Question

Las circunferencias $\mathcal{C}_1,$ $\mathcal{C}_2,$ y $\mathcal{C}_3$ tienen sus centros en $(0, 0),$ $(12, 0),$ y $(24, 0),$ y tienen radios $1,$ $2,$ y $4,$ respectivamente. La recta $t_1$ es una tangente interior común a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ y tiene pendiente positiva, y la recta $t_2$ es una tangente interior común a $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ y tiene pendiente negativa. Dado que las rectas $t_1$ y $t_2$ se cortan en $(x, y),$ y que $x = p - q\sqrt{r},$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son enteros positivos y $r$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halla $p + q + r.$

Circles $\mathcal{C}_1,$ $\mathcal{C}_2,$ and $\mathcal{C}_3$ have their centers at $(0, 0),$ $(12, 0),$ and $(24, 0),$ and have radii $1,$ $2,$ and $4,$ respectively. Line $t_1$ is a common internal tangent to $\mathcal{C}_1$ and $\mathcal{C}_2$ and has a positive slope, and line $t_2$ is a common internal tangent to $\mathcal{C}_2$ and $\mathcal{C}_3$ and has a negative slope. Given that lines $t_1$ and $t_2$ intersect at $(x, y),$ and that $x = p - q\sqrt{r},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers and $r$ is not divisible by the square of any prime, find $p + q + r.$

Respuesta

Solución:

Una tangente interior común encuentra el segmento entre los centros en el punto que lo divide en la razón de los radios. Para $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ ese punto es $(4, 0),$ a distancia $4$ de $(0,0).$ Si $t_1$ forma un ángulo $\theta$ con el eje $x$ , entonces $\sin\theta = \frac{1}{4},$ así que $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{15}}$ y $t_1$ es $y = \frac{1}{\sqrt{15}}(x - 4).$ Para $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ el punto es $(16, 0),$ a distancia $4$ de $(12, 0);$ aquí $\sin\theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},$ así que la pendiente es $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ y $t_2$ es $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 16).$

Igualando las dos expresiones y multiplicando por $\sqrt{15}$ se obtiene $x - 4 = -\sqrt{5}\,(x - 16),$ así que $x(1 + \sqrt{5}) = 4 + 16\sqrt{5}$ y $\begin{aligned} x &= \frac{4 + 16\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} \\ &= \frac{(4 + 16\sqrt{5})(\sqrt{5} - 1)}{4} \\ &= \frac{76 - 12\sqrt{5}}{4} \\ &= 19 - 3\sqrt{5}. \end{aligned}$

Así que $p + q + r = 19 + 3 + 5 = 27.$

A common internal tangent meets the segment between the centers at the point dividing it in the ratio of the radii. For $\mathcal{C}_1$ and $\mathcal{C}_2$ that point is $(4, 0),$ at distance $4$ from $(0,0).$ If $t_1$ makes angle $\theta$ with the $x$ -axis, then $\sin\theta = \frac{1}{4},$ so $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{15}}$ and $t_1$ is $y = \frac{1}{\sqrt{15}}(x - 4).$ For $\mathcal{C}_2$ and $\mathcal{C}_3$ the point is $(16, 0),$ at distance $4$ from $(12, 0);$ here $\sin\theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},$ so the slope is $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ and $t_2$ is $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 16).$

Setting the two expressions equal and multiplying by $\sqrt{15}$ gives $x - 4 = -\sqrt{5}\,(x - 16),$ so $x(1 + \sqrt{5}) = 4 + 16\sqrt{5}$ and $\begin{aligned} x &= \frac{4 + 16\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} \\ &= \frac{(4 + 16\sqrt{5})(\sqrt{5} - 1)}{4} \\ &= \frac{76 - 12\sqrt{5}}{4} \\ &= 19 - 3\sqrt{5}. \end{aligned}$

Thus $p + q + r = 19 + 3 + 5 = 27.$

2006 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años