2011 AIME I — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

El frasco A contiene cuatro litros de una solución con $45$ % de ácido. El frasco B contiene cinco litros de una solución con $48$ % de ácido. El frasco C contiene un litro de una solución con $k$ % de ácido. Del frasco C se agregan $\frac{m}{n}$ litros de la solución al frasco A, y el resto de la solución del frasco C se agrega al frasco B. Al final, tanto el frasco A como el frasco B contienen soluciones con $50$ % de ácido. Dado que $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $k + m + n.$

Jar A contains four liters of a solution that is $45$ % acid. Jar B contains five liters of a solution that is $48$ % acid. Jar C contains one liter of a solution that is $k$ % acid. From jar C, $\frac{m}{n}$ liters of the solution is added to jar A, and the remainder of the solution in jar C is added to jar B. At the end both jar A and jar B contain solutions that are $50$ % acid. Given that $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $k + m + n.$

Respuesta

Respuesta: 85

Conceptos:mezcla porcentaje

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Si se combinaran los tres frascos, el resultado serían $10$ litros con $50$ % de ácido, ya que los dos frascos finales tienen ambos $50$ % de ácido. Por lo tanto, el ácido total es de $5$ litros, así que $4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5,$ lo que da $k = 80.$

Ahora sea $x$ el número de litros vertidos del frasco C al frasco A. El frasco A contiene entonces $4 + x$ litros con $1.8 + 0.8x$ litros de ácido, así que $1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x),$ lo que da $0.3x = 0.2,$ por lo que $x = \frac{2}{3}.$

Así, $m + n = 2 + 3 = 5,$ y $k + m + n = 80 + 5 = 85.$

If all three jars were combined, the result would be $10$ liters of $50$ % acid, since both final jars are $50$ % acid. The total acid is therefore $5$ liters, so $4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5,$ which gives $k = 80.$

Now let $x$ be the number of liters poured from jar C into jar A. Jar A then holds $4 + x$ liters containing $1.8 + 0.8x$ liters of acid, so $1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x),$ giving $0.3x = 0.2,$ so $x = \frac{2}{3}.$

Thus $m + n = 2 + 3 = 5,$ and $k + m + n = 80 + 5 = 85.$

2.

En el rectángulo $ABCD,$ $AB = 12$ y $BC = 10.$ Los puntos $E$ y $F$ están dentro del rectángulo $ABCD$ de modo que $BE = 9,$ $DF = 8,$ $\overline{BE} \parallel \overline{DF},$ $\overline{EF} \parallel \overline{AB},$ y la recta $BE$ corta al segmento $\overline{AD}.$ La longitud $EF$ se puede expresar en la forma $m\sqrt{n} - p,$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n + p.$

In rectangle $ABCD,$ $AB = 12$ and $BC = 10.$ Points $E$ and $F$ lie inside rectangle $ABCD$ so that $BE = 9,$ $DF = 8,$ $\overline{BE} \parallel \overline{DF},$ $\overline{EF} \parallel \overline{AB},$ and line $BE$ intersects segment $\overline{AD}.$ The length $EF$ can be expressed in the form $m\sqrt{n} - p,$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Respuesta: 36

Conceptos:geometría analítica vector Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Coloca $D = (0, 0),$ $C = (12, 0),$ $B = (12, 10),$ $A = (0, 10).$ Como $\overline{BE} \parallel \overline{DF},$ existe un vector unitario $(p, q)$ con $p, q \gt 0$ tal que $E = B - 9(p, q)$ y $F = D + 8(p, q):$ la recta $BE$ va hacia abajo y a la izquierda para poder cruzar $\overline{AD},$ mientras que $\overline{DF}$ apunta hacia arriba y a la derecha, hacia el interior del rectángulo.

Como $\overline{EF} \parallel \overline{AB}$ es horizontal, $E$ y $F$ tienen alturas iguales: $10 - 9q = 8q,$ así que $q = \frac{10}{17}$ y $p = \sqrt{1 - q^2} = \frac{3\sqrt{21}}{17}.$

Entonces $E$ y $F$ tienen coordenadas $x$ iguales a $12 - 9p$ y $8p,$ así que $EF = |12 - 17p|$ $= |12 - 3\sqrt{21}|$ $= 3\sqrt{21} - 12,$ ya que $3\sqrt{21} \gt 12.$ Por lo tanto, $m + n + p = 3 + 21 + 12 = 36.$

Place $D = (0, 0),$ $C = (12, 0),$ $B = (12, 10),$ $A = (0, 10).$ Since $\overline{BE} \parallel \overline{DF},$ there is a unit vector $(p, q)$ with $p, q \gt 0$ such that $E = B - 9(p, q)$ and $F = D + 8(p, q):$ line $BE$ heads down and to the left so that it can cross $\overline{AD},$ while $\overline{DF}$ points up and to the right into the rectangle.

Because $\overline{EF} \parallel \overline{AB}$ is horizontal, $E$ and $F$ have equal heights: $10 - 9q = 8q,$ so $q = \frac{10}{17}$ and $p = \sqrt{1 - q^2} = \frac{3\sqrt{21}}{17}.$

Then $E$ and $F$ have $x$ -coordinates $12 - 9p$ and $8p,$ so $EF = |12 - 17p|$ $= |12 - 3\sqrt{21}|$ $= 3\sqrt{21} - 12,$ since $3\sqrt{21} \gt 12.$ Thus $m + n + p = 3 + 21 + 12 = 36.$

3.

