Question

La probabilidad de que un conjunto de tres vértices distintos elegidos al azar entre los vértices de un $n$ -ágono regular determinen un triángulo obtuso es $\frac{93}{125}.$ Halla la suma de todos los valores posibles de $n.$

The probability that a set of three distinct vertices chosen at random from among the vertices of a regular $n$ -gon determine an obtuse triangle is $\frac{93}{125}.$ Find the sum of all possible values of $n.$

Respuesta

Solución:

Por el teorema del ángulo inscrito, un triángulo inscrito es obtuso exactamente cuando sus tres vértices están estrictamente dentro de algún semicírculo. Cuenta los triángulos obtusos según su vértice "primero", el vértice desde el cual se llega a los otros dos yendo en sentido horario dentro de media circunferencia. Si $n = 2k,$ el semicírculo abierto en sentido horario desde un vértice contiene $k - 1$ vértices, lo que da $n\binom{k-1}{2}$ triángulos obtusos; si $n = 2k + 1,$ contiene $k$ vértices, lo que da $n\binom{k}{2}.$

Para $n = 2k$ la probabilidad es $\frac{2k\binom{k-1}{2}}{\binom{2k}{3}} = \frac{3(k - 2)}{2(2k - 1)} = \frac{93}{125},$ así que $375(k - 2) = 186(2k - 1),$ lo que da $3k = 564,$ $k = 188,$ y $n = 376.$

Para $n = 2k + 1$ la probabilidad es $\frac{3(k - 1)}{2(2k - 1)} = \frac{93}{125},$ así que $375(k - 1) = 186(2k - 1),$ lo que da $3k = 189,$ $k = 63,$ y $n = 127.$ La suma de todos los valores posibles es $376 + 127 = 503.$

By the inscribed angle theorem, an inscribed triangle is obtuse exactly when its three vertices lie strictly within some semicircle. Count obtuse triangles by their "first" vertex, the vertex from which the other two are reached going clockwise within half the circle. If $n = 2k,$ the open semicircle clockwise of a vertex contains $k - 1$ vertices, giving $n\binom{k-1}{2}$ obtuse triangles; if $n = 2k + 1,$ it contains $k$ vertices, giving $n\binom{k}{2}.$

For $n = 2k$ the probability is $\frac{2k\binom{k-1}{2}}{\binom{2k}{3}} = \frac{3(k - 2)}{2(2k - 1)} = \frac{93}{125},$ so $375(k - 2) = 186(2k - 1),$ giving $3k = 564,$ $k = 188,$ and $n = 376.$

For $n = 2k + 1$ the probability is $\frac{3(k - 1)}{2(2k - 1)} = \frac{93}{125},$ so $375(k - 1) = 186(2k - 1),$ giving $3k = 189,$ $k = 63,$ and $n = 127.$ The sum of all possible values is $376 + 127 = 503.$

2011 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años