Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2024 AIME I Problema 10

Intenta el Problema 10 del 2024 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

Sea △ABC\triangle ABC con longitudes de lado AB=5,AB = 5, BC=9,BC = 9, y CA=10.CA = 10. Las tangentes al circuncírculo del △ABC\triangle ABC en BB y CC se intersecan en el punto D,D, y AD‾\overline{AD} interseca al circuncírculo en P≠A.P \ne A. La longitud de APAP es igual a mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros primos entre sí. Halla m+n.m + n.
Let △ABC\triangle ABC have side lengths AB=5,AB = 5, BC=9,BC = 9, and CA=10.CA = 10. The tangents to the circumcircle of △ABC\triangle ABC at BB and CC intersect at point D,D, and AD‾\overline{AD} intersects the circumcircle at P≠A.P \ne A. The length of APAP is equal to mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime integers. Find m+n.m + n.
Respuesta: 113
Conceptos:potencia de un puntorecta tangenteley de los cosenos
Nivel de dificultad: 2920
Pista pequeña:
Por el ángulo semiinscrito (tangente-cuerda), ∠DBC=∠DCB=∠A,\angle DBC = \angle DCB = \angle A, así que DB=BC2cos⁡ADB = \frac{\frac{BC}{2}}{\cos A}
By the tangent-chord angle, ∠DBC=∠DCB=∠A,\angle DBC = \angle DCB = \angle A, so DB=BC2cos⁡ADB = \frac{\frac{BC}{2}}{\cos A}
Pista grande:
La potencia del punto da DP⋅DA=DB2,DP \cdot DA = DB^2, así que AP=DA−DB2DA;AP = DA - \frac{DB^2}{DA}; calcula DADA con la ley de cosenos en el triángulo ABDABD
Power of the point gives DP⋅DA=DB2,DP \cdot DA = DB^2, so AP=DA−DB2DA;AP = DA - \frac{DB^2}{DA}; compute DADA from the law of cosines in triangle ABDABD
Solución:
Por el ángulo tangente-cuerda, ∠DBC=∠DCB=∠A,\angle DBC = \angle DCB = \angle A, así que el triángulo DBCDBC es isósceles con DB=BC2cos⁡A.DB = \frac{\frac{BC}{2}}{\cos A}. La ley de cosenos da cos⁡A=102+52−922⋅10⋅5=1125\cos A = \frac{10^2 + 5^2 - 9^2}{2 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{11}{25} y cos⁡B=92+52−1022⋅9⋅5=115,\cos B = \frac{9^2 + 5^2 - 10^2}{2 \cdot 9 \cdot 5} = \frac{1}{15}, así que DB=921125=22522.DB = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{11}{25}} = \frac{225}{22}.
Como DD está en el lado opuesto de BCBC respecto de A,A, ∠ABD=A+B,\angle ABD = A + B, y cos⁡(A+B)=1125⋅115−61425⋅41415=11−336375=−1315. \begin{aligned} &\cos(A + B) \\ &= \frac{11}{25} \cdot \frac{1}{15} \\ &\quad {}- \frac{6\sqrt{14}}{25} \cdot \frac{4\sqrt{14}}{15} \\ &= \frac{11 - 336}{375} \\ &= -\frac{13}{15}. \end{aligned} La ley de cosenos en el triángulo ABDABD da entonces DA2=52+(22522)2+2⋅5⋅22522⋅1315=105625484, \begin{aligned} &DA^2 = 5^2 + \left(\tfrac{225}{22}\right)^2 \\ &\quad {}+ 2 \cdot 5 \cdot \tfrac{225}{22} \cdot \tfrac{13}{15} \\ &= \frac{105625}{484}, \end{aligned} DA=32522. DA = \frac{325}{22}.
La potencia de DD da DP⋅DA=DB2,DP \cdot DA = DB^2, así que AP=DA−DB2DA=DA2−DB2DA=105625−5062548432522=5500022⋅325=10013, \begin{aligned} &AP = DA - \frac{DB^2}{DA} \\ &= \frac{DA^2 - DB^2}{DA} \\ &= \frac{\frac{105625 - 50625}{484}}{\frac{325}{22}} \\ &= \frac{55000}{22 \cdot 325} \\ &= \frac{100}{13}, \end{aligned} y m+n=100+13=113.m + n = 100 + 13 = 113.
By the tangent-chord angle, ∠DBC=∠DCB=∠A,\angle DBC = \angle DCB = \angle A, so triangle DBCDBC is isosceles with DB=BC2cos⁡A.DB = \frac{\frac{BC}{2}}{\cos A}. The law of cosines gives cos⁡A=102+52−922⋅10⋅5=1125\cos A = \frac{10^2 + 5^2 - 9^2}{2 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{11}{25} and cos⁡B=92+52−1022⋅9⋅5=115,\cos B = \frac{9^2 + 5^2 - 10^2}{2 \cdot 9 \cdot 5} = \frac{1}{15}, so DB=921125=22522.DB = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{11}{25}} = \frac{225}{22}.
Since DD lies on the opposite side of BCBC from A,A, ∠ABD=A+B,\angle ABD = A + B, and cos⁡(A+B)=1125⋅115−61425⋅41415=11−336375=−1315. \begin{aligned} &\cos(A + B) \\ &= \frac{11}{25} \cdot \frac{1}{15} \\ &\quad {}- \frac{6\sqrt{14}}{25} \cdot \frac{4\sqrt{14}}{15} \\ &= \frac{11 - 336}{375} \\ &= -\frac{13}{15}. \end{aligned} The law of cosines in triangle ABDABD then gives DA2=52+(22522)2+2⋅5⋅22522⋅1315=105625484, \begin{aligned} &DA^2 = 5^2 + \left(\tfrac{225}{22}\right)^2 \\ &\quad {}+ 2 \cdot 5 \cdot \tfrac{225}{22} \cdot \tfrac{13}{15} \\ &= \frac{105625}{484}, \end{aligned} DA=32522. DA = \frac{325}{22}.
The power of DD gives DP⋅DA=DB2,DP \cdot DA = DB^2, so AP=DA−DB2DA=DA2−DB2DA=105625−5062548432522=5500022⋅325=10013, \begin{aligned} &AP = DA - \frac{DB^2}{DA} \\ &= \frac{DA^2 - DB^2}{DA} \\ &= \frac{\frac{105625 - 50625}{484}}{\frac{325}{22}} \\ &= \frac{55000}{22 \cdot 325} \\ &= \frac{100}{13}, \end{aligned} and m+n=100+13=113.m + n = 100 + 13 = 113.
Problema 9#9
Examen completo
Problema 11#11

El Problema 10 en otros años

1983 AIME · 1984 AIME · 1985 AIME · 1986 AIME · 1987 AIME · 1988 AIME · 1989 AIME · 1990 AIME · 1991 AIME · 1992 AIME · 1993 AIME · 1994 AIME · 1995 AIME · 1996 AIME · 1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2019 AIME II · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II