Sea $L$ la recta de pendiente $\frac{5}{12}$ que contiene al punto $A = (24, -1),$ y sea $M$ la recta perpendicular a la recta $L$ que contiene al punto $B = (5, 6).$ Se borran los ejes de coordenadas originales, y la recta $L$ se toma como eje $x$ y la recta $M$ como eje $y$ . En el nuevo sistema de coordenadas, el punto $A$ está en el semieje $x$ positivo, y el punto $B$ está en el semieje $y$ positivo. El punto $P$ con coordenadas $(-14, 27)$ en el sistema original tiene coordenadas $(\alpha, \beta)$ en el nuevo sistema de coordenadas. Halla $\alpha + \beta.$

Let $L$ be the line with slope $\frac{5}{12}$ that contains the point $A = (24, -1),$ and let $M$ be the line perpendicular to line $L$ that contains the point $B = (5, 6).$ The original coordinate axes are erased, and line $L$ is made the $x$ -axis and line $M$ the $y$ -axis. In the new coordinate system, point $A$ is on the positive $x$ -axis, and point $B$ is on the positive $y$ -axis. The point $P$ with coordinates $(-14, 27)$ in the original system has coordinates $(\alpha, \beta)$ in the new coordinate system. Find $\alpha + \beta.$

Respuesta

Respuesta: 31

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia transformación

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

La recta $L$ es $5x - 12y - 132 = 0$ y la recta $M$ es $12x + 5y - 90 = 0.$ La nueva coordenada $x$ de un punto es su distancia con signo a la recta $M,$ contada como positiva en el lado que contiene a $A,$ y la nueva coordenada $y$ es su distancia con signo a la recta $L,$ positiva en el lado que contiene a $B.$

Sustituyendo $P = (-14, 27)$ en $12x + 5y - 90$ se obtiene $-168 + 135 - 90 = -123,$ mientras que $A$ da $193 \gt 0;$ dividiendo entre $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13,$ obtenemos $\alpha = -\frac{123}{13}.$ Sustituyendo $P$ en $5x - 12y - 132$ se obtiene $-70 - 324 - 132 = -526,$ y $B$ da $-179,$ así que $P$ está del mismo lado de $L$ que $B$ y $\beta = \frac{526}{13}.$

Por lo tanto, $\alpha + \beta = \frac{-123 + 526}{13} = \frac{403}{13} = 31.$

Line $L$ is $5x - 12y - 132 = 0$ and line $M$ is $12x + 5y - 90 = 0.$ The new $x$ -coordinate of a point is its signed distance to line $M,$ counted positive on the side containing $A,$ and the new $y$ -coordinate is its signed distance to line $L,$ positive on the side containing $B.$

Substituting $P = (-14, 27)$ into $12x + 5y - 90$ gives $-168 + 135 - 90 = -123,$ while $A$ gives $193 \gt 0;$ dividing by $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13,$ we get $\alpha = -\frac{123}{13}.$ Substituting $P$ into $5x - 12y - 132$ gives $-70 - 324 - 132 = -526,$ and $B$ gives $-179,$ so $P$ lies on the same side of $L$ as $B$ and $\beta = \frac{526}{13}.$

Therefore $\alpha + \beta = \frac{-123 + 526}{13} = \frac{403}{13} = 31.$

4.

En el triángulo $ABC,$ $AB = 125,$ $AC = 117,$ y $BC = 120.$ La bisectriz del ángulo $A$ corta a $\overline{BC}$ en el punto $L,$ y la bisectriz del ángulo $B$ corta a $\overline{AC}$ en el punto $K.$ Sean $M$ y $N$ los pies de las perpendiculares desde $C$ a $\overline{BK}$ y $\overline{AL},$ respectivamente. Halla $MN.$

In triangle $ABC,$ $AB = 125,$ $AC = 117,$ and $BC = 120.$ The angle bisector of angle $A$ intersects $\overline{BC}$ at point $L,$ and the angle bisector of angle $B$ intersects $\overline{AC}$ at point $K.$ Let $M$ and $N$ be the feet of the perpendiculars from $C$ to $\overline{BK}$ and $\overline{AL},$ respectively. Find $MN.$

Respuesta

Respuesta: 56

Conceptos:bisectriz triángulo isósceles punto medio

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Prolonga $\overline{CM}$ y $\overline{CN}$ hasta cortar a $\overline{AB}$ en $P$ y $Q,$ respectivamente. En el triángulo $BCP,$ el segmento $BM$ es a la vez bisectriz y altura, por lo que el triángulo es isósceles con $BP = BC = 120,$ y $M$ es el punto medio de $\overline{CP}.$ De manera similar, el triángulo $ACQ$ es isósceles con $AQ = AC = 117,$ y $N$ es el punto medio de $\overline{CQ}.$

Por lo tanto, $\overline{MN}$ es una paralela media del triángulo $CPQ,$ así que $MN = \frac{PQ}{2}.$ Como $\begin{aligned} PQ &= BP + AQ - AB \\ &= 120 + 117 - 125 \\ &= 112, \end{aligned}$ concluimos que $MN = 56.$

Extend $\overline{CM}$ and $\overline{CN}$ to meet $\overline{AB}$ at $P$ and $Q,$ respectively. In triangle $BCP,$ the segment $BM$ is both an angle bisector and an altitude, so the triangle is isosceles with $BP = BC = 120,$ and $M$ is the midpoint of $\overline{CP}.$ Similarly, triangle $ACQ$ is isosceles with $AQ = AC = 117,$ and $N$ is the midpoint of $\overline{CQ}.$

Hence $\overline{MN}$ is a midline of triangle $CPQ,$ so $MN = \frac{PQ}{2}.$ Since $\begin{aligned} PQ &= BP + AQ - AB \\ &= 120 + 117 - 125 \\ &= 112, \end{aligned}$ we conclude $MN = 56.$

5.

Los vértices de un nonágono regular (polígono de $9$ lados) se van a etiquetar con los dígitos $1$ a $9$ de tal manera que la suma de los números en cada tres vértices consecutivos sea múltiplo de $3.$ Dos disposiciones aceptables se consideran indistinguibles si una se puede obtener de la otra rotando el nonágono en el plano. Halla el número de disposiciones aceptables distinguibles.

The vertices of a regular nonagon ( $9$ -sided polygon) are to be labeled with the digits $1$ through $9$ in such a way that the sum of the numbers on every three consecutive vertices is a multiple of $3.$ Two acceptable arrangements are considered to be indistinguishable if one can be obtained from the other by rotating the nonagon in the plane. Find the number of distinguishable acceptable arrangements.

