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2004 AIME II Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2004 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2004 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Una sucesión de enteros positivos con a1=1a_1 = 1 y a9+a10=646a_9 + a_{10} = 646 se forma de modo que los primeros tres términos están en progresión geométrica, los términos segundo, tercero y cuarto están en progresión aritmética y, en general, para todo n≥1,n \ge 1, los términos a2n−1,a_{2n-1}, a2n,a_{2n}, y a2n+1a_{2n+1} están en progresión geométrica, y los términos a2n,a_{2n}, a2n+1,a_{2n+1}, y a2n+2a_{2n+2} están en progresión aritmética. Sea ana_n el mayor término de esta sucesión que es menor que 1000.1000. Halla n+an.n + a_n.
A sequence of positive integers with a1=1a_1 = 1 and a9+a10=646a_9 + a_{10} = 646 is formed so that the first three terms are in geometric progression, the second, third, and fourth terms are in arithmetic progression, and, in general, for all n≥1,n \ge 1, the terms a2n−1,a_{2n-1}, a2n,a_{2n}, and a2n+1a_{2n+1} are in geometric progression, and the terms a2n,a_{2n}, a2n+1,a_{2n+1}, and a2n+2a_{2n+2} are in arithmetic progression. Let ana_n be the greatest term in this sequence that is less than 1000.1000. Find n+an.n + a_n.
Respuesta: 973
Conceptos:sucesión geométricasucesión aritméticareconocimiento de patrones
Nivel de dificultad: 2840
Pista pequeña:
Sea a2=r;a_2 = r; cada condición de progresión fuerza el siguiente término, dando a9=(4r−3)2a_9 = (4r-3)^2 y a10=(4r−3)(5r−4)a_{10} = (4r-3)(5r-4).
Let a2=r;a_2 = r; each progression condition forces the next term, giving a9=(4r−3)2a_9 = (4r-3)^2 and a10=(4r−3)(5r−4)a_{10} = (4r-3)(5r-4)
Pista grande:
Entonces (4r−3)(9r−7)=646(4r-3)(9r-7) = 646 fuerza r=5,r = 5, así que los términos de índice impar son (2n−1)2(2n-1)^2 y los de índice par son (2n−3)(2n+1)(2n-3)(2n+1).
Then (4r−3)(9r−7)=646(4r-3)(9r-7) = 646 forces r=5,r = 5, so odd-indexed terms are (2n−1)2(2n-1)^2 and even-indexed terms are (2n−3)(2n+1)(2n-3)(2n+1)
Solución:
Sea a2=r.a_2 = r. La condición geométrica da a3=r2,a_3 = r^2, la condición aritmética da a4=2r2−r=r(2r−1),a_4 = 2r^2 - r = r(2r-1), luego a5=(2r−1)2,a_5 = (2r-1)^2, y así sucesivamente: por inducción a2k+1=(kr−(k−1))2,a2k+2=(kr−(k−1))⋅((k+1)r−k). \begin{aligned} a_{2k+1} &= \bigl(kr - (k-1)\bigr)^2, \\ a_{2k+2} &= \bigl(kr - (k-1)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl((k+1)r - k\bigr). \end{aligned} En particular a9=(4r−3)2a_9 = (4r-3)^2 y a10=(4r−3)(5r−4),a_{10} = (4r-3)(5r-4), así que a9+a10=(4r−3)(9r−7)a_9 + a_{10} = (4r-3)(9r-7) =646.= 646. Al desarrollar da 36r2−55r−625=0,36r^2 - 55r - 625 = 0, que se factoriza como (r−5)(36r+125)=0,(r - 5)(36r + 125) = 0, así que r=5.r = 5.
Con r=5r = 5 obtenemos kr−(k−1)=4k+1,kr - (k-1) = 4k + 1, así que a2k+1=(4k+1)2a_{2k+1} = (4k+1)^2 y a2k+2=(4k+1)(4k+5);a_{2k+2} = (4k+1)(4k+5); la sucesión es creciente. Como a17=332=1089>1000a_{17} = 33^2 = 1089 \gt 1000 mientras que a16=29⋅33=957,a_{16} = 29 \cdot 33 = 957, el mayor término por debajo de 10001000 es a16=957.a_{16} = 957.
Por lo tanto n+an=16+957=973.n + a_n = 16 + 957 = 973.
Let a2=r.a_2 = r. The geometric condition gives a3=r2,a_3 = r^2, the arithmetic condition gives a4=2r2−r=r(2r−1),a_4 = 2r^2 - r = r(2r-1), then a5=(2r−1)2,a_5 = (2r-1)^2, and so on: inductively a2k+1=(kr−(k−1))2,a2k+2=(kr−(k−1))⋅((k+1)r−k). \begin{aligned} a_{2k+1} &= \bigl(kr - (k-1)\bigr)^2, \\ a_{2k+2} &= \bigl(kr - (k-1)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl((k+1)r - k\bigr). \end{aligned} In particular a9=(4r−3)2a_9 = (4r-3)^2 and a10=(4r−3)(5r−4),a_{10} = (4r-3)(5r-4), so a9+a10=(4r−3)(9r−7)a_9 + a_{10} = (4r-3)(9r-7) =646.= 646. Expanding gives 36r2−55r−625=0,36r^2 - 55r - 625 = 0, which factors as (r−5)(36r+125)=0,(r - 5)(36r + 125) = 0, so r=5.r = 5.
With r=5r = 5 we get kr−(k−1)=4k+1,kr - (k-1) = 4k + 1, so a2k+1=(4k+1)2a_{2k+1} = (4k+1)^2 and a2k+2=(4k+1)(4k+5);a_{2k+2} = (4k+1)(4k+5); the sequence is increasing. Since a17=332=1089>1000a_{17} = 33^2 = 1089 \gt 1000 while a16=29⋅33=957,a_{16} = 29 \cdot 33 = 957, the greatest term below 10001000 is a16=957.a_{16} = 957.
Therefore n+an=16+957=973.n + a_n = 16 + 957 = 973.
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

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