Question

Una sucesión de enteros positivos con $a_1 = 1$ y $a_9 + a_{10} = 646$ se forma de modo que los primeros tres términos están en progresión geométrica, los términos segundo, tercero y cuarto están en progresión aritmética y, en general, para todo $n \ge 1,$ los términos $a_{2n-1},$ $a_{2n},$ y $a_{2n+1}$ están en progresión geométrica, y los términos $a_{2n},$ $a_{2n+1},$ y $a_{2n+2}$ están en progresión aritmética. Sea $a_n$ el mayor término de esta sucesión que es menor que $1000.$ Halla $n + a_n.$

A sequence of positive integers with $a_1 = 1$ and $a_9 + a_{10} = 646$ is formed so that the first three terms are in geometric progression, the second, third, and fourth terms are in arithmetic progression, and, in general, for all $n \ge 1,$ the terms $a_{2n-1},$ $a_{2n},$ and $a_{2n+1}$ are in geometric progression, and the terms $a_{2n},$ $a_{2n+1},$ and $a_{2n+2}$ are in arithmetic progression. Let $a_n$ be the greatest term in this sequence that is less than $1000.$ Find $n + a_n.$

Respuesta

Solución:

Sea $a_2 = r.$ La condición geométrica da $a_3 = r^2,$ la condición aritmética da $a_4 = 2r^2 - r = r(2r-1),$ luego $a_5 = (2r-1)^2,$ y así sucesivamente: por inducción $\begin{aligned} a_{2k+1} &= \bigl(kr - (k-1)\bigr)^2, \\ a_{2k+2} &= \bigl(kr - (k-1)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl((k+1)r - k\bigr). \end{aligned}$ En particular $a_9 = (4r-3)^2$ y $a_{10} = (4r-3)(5r-4),$ así que $a_9 + a_{10} = (4r-3)(9r-7)$ $= 646.$ Al desarrollar da $36r^2 - 55r - 625 = 0,$ que se factoriza como $(r - 5)(36r + 125) = 0,$ así que $r = 5.$

Con $r = 5$ obtenemos $kr - (k-1) = 4k + 1,$ así que $a_{2k+1} = (4k+1)^2$ y $a_{2k+2} = (4k+1)(4k+5);$ la sucesión es creciente. Como $a_{17} = 33^2 = 1089 \gt 1000$ mientras que $a_{16} = 29 \cdot 33 = 957,$ el mayor término por debajo de $1000$ es $a_{16} = 957.$

Por lo tanto $n + a_n = 16 + 957 = 973.$

Let $a_2 = r.$ The geometric condition gives $a_3 = r^2,$ the arithmetic condition gives $a_4 = 2r^2 - r = r(2r-1),$ then $a_5 = (2r-1)^2,$ and so on: inductively $\begin{aligned} a_{2k+1} &= \bigl(kr - (k-1)\bigr)^2, \\ a_{2k+2} &= \bigl(kr - (k-1)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl((k+1)r - k\bigr). \end{aligned}$ In particular $a_9 = (4r-3)^2$ and $a_{10} = (4r-3)(5r-4),$ so $a_9 + a_{10} = (4r-3)(9r-7)$ $= 646.$ Expanding gives $36r^2 - 55r - 625 = 0,$ which factors as $(r - 5)(36r + 125) = 0,$ so $r = 5.$

With $r = 5$ we get $kr - (k-1) = 4k + 1,$ so $a_{2k+1} = (4k+1)^2$ and $a_{2k+2} = (4k+1)(4k+5);$ the sequence is increasing. Since $a_{17} = 33^2 = 1089 \gt 1000$ while $a_{16} = 29 \cdot 33 = 957,$ the greatest term below $1000$ is $a_{16} = 957.$

Therefore $n + a_n = 16 + 957 = 973.$

2004 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años