Respuesta

Respuesta: 144

Conceptos:aritmética modular arreglos circulares principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2420

Solución:

Dos tripletas solapadas de vértices consecutivos comparten dos etiquetas, así que sus sumas difieren en las etiquetas separadas por tres posiciones. Como todas las sumas de tripletas son múltiplos de $3,$ las etiquetas separadas por tres posiciones son congruentes módulo $3.$ Por lo tanto, las clases de posiciones $\{1, 4, 7\},$ $\{2, 5, 8\},$ $\{3, 6, 9\}$ llevan cada una una sola clase de residuos de dígitos, y los dígitos $1$ a $9$ constan exactamente de tres dígitos de cada clase de residuos módulo $3.$

Entonces cada tripleta de posiciones consecutivas contiene un dígito de cada clase de residuos, con suma $\equiv 0 + 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3,$ así que las $3!$ asignaciones de clases de residuos a clases de posiciones son todas aceptables, y dentro de cada clase de posiciones los tres dígitos se pueden ordenar de $3!$ maneras. Eso da $3! \cdot (3!)^3 = 6^4 = 1296$ etiquetados aceptables.

Como los dígitos son distintos, ninguna rotación no trivial fija un etiquetado, así que los $1296$ etiquetados se dividen en clases de rotación de tamaño $9,$ lo que da $\frac{1296}{9} = 144$ disposiciones distinguibles.

Two overlapping triples of consecutive vertices share two labels, so their sums differ by labels three positions apart. Since all triple sums are multiples of $3,$ labels three apart are congruent mod $3.$ Thus the position classes $\{1, 4, 7\},$ $\{2, 5, 8\},$ $\{3, 6, 9\}$ each carry a single residue class of digits, and the digits $1$ through $9$ consist of exactly three digits from each residue class mod $3.$

Every triple of consecutive positions then contains one digit from each residue class, with sum $\equiv 0 + 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3,$ so all $3!$ assignments of residue classes to position classes are acceptable, and within each position class the three digits can be arranged in $3!$ ways. That gives $3! \cdot (3!)^3 = 6^4 = 1296$ acceptable labelings.

Because the digits are distinct, no nontrivial rotation fixes a labeling, so the $1296$ labelings split into rotation classes of size $9,$ giving $\frac{1296}{9} = 144$ distinguishable arrangements.

6.

Supón que una parábola tiene vértice $\left(\frac{1}{4}, -\frac{9}{8}\right)$ y ecuación $y = ax^2 + bx + c,$ donde $a \gt 0$ y $a + b + c$ es un entero. El mínimo valor posible de $a$ se puede escribir en la forma $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Suppose that a parabola has vertex $\left(\frac{1}{4}, -\frac{9}{8}\right)$ and equation $y = ax^2 + bx + c,$ where $a \gt 0$ and $a + b + c$ is an integer. The minimum possible value of $a$ can be written in the form $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 11

Conceptos:parábola cuadrática

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

En forma canónica la parábola es $y = a\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{8}.$ Como $a + b + c$ es igual al valor de $y$ en $x = 1,$ $\begin{aligned} a + b + c &= a\left(\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{8} \\ &= \frac{9(a - 2)}{16}. \end{aligned}$

Si esto es igual al entero $n,$ entonces $a = 2 + \frac{16n}{9}.$ La condición $a \gt 0$ requiere $16n \gt -18,$ es decir $n \ge -1,$ y $a$ es mínimo cuando $n = -1,$ lo que da $a = 2 - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}.$

Así, $p + q = 2 + 9 = 11.$

In vertex form the parabola is $y = a\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{8}.$ Since $a + b + c$ equals the value of $y$ at $x = 1,$ $\begin{aligned} a + b + c &= a\left(\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{8} \\ &= \frac{9(a - 2)}{16}. \end{aligned}$

If this equals the integer $n,$ then $a = 2 + \frac{16n}{9}.$ The condition $a \gt 0$ requires $16n \gt -18,$ that is $n \ge -1,$ and $a$ is smallest when $n = -1,$ giving $a = 2 - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}.$

Thus $p + q = 2 + 9 = 11.$

7.

Halla el número de enteros positivos $m$ para los cuales existen enteros no negativos $x_0, x_1, \ldots, x_{2011},$ tales que $m^{x_0} = \sum_{k=1}^{2011} m^{x_k}.$

Find the number of positive integers $m$ for which there exist nonnegative integers $x_0, x_1, \ldots, x_{2011},$ such that $m^{x_0} = \sum_{k=1}^{2011} m^{x_k}.$

Respuesta

Respuesta: 16

Conceptos:aritmética modular conteo de factores

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

El valor $m = 1$ falla, ya que el lado derecho sería $2011$ mientras que el lado izquierdo es $1.$ Para $m \ge 2,$ reduce módulo $m - 1:$ toda potencia de $m$ es $\equiv 1,$ así que la ecuación obliga a $1 \equiv 2011 \pmod{m - 1},$ es decir, $m - 1$ divide a $2010.$

Recíprocamente, supón que $2010 = (m - 1)n.$ Toma $x_0 = n,$ haz que $m$ de los $x_k$ sean iguales a $0,$ y para cada $r = 1, 2, \ldots, n - 1$ haz que $m - 1$ de los $x_k$ sean iguales a $r.$ Esto usa $m + (m - 1)(n - 1)$ $= n(m - 1) + 1$ $= 2011$ términos, y la suma es telescópica: $\begin{aligned} &m \\ &\quad {}+ (m - 1) \\ &\quad {}\cdot (m + m^2 + \cdots + m^{n-1}) \\ &\quad {}= m + (m^n - m) \\ &\quad {}= m^n = m^{x_0}. \end{aligned}$

Así que la ecuación tiene solución exactamente cuando $m - 1$ divide a $2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67,$ que tiene $2^4 = 16$ divisores. Hay $16$ de tales $m.$

The value $m = 1$ fails, since the right side would be $2011$ while the left side is $1.$ For $m \ge 2,$ reduce mod $m - 1:$ every power of $m$ is $\equiv 1,$ so the equation forces $1 \equiv 2011 \pmod{m - 1},$ that is, $m - 1$ divides $2010.$

Conversely, suppose $2010 = (m - 1)n.$ Take $x_0 = n,$ let $m$ of the $x_k$ equal $0,$ and for each $r = 1, 2, \ldots, n - 1$ let $m - 1$ of the $x_k$ equal $r.$ This uses $m + (m - 1)(n - 1)$ $= n(m - 1) + 1$ $= 2011$ terms, and the sum telescopes: $\begin{aligned} &m \\ &\quad {}+ (m - 1) \\ &\quad {}\cdot (m + m^2 + \cdots + m^{n-1}) \\ &\quad {}= m + (m^n - m) \\ &\quad {}= m^n = m^{x_0}. \end{aligned}$

So the equation is solvable exactly when $m - 1$ divides $2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67,$ which has $2^4 = 16$ divisors. There are $16$ such $m.$

8.

