Question

Sean $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ puntos sobre la hipérbola $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{24} = 1$ tales que $ABCD$ es un rombo cuyas diagonales se intersecan en el origen. Halla el mayor número menor que $BD^2$ para todos los rombos $ABCD.$

Let $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ be points on the hyperbola $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{24} = 1$ such that $ABCD$ is a rhombus whose diagonals intersect at the origin. Find the largest number less than $BD^2$ for all rhombuses $ABCD.$

Respuesta

Solución:

Las diagonales de un rombo son mediatrices una de la otra, así que $C = -A,$ $D = -B,$ y $OA \perp OB.$ Sea la recta $BD$ de pendiente $m,$ de modo que $B = (x, mx)$ con $x^2\left(\frac{1}{20} - \frac{m^2}{24}\right) = 1,$ es decir $x^2 = \frac{120}{6 - 5m^2},$ lo que requiere $m^2 \lt \frac{6}{5}.$ Entonces $BD^2 = 4(x^2 + m^2x^2)$ $= \frac{480(1 + m^2)}{6 - 5m^2}.$ La recta $AC$ tiene pendiente $-\frac{1}{m},$ así que corta la hipérbola solo cuando $\frac{1}{m^2} \lt \frac{6}{5},$ es decir $m^2 \gt \frac{5}{6}.$

En el intervalo $\frac{5}{6} \lt m^2 \lt \frac{6}{5},$ la cantidad $\frac{480(1 + m^2)}{6 - 5m^2}$ es estrictamente creciente en $m^2:$ cuando $m^2 \to \frac{5}{6}$ tiende a $480 \cdot \frac{11/6}{11/6} = 480,$ y cuando $m^2 \to \frac{6}{5}$ crece sin límite. Por lo tanto $BD^2$ toma exactamente los valores en $(480, \infty)$ y nunca es igual a $480.$

El mayor número que es menor que $BD^2$ para todo rombo de este tipo es, por lo tanto, $480.$

The diagonals of a rhombus are perpendicular bisectors of each other, so $C = -A,$ $D = -B,$ and $OA \perp OB.$ Let line $BD$ have slope $m,$ so $B = (x, mx)$ with $x^2\left(\frac{1}{20} - \frac{m^2}{24}\right) = 1,$ i.e. $x^2 = \frac{120}{6 - 5m^2},$ which requires $m^2 \lt \frac{6}{5}.$ Then $BD^2 = 4(x^2 + m^2x^2)$ $= \frac{480(1 + m^2)}{6 - 5m^2}.$ Line $AC$ has slope $-\frac{1}{m},$ so it meets the hyperbola only when $\frac{1}{m^2} \lt \frac{6}{5},$ that is $m^2 \gt \frac{5}{6}.$

On the interval $\frac{5}{6} \lt m^2 \lt \frac{6}{5},$ the quantity $\frac{480(1 + m^2)}{6 - 5m^2}$ is strictly increasing in $m^2:$ as $m^2 \to \frac{5}{6}$ it tends to $480 \cdot \frac{11/6}{11/6} = 480,$ and as $m^2 \to \frac{6}{5}$ it grows without bound. Hence $BD^2$ takes exactly the values in $(480, \infty)$ and never equals $480.$

The largest number that is less than $BD^2$ for every such rhombus is therefore $480.$

2024 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años