a+b+c=0a + b + c = 0 and ab+bc+ca=−2011;ab + bc + ca = -2011; eliminate cc to get a2+ab+b2=2011a^2 + ab + b^2 = 2011
Pista grande:
Multiplica por 4:4: (2a+b)2+3b2=8044.(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044. Si bb es la menor raíz no negativa, entonces 3b2≤2011;3b^2 \le 2011; prueba qué bb hace de 8044−3b28044 - 3b^2 un cuadrado perfecto.
Multiply by 4:4: (2a+b)2+3b2=8044.(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044. If bb is the smaller nonnegative root, then 3b2≤2011;3b^2 \le 2011; test which bb makes 8044−3b28044 - 3b^2 a perfect square.
Solución:
Por las fórmulas de Vieta, a+b+c=0a + b + c = 0 y ab+bc+ca=−2011.ab + bc + ca = -2011. Negar las tres raíces reemplaza mm por −m,-m, así que podemos suponer que dos raíces, digamos a≥b,a \ge b, son no negativas. Sustituir c=−(a+b)c = -(a + b) en la segunda ecuación da ab−(a+b)2=−2011,ab - (a + b)^2 = -2011, es decir, a2+ab+b2=2011.a^2 + ab + b^2 = 2011.
Multiplicando por 44 y completando el cuadrado, (2a+b)2+3b2=8044.(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044. Como a≥b≥0,a \ge b \ge 0, tenemos 3b2≤a2+ab+b2=2011,3b^2 \le a^2 + ab + b^2 = 2011, así que 0≤b≤25.0 \le b \le 25. Al revisar estos valores, 8044−3b28044 - 3b^2 es un cuadrado perfecto solo para b=10,b = 10, donde 8044−300=7744=882.8044 - 300 = 7744 = 88^2.
Entonces 2a+b=882a + b = 88 da a=39,a = 39, y c=−(a+b)=−49.c = -(a + b) = -49. (En efecto 39⋅10−492=−2011.39 \cdot 10 - 49^2 = -2011.) Por lo tanto, ∣a∣+∣b∣+∣c∣=39+10+49|a| + |b| + |c| = 39 + 10 + 49 =98.= 98.
By Vieta’s formulas, a+b+c=0a + b + c = 0 and ab+bc+ca=−2011.ab + bc + ca = -2011. Negating all three roots replaces mm by −m,-m, so we may assume two roots, say a≥b,a \ge b, are nonnegative. Substituting c=−(a+b)c = -(a + b) into the second equation gives ab−(a+b)2=−2011,ab - (a + b)^2 = -2011, that is, a2+ab+b2=2011.a^2 + ab + b^2 = 2011.
Multiplying by 44 and completing the square, (2a+b)2+3b2=8044.(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044. Since a≥b≥0,a \ge b \ge 0, we have 3b2≤a2+ab+b2=2011,3b^2 \le a^2 + ab + b^2 = 2011, so 0≤b≤25.0 \le b \le 25. Checking these values, 8044−3b28044 - 3b^2 is a perfect square only for b=10,b = 10, where 8044−300=7744=882.8044 - 300 = 7744 = 88^2.
Then 2a+b=882a + b = 88 gives a=39,a = 39, and c=−(a+b)=−49.c = -(a + b) = -49. (Indeed 39⋅10−492=−2011.39 \cdot 10 - 49^2 = -2011.) Therefore ∣a∣+∣b∣+∣c∣=39+10+49|a| + |b| + |c| = 39 + 10 + 49 =98.= 98.
Problema 14#14
Examen completo

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