En $\triangle ABC,$ $BC = 23,$ $CA = 27,$ y $AB = 30.$ Los puntos $V$ y $W$ están sobre $\overline{AC}$ con $V$ sobre $\overline{AW},$ los puntos $X$ y $Y$ están sobre $\overline{BC}$ con $X$ sobre $\overline{CY},$ y los puntos $Z$ y $U$ están sobre $\overline{AB}$ con $Z$ sobre $\overline{BU}.$ Además, los puntos se ubican de modo que $\overline{UV} \parallel \overline{BC},$ $\overline{WX} \parallel \overline{AB},$ y $\overline{YZ} \parallel \overline{CA}.$ Luego se hacen pliegues en ángulo recto a lo largo de $\overline{UV},$ $\overline{WX},$ y $\overline{YZ}.$ La figura resultante se coloca sobre un piso nivelado para formar una mesa con patas triangulares. Sea $h$ la máxima altura posible de una mesa construida a partir de $\triangle ABC$ cuya superficie sea paralela al piso. Entonces $h$ se puede escribir en la forma $\frac{k\sqrt{m}}{n},$ donde $k$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí y $m$ es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $k + m + n.$

In $\triangle ABC,$ $BC = 23,$ $CA = 27,$ and $AB = 30.$ Points $V$ and $W$ are on $\overline{AC}$ with $V$ on $\overline{AW},$ points $X$ and $Y$ are on $\overline{BC}$ with $X$ on $\overline{CY},$ and points $Z$ and $U$ are on $\overline{AB}$ with $Z$ on $\overline{BU}.$ In addition, the points are positioned so that $\overline{UV} \parallel \overline{BC},$ $\overline{WX} \parallel \overline{AB},$ and $\overline{YZ} \parallel \overline{CA}.$ Right angle folds are then made along $\overline{UV},$ $\overline{WX},$ and $\overline{YZ}.$ The resulting figure is placed on a level floor to make a table with triangular legs. Let $h$ be the maximum possible height of a table constructed from $\triangle ABC$ whose top is parallel to the floor. Then $h$ can be written in the form $\frac{k\sqrt{m}}{n},$ where $k$ and $n$ are relatively prime positive integers and $m$ is a positive integer that is not divisible by the square of any prime. Find $k + m + n.$

Respuesta

Respuesta: 318

Conceptos:Fórmula de Herón semejanza optimización

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Escribe $a = BC = 23,$ $b = CA = 27,$ $c = AB = 30,$ y sea $K$ el área de $\triangle ABC.$ Por la fórmula de Herón con semiperímetro $40,$ $K = \sqrt{40 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 10}$ $= 20\sqrt{221}.$ Cuando la esquina en un vértice se dobla hacia abajo en ángulo recto, la solapa cuelga hasta una profundidad igual a la distancia de ese vértice a la línea de pliegue, así que para una superficie de mesa nivelada de altura $h,$ cada línea de pliegue debe estar a distancia $h$ de su vértice.

La solapa en $A$ es semejante a $\triangle ABC$ con razón $\frac{h}{2K/a} = \frac{ha}{2K}$ (dividiendo $h$ entre la distancia de $A$ a $\overline{BC}$ ), así que ocupa $AU = c \cdot \frac{ha}{2K}$ del lado $\overline{AB};$ de igual modo la solapa en $B$ ocupa $BZ = c \cdot \frac{hb}{2K}$ del mismo lado. Los dos pliegues caben sin cruzarse exactamente cuando $AU + BZ \le c,$ es decir, $h(a + b) \le 2K.$ Los otros dos lados dan $h(b + c) \le 2K$ y $h(c + a) \le 2K.$

La restricción determinante proviene de la suma mayor, $b + c = 57,$ así que la altura máxima es $h = \frac{2K}{57} = \frac{40\sqrt{221}}{57},$ y $k + m + n = 40 + 221 + 57$ $= 318.$

Write $a = BC = 23,$ $b = CA = 27,$ $c = AB = 30,$ and let $K$ be the area of $\triangle ABC.$ By Heron's formula with semiperimeter $40,$ $K = \sqrt{40 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 10}$ $= 20\sqrt{221}.$ When the corner at a vertex is folded down at a right angle, the flap hangs to a depth equal to the distance from that vertex to the fold line, so for a level tabletop of height $h,$ each fold line must lie at distance $h$ from its vertex.

The flap at $A$ is similar to $\triangle ABC$ with ratio $\frac{h}{2K/a} = \frac{ha}{2K}$ (dividing $h$ by the distance from $A$ to $\overline{BC}$ ), so it uses up $AU = c \cdot \frac{ha}{2K}$ of side $\overline{AB};$ likewise the flap at $B$ uses $BZ = c \cdot \frac{hb}{2K}$ of the same side. The two folds fit without crossing exactly when $AU + BZ \le c,$ that is, $h(a + b) \le 2K.$ The other two sides give $h(b + c) \le 2K$ and $h(c + a) \le 2K.$

The binding constraint comes from the largest sum, $b + c = 57,$ so the maximum height is $h = \frac{2K}{57} = \frac{40\sqrt{221}}{57},$ and $k + m + n = 40 + 221 + 57$ $= 318.$

9.

Supón que $x$ está en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ y $\log_{24 \sin x}(24 \cos x) = \frac{3}{2}.$ Halla $24 \cot^2 x.$

Suppose $x$ is in the interval $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ and $\log_{24 \sin x}(24 \cos x) = \frac{3}{2}.$ Find $24 \cot^2 x.$

Respuesta

Respuesta: 192

Conceptos:logaritmo identidad trigonométrica factorización

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

En forma exponencial la ecuación dice $(24 \sin x)^{3/2} = 24 \cos x.$ Elevando al cuadrado se obtiene $24^3 \sin^3 x = 24^2 \cos^2 x,$ así que $\cos^2 x = 24 \sin^3 x.$

Escribiendo $s = \sin x$ y usando $\cos^2 x = 1 - s^2,$ obtenemos $24s^3 + s^2 - 1 = 0,$ que se factoriza como $(3s - 1)(8s^2 + 3s + 1) = 0.$ El factor cuadrático tiene discriminante negativo, así que $\sin x = \frac{1}{3}.$

Entonces $\begin{aligned} 24 \cot^2 x &= 24 \cdot \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \\ &= 24 \cdot \frac{8/9}{1/9} \\ &= 24 \cdot 8 = 192. \end{aligned}$

In exponential form the equation says $(24 \sin x)^{3/2} = 24 \cos x.$ Squaring gives $24^3 \sin^3 x = 24^2 \cos^2 x,$ so $\cos^2 x = 24 \sin^3 x.$

Writing $s = \sin x$ and using $\cos^2 x = 1 - s^2,$ we get $24s^3 + s^2 - 1 = 0,$ which factors as $(3s - 1)(8s^2 + 3s + 1) = 0.$ The quadratic factor has negative discriminant, so $\sin x = \frac{1}{3}.$

Then $\begin{aligned} 24 \cot^2 x &= 24 \cdot \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \\ &= 24 \cdot \frac{8/9}{1/9} \\ &= 24 \cdot 8 = 192. \end{aligned}$

10.

La probabilidad de que un conjunto de tres vértices distintos elegidos al azar entre los vértices de un $n$ -ágono regular determinen un triángulo obtuso es $\frac{93}{125}.$ Halla la suma de todos los valores posibles de $n.$

The probability that a set of three distinct vertices chosen at random from among the vertices of a regular $n$ -gon determine an obtuse triangle is $\frac{93}{125}.$ Find the sum of all possible values of $n.$

Respuesta

Respuesta: 503

Conceptos:ángulo inscrito probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Por el teorema del ángulo inscrito, un triángulo inscrito es obtuso exactamente cuando sus tres vértices están estrictamente dentro de algún semicírculo. Cuenta los triángulos obtusos según su vértice "primero", el vértice desde el cual se llega a los otros dos yendo en sentido horario dentro de media circunferencia. Si $n = 2k,$ el semicírculo abierto en sentido horario desde un vértice contiene $k - 1$ vértices, lo que da $n\binom{k-1}{2}$ triángulos obtusos; si $n = 2k + 1,$ contiene $k$ vértices, lo que da $n\binom{k}{2}.$

Para $n = 2k$ la probabilidad es $\frac{2k\binom{k-1}{2}}{\binom{2k}{3}} = \frac{3(k - 2)}{2(2k - 1)} = \frac{93}{125},$ así que $375(k - 2) = 186(2k - 1),$ lo que da $3k = 564,$ $k = 188,$ y $n = 376.$

Para $n = 2k + 1$ la probabilidad es $\frac{3(k - 1)}{2(2k - 1)} = \frac{93}{125},$ así que $375(k - 1) = 186(2k - 1),$ lo que da $3k = 189,$ $k = 63,$ y $n = 127.$ La suma de todos los valores posibles es $376 + 127 = 503.$

By the inscribed angle theorem, an inscribed triangle is obtuse exactly when its three vertices lie strictly within some semicircle. Count obtuse triangles by their "first" vertex, the vertex from which the other two are reached going clockwise within half the circle. If $n = 2k,$ the open semicircle clockwise of a vertex contains $k - 1$ vertices, giving $n\binom{k-1}{2}$ obtuse triangles; if $n = 2k + 1,$ it contains $k$ vertices, giving $n\binom{k}{2}.$

For $n = 2k$ the probability is $\frac{2k\binom{k-1}{2}}{\binom{2k}{3}} = \frac{3(k - 2)}{2(2k - 1)} = \frac{93}{125},$ so $375(k - 2) = 186(2k - 1),$ giving $3k = 564,$ $k = 188,$ and $n = 376.$

For $n = 2k + 1$ the probability is $\frac{3(k - 1)}{2(2k - 1)} = \frac{93}{125},$ so $375(k - 1) = 186(2k - 1),$ giving $3k = 189,$ $k = 63,$ and $n = 127.$ The sum of all possible values is $376 + 127 = 503.$

11.

Sea $R$ el conjunto de todos los residuos posibles cuando un número de la forma $2^n,$ con $n$ entero no negativo, se divide entre $1000.$ Sea $S$ la suma de los elementos de $R.$ Halla el residuo cuando $S$ se divide entre $1000.$

Let $R$ be the set of all possible remainders when a number of the form $2^n,$ $n$ a nonnegative integer, is divided by $1000.$ Let $S$ be the sum of the elements in $R.$ Find the remainder when $S$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 7

Conceptos:aritmética modular orden multiplicativo emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Los residuos $2^0 = 1,$ $2^1 = 2,$ y $2^2 = 4$ aparecen, y para $n \ge 3$ todo $2^n$ es divisible entre $8.$ Módulo $125$ las potencias de $2$ para $n \ge 3$ se repiten con período $100,$ así que $R$ consta de $1,$ $2,$ $4,$ y los $100$ residuos distintos de $2^3, 2^4, \ldots, 2^{102}.$

El hecho clave es $2^{50} \equiv -1 \pmod{125}:$ en efecto $2^{50} + 1 = (2^{10} + 1)$ $\cdot (2^{40} - 2^{30} + 2^{20} - 2^{10} + 1),$ donde $2^{10} + 1 = 1025$ es divisible entre $25$ y el segundo factor es $\equiv 1 + 1 + 1 + 1 + 1$ $\equiv 0 \pmod 5$ porque $2^{10} \equiv -1 \pmod 5.$ Por lo tanto, para $n \ge 3,$ la suma $2^{n+50} + 2^n$ es divisible entre $125$ y entre $8,$ así que entre $1000.$

Emparejar cada residuo del ciclo con el que está $50$ pasos después da entonces $50$ pares de residuos distintos, cada par sumando exactamente $1000,$ así que esos $100$ residuos contribuyen un múltiplo de $1000$ a $S.$ Por lo tanto, $S \equiv 1 + 2 + 4 = 7 \pmod{1000}.$

The remainders $2^0 = 1,$ $2^1 = 2,$ and $2^2 = 4$ occur, and for $n \ge 3$ every $2^n$ is divisible by $8.$ Modulo $125$ the powers of $2$ for $n \ge 3$ repeat with period $100,$ so $R$ consists of $1,$ $2,$ $4,$ and the $100$ distinct remainders of $2^3, 2^4, \ldots, 2^{102}.$

The key fact is $2^{50} \equiv -1 \pmod{125}:$ indeed $2^{50} + 1 = (2^{10} + 1)$ $\cdot (2^{40} - 2^{30} + 2^{20} - 2^{10} + 1),$ where $2^{10} + 1 = 1025$ is divisible by $25$ and the second factor is $\equiv 1 + 1 + 1 + 1 + 1$ $\equiv 0 \pmod 5$ because $2^{10} \equiv -1 \pmod 5.$ Hence for $n \ge 3,$ the sum $2^{n+50} + 2^n$ is divisible by $125$ and by $8,$ so by $1000.$

Pairing each remainder in the cycle with the one $50$ steps later therefore gives $50$ pairs of distinct remainders, each pair summing to exactly $1000,$ so those $100$ remainders contribute a multiple of $1000$ to $S.$ Thus $S \equiv 1 + 2 + 4 = 7 \pmod{1000}.$

12.

Seis hombres y cierto número de mujeres se colocan en fila en orden aleatorio. Sea $p$ la probabilidad de que un grupo de al menos cuatro hombres estén juntos en la fila, dado que cada hombre está junto a al menos otro hombre. Halla el menor número de mujeres en la fila tal que $p$ no exceda el $1$ por ciento.

Six men and some number of women stand in a line in random order. Let $p$ be the probability that a group of at least four men stand together in the line, given that every man stands next to at least one other man. Find the least number of women in the line such that $p$ does not exceed $1$ percent.

Respuesta

Respuesta: 594

Conceptos:probabilidad condicional arreglos con restricciones desigualdad

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Sea $n$ el número de mujeres; solo importa el patrón de las posiciones de hombres y mujeres. Si cada hombre está junto a otro hombre, los hombres forman bloques maximales cuyos tamaños, en orden, son $2+2+2,$ $2+4,$ $4+2,$ $3+3,$ o $6.$ Un patrón con $j$ bloques equivale a elegir $j$ de los $n + 1$ huecos determinados por las mujeres, así que hay $\binom{n+1}{3}$ patrones para $2+2+2,$ $\binom{n+1}{2}$ para cada uno de los tres órdenes de dos bloques, y $n + 1$ para un solo bloque.

Al menos cuatro hombres están juntos en los órdenes $2+4,$ $4+2,$ y $6,$ así que $\begin{aligned} p &= \frac{2\binom{n+1}{2} + (n+1)}{\binom{n+1}{3} + 3\binom{n+1}{2} + (n+1)} \\ &= \frac{(n+1)^2}{\frac{(n+1)(n^2 + 8n + 6)}{6}} \\ &= \frac{6(n+1)}{n^2 + 8n + 6}. \end{aligned}$

La condición $p \le \frac{1}{100}$ se convierte en $f(n) = n^2 - 592n - 594 \ge 0.$ Como $f(593) = 593 - 594 = -1 \lt 0$ y $f(594) = 2 \cdot 594 - 594$ $= 594 \gt 0,$ el menor número de mujeres es $594.$

Let $n$ be the number of women; only the pattern of men's and women's positions matters. If every man stands next to another man, the men form maximal blocks whose sizes, in order, are $2+2+2,$ $2+4,$ $4+2,$ $3+3,$ or $6.$ A pattern with $j$ blocks amounts to choosing $j$ of the $n + 1$ gaps determined by the women, so there are $\binom{n+1}{3}$ patterns for $2+2+2,$ $\binom{n+1}{2}$ for each of the three two-block orders, and $n + 1$ for a single block.

At least four men stand together in the orders $2+4,$ $4+2,$ and $6,$ so $\begin{aligned} p &= \frac{2\binom{n+1}{2} + (n+1)}{\binom{n+1}{3} + 3\binom{n+1}{2} + (n+1)} \\ &= \frac{(n+1)^2}{\frac{(n+1)(n^2 + 8n + 6)}{6}} \\ &= \frac{6(n+1)}{n^2 + 8n + 6}. \end{aligned}$

The condition $p \le \frac{1}{100}$ becomes $f(n) = n^2 - 592n - 594 \ge 0.$ Since $f(593) = 593 - 594 = -1 \lt 0$ and $f(594) = 2 \cdot 594 - 594$ $= 594 \gt 0,$ the least number of women is $594.$

13.

Un cubo de lado $10$ está suspendido sobre un plano. El vértice más cercano al plano se etiqueta $A.$ Los tres vértices adyacentes al vértice $A$ están a alturas $10,$ $11,$ y $12$ sobre el plano. La distancia del vértice $A$ al plano se puede expresar como $\frac{r - \sqrt{s}}{t},$ donde $r,$ $s,$ y $t$ son enteros positivos. Halla $r + s + t.$

A cube with side length $10$ is suspended above a plane. The vertex closest to the plane is labeled $A.$ The three vertices adjacent to vertex $A$ are at heights $10,$ $11,$ and $12$ above the plane. The distance from vertex $A$ to the plane can be expressed as $\frac{r - \sqrt{s}}{t},$ where $r,$ $s,$ and $t$ are positive integers. Find $r + s + t.$

Respuesta

Respuesta: 330

Conceptos:Geometría 3D vector cuadrática

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Sea $h$ la altura de $A,$ y sean $e_1,$ $e_2,$ $e_3$ vectores unitarios a lo largo de las tres aristas mutuamente perpendiculares en $A.$ Si $u$ es la normal unitaria hacia arriba del plano, la altura del vértice a lo largo de la arista $i$ es $h + 10(e_i \cdot u),$ así que $10(e_1 \cdot u) = 10 - h,$ $10(e_2 \cdot u) = 11 - h,$ y $10(e_3 \cdot u) = 12 - h.$ Como $e_1, e_2, e_3$ forman una base ortonormal, $(e_1 \cdot u)^2 + (e_2 \cdot u)^2$ $+ (e_3 \cdot u)^2 = 1.$

Por lo tanto, $\begin{aligned} &(10 - h)^2 + (11 - h)^2 \\ &\quad {}+ (12 - h)^2 = 100, \end{aligned}$ lo que se simplifica a $3h^2 - 66h + 265 = 0,$ así que $h = \frac{33 \pm \sqrt{33^2 - 3 \cdot 265}}{3} = \frac{33 \pm \sqrt{294}}{3}.$

Como $A$ es el vértice más cercano al plano, $h \lt 10,$ lo que obliga a $h = \frac{33 - \sqrt{294}}{3},$ y $r + s + t = 33 + 294 + 3 = 330.$

Let $h$ be the height of $A,$ and let $e_1,$ $e_2,$ $e_3$ be unit vectors along the three mutually perpendicular edges at $A.$ If $u$ is the upward unit normal of the plane, the height of the vertex along edge $i$ is $h + 10(e_i \cdot u),$ so $10(e_1 \cdot u) = 10 - h,$ $10(e_2 \cdot u) = 11 - h,$ and $10(e_3 \cdot u) = 12 - h.$ Because $e_1, e_2, e_3$ form an orthonormal basis, $(e_1 \cdot u)^2 + (e_2 \cdot u)^2$ $+ (e_3 \cdot u)^2 = 1.$

Therefore $\begin{aligned} &(10 - h)^2 + (11 - h)^2 \\ &\quad {}+ (12 - h)^2 = 100, \end{aligned}$ which simplifies to $3h^2 - 66h + 265 = 0,$ so $h = \frac{33 \pm \sqrt{33^2 - 3 \cdot 265}}{3} = \frac{33 \pm \sqrt{294}}{3}.$

Since $A$ is the closest vertex to the plane, $h \lt 10,$ forcing $h = \frac{33 - \sqrt{294}}{3},$ and $r + s + t = 33 + 294 + 3 = 330.$

14.

Sea $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ un octágono regular. Sean $M_1,$ $M_3,$ $M_5,$ y $M_7$ los puntos medios de los lados $\overline{A_1A_2},$ $\overline{A_3A_4},$ $\overline{A_5A_6},$ y $\overline{A_7A_8},$ respectivamente. Para $i = 1, 3, 5, 7,$ se construye el rayo $R_i$ desde $M_i$ hacia el interior del octágono de modo que $R_1 \perp R_3,$ $R_3 \perp R_5,$ $R_5 \perp R_7,$ y $R_7 \perp R_1.$ Los pares de rayos $R_1$ y $R_3,$ $R_3$ y $R_5,$ $R_5$ y $R_7,$ y $R_7$ y $R_1$ se cortan en $B_1,$ $B_3,$ $B_5,$ y $B_7,$ respectivamente. Si $B_1B_3 = A_1A_2,$ entonces $\cos 2\angle A_3M_3B_1$ se puede escribir en la forma $m - \sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Halla $m + n.$

Let $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ be a regular octagon. Let $M_1,$ $M_3,$ $M_5,$ and $M_7$ be the midpoints of sides $\overline{A_1A_2},$ $\overline{A_3A_4},$ $\overline{A_5A_6},$ and $\overline{A_7A_8},$ respectively. For $i = 1, 3, 5, 7,$ ray $R_i$ is constructed from $M_i$ towards the interior of the octagon such that $R_1 \perp R_3,$ $R_3 \perp R_5,$ $R_5 \perp R_7,$ and $R_7 \perp R_1.$ Pairs of rays $R_1$ and $R_3,$ $R_3$ and $R_5,$ $R_5$ and $R_7,$ and $R_7$ and $R_1$ meet at $B_1,$ $B_3,$ $B_5,$ and $B_7,$ respectively. If $B_1B_3 = A_1A_2,$ then $\cos 2\angle A_3M_3B_1$ can be written in the form $m - \sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 37

Conceptos:polígono regular identidad trigonométrica triángulo rectángulo simetría

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

Escala de modo que $A_1A_2 = 2.$ Una rotación de $90^\circ$ alrededor del centro lleva toda la configuración a sí misma, así que $B_1B_3B_5B_7$ es un cuadrado y las distancias $a = M_iB_i$ y $b = M_iB_{i-2}$ no dependen de $i.$ Tanto $B_3$ como $B_1$ están en el rayo $R_3$ (a distancias $a$ y $b$ de $M_3$ ), así que $b - a = B_1B_3 = 2.$ Además, $R_1 \perp R_3$ hace que el triángulo $M_1B_1M_3$ sea rectángulo en $B_1,$ así que $a^2 + b^2 = M_1M_3^2.$

Las rectas $A_1A_2$ y $A_3A_4$ se cortan en un punto $C$ en ángulo recto, y el triángulo $A_2CA_3$ es un triángulo rectángulo isósceles con catetos $A_2C = A_3C = \sqrt{2},$ así que $M_1C = M_3C = 1 + \sqrt{2}$ y $a^2 + b^2 = M_1M_3^2 = 2(1 + \sqrt{2})^2.$ Entonces $\begin{aligned} (a + b)^2 &= 2(a^2 + b^2) - (b - a)^2 \\ &= 4(1 + \sqrt{2})^2 - 4 \\ &= 8 + 8\sqrt{2}. \end{aligned}$

Como el triángulo $M_1CM_3$ es un triángulo rectángulo isósceles y $A_3$ está sobre el segmento $\overline{M_3C},$ tenemos $\angle A_3M_3M_1 = 45^\circ,$ mientras que $\tan \angle M_1M_3B_1 = \frac{a}{b}$ por el triángulo rectángulo. La fórmula de adición de la tangente da $\begin{aligned} \tan \angle A_3M_3B_1 &= \frac{1 + \frac{a}{b}}{1 - \frac{a}{b}} \\ &= \frac{a + b}{b - a}, \end{aligned}$ así que $\begin{aligned} \tan^2 \angle A_3M_3B_1 &= \frac{8 + 8\sqrt{2}}{4} \\ &= 2 + 2\sqrt{2}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned} &\cos 2\angle A_3M_3B_1 \\ &\quad {}= \scriptsize \frac{1 - \tan^2 \angle A_3M_3B_1}{1 + \tan^2 \angle A_3M_3B_1} \\ &\quad {}= \frac{-1 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} \\ &\quad {}= -(1 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) \\ &\quad {}= 5 - 4\sqrt{2} \\ &\quad {}= 5 - \sqrt{32}, \end{aligned}$ y $m + n = 5 + 32 = 37.$

Scale so that $A_1A_2 = 2.$ A $90^\circ$ rotation about the center carries the whole configuration to itself, so $B_1B_3B_5B_7$ is a square and the distances $a = M_iB_i$ and $b = M_iB_{i-2}$ do not depend on $i.$ Both $B_3$ and $B_1$ lie on ray $R_3$ (at distances $a$ and $b$ from $M_3$ ), so $b - a = B_1B_3 = 2.$ Also, $R_1 \perp R_3$ makes triangle $M_1B_1M_3$ right-angled at $B_1,$ so $a^2 + b^2 = M_1M_3^2.$

Lines $A_1A_2$ and $A_3A_4$ meet at a point $C$ at a right angle, and triangle $A_2CA_3$ is an isosceles right triangle with legs $A_2C = A_3C = \sqrt{2},$ so $M_1C = M_3C = 1 + \sqrt{2}$ and $a^2 + b^2 = M_1M_3^2 = 2(1 + \sqrt{2})^2.$ Then $\begin{aligned} (a + b)^2 &= 2(a^2 + b^2) - (b - a)^2 \\ &= 4(1 + \sqrt{2})^2 - 4 \\ &= 8 + 8\sqrt{2}. \end{aligned}$

Since triangle $M_1CM_3$ is an isosceles right triangle and $A_3$ lies on segment $\overline{M_3C},$ we have $\angle A_3M_3M_1 = 45^\circ,$ while $\tan \angle M_1M_3B_1 = \frac{a}{b}$ from the right triangle. The tangent addition formula gives $\begin{aligned} \tan \angle A_3M_3B_1 &= \frac{1 + \frac{a}{b}}{1 - \frac{a}{b}} \\ &= \frac{a + b}{b - a}, \end{aligned}$ so $\begin{aligned} \tan^2 \angle A_3M_3B_1 &= \frac{8 + 8\sqrt{2}}{4} \\ &= 2 + 2\sqrt{2}. \end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned} &\cos 2\angle A_3M_3B_1 \\ &\quad {}= \scriptsize \frac{1 - \tan^2 \angle A_3M_3B_1}{1 + \tan^2 \angle A_3M_3B_1} \\ &\quad {}= \frac{-1 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} \\ &\quad {}= -(1 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) \\ &\quad {}= 5 - 4\sqrt{2} \\ &\quad {}= 5 - \sqrt{32}, \end{aligned}$ and $m + n = 5 + 32 = 37.$

15.

Para algún entero $m,$ el polinomio $x^3 - 2011x + m$ tiene las tres raíces enteras $a,$ $b,$ y $c.$ Halla $|a| + |b| + |c|.$

For some integer $m,$ the polynomial $x^3 - 2011x + m$ has the three integer roots $a,$ $b,$ and $c.$ Find $|a| + |b| + |c|.$

Respuesta

Respuesta: 98

Conceptos:Fórmulas de Vieta Ecuación diofántica cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, $a + b + c = 0$ y $ab + bc + ca = -2011.$ Negar las tres raíces reemplaza $m$ por $-m,$ así que podemos suponer que dos raíces, digamos $a \ge b,$ son no negativas. Sustituir $c = -(a + b)$ en la segunda ecuación da $ab - (a + b)^2 = -2011,$ es decir, $a^2 + ab + b^2 = 2011.$

Multiplicando por $4$ y completando el cuadrado, $(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044.$ Como $a \ge b \ge 0,$ tenemos $3b^2 \le a^2 + ab + b^2 = 2011,$ así que $0 \le b \le 25.$ Al revisar estos valores, $8044 - 3b^2$ es un cuadrado perfecto solo para $b = 10,$ donde $8044 - 300 = 7744 = 88^2.$

Entonces $2a + b = 88$ da $a = 39,$ y $c = -(a + b) = -49.$ (En efecto $39 \cdot 10 - 49^2 = -2011.$ ) Por lo tanto, $|a| + |b| + |c| = 39 + 10 + 49$ $= 98.$

By Vieta's formulas, $a + b + c = 0$ and $ab + bc + ca = -2011.$ Negating all three roots replaces $m$ by $-m,$ so we may assume two roots, say $a \ge b,$ are nonnegative. Substituting $c = -(a + b)$ into the second equation gives $ab - (a + b)^2 = -2011,$ that is, $a^2 + ab + b^2 = 2011.$

Multiplying by $4$ and completing the square, $(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044.$ Since $a \ge b \ge 0,$ we have $3b^2 \le a^2 + ab + b^2 = 2011,$ so $0 \le b \le 25.$ Checking these values, $8044 - 3b^2$ is a perfect square only for $b = 10,$ where $8044 - 300 = 7744 = 88^2.$

Then $2a + b = 88$ gives $a = 39,$ and $c = -(a + b) = -49.$ (Indeed $39 \cdot 10 - 49^2 = -2011.$ ) Therefore $|a| + |b| + |c| = 39 + 10 + 49$ $= 98.$

Problemas del 2011 AIME I

Respuesta: 85

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Respuesta: 31

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Respuesta: 318

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Respuesta: 594

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Respuesta: 98

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