Question

Veintisiete cubos unitarios se pintan cada uno de naranja en un conjunto de cuatro caras, de modo que las dos caras sin pintar comparten una arista. Luego los $27$ cubos se disponen al azar para formar un cubo $3 \times 3 \times 3.$ Dado que la probabilidad de que toda la superficie del cubo mayor sea naranja es $\frac{p^a}{q^b r^c},$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son primos distintos y $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, halle $a + b + c + p + q + r.$

Twenty-seven unit cubes are each painted orange on a set of four faces so that the two unpainted faces share an edge. The $27$ cubes are then randomly arranged to form a $3 \times 3 \times 3$ cube. Given that the probability that the entire surface of the larger cube is orange is $\frac{p^a}{q^b r^c},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are distinct primes and $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, find $a + b + c + p + q + r.$

Respuesta

Solución:

Cada cubo unitario tiene una “arista mala”: la arista compartida por sus dos caras sin pintar. La superficie del cubo mayor es enteramente naranja exactamente cuando la arista mala de cada cubo unitario no toca ninguna cara visible. Una orientación uniformemente al azar coloca la arista mala de manera uniforme entre las $12$ posiciones de arista del cubo, así que para cada cubo unitario contamos las posiciones de arista cuyas dos caras quedan ocultas.

Un cubo de esquina muestra $3$ caras que se encuentran en un vértice; las aristas seguras son las de las $3$ caras ocultas que se encuentran en el vértice opuesto, así que la probabilidad es $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}.$ Un cubo de arista muestra $2$ caras adyacentes, que tocan $4 + 4 - 1 = 7$ aristas, dejando $5$ seguras: probabilidad $\frac{5}{12}.$ Un cubo de centro de cara muestra $1$ cara que toca $4$ aristas, dejando $8$ seguras: probabilidad $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}.$ El cubo central siempre cumple.

Con $8$ cubos de esquina, $12$ de arista y $6$ de centro de cara, la probabilidad es $\begin{aligned} &\left(\frac{1}{4}\right)^{8}\left(\frac{5}{12}\right)^{12}\left(\frac{2}{3}\right)^{6} \\ &= \frac{5^{12}}{2^{34} \cdot 3^{18}}, \end{aligned}$ así que $a + b + c + p + q + r$ $= 12 + 34 + 18$ $+ 5 + 2 + 3$ $= 74.$

Each unit cube has one "bad edge": the edge shared by its two unpainted faces. The larger cube's surface is entirely orange exactly when every unit cube's bad edge touches no visible face. A uniformly random orientation places the bad edge uniformly among the cube's $12$ edge positions, so for each unit cube we count the edge positions both of whose faces are hidden.

A corner cube shows $3$ faces meeting at a vertex; the safe edges are those of the $3$ hidden faces meeting at the opposite vertex, so the probability is $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}.$ An edge cube shows $2$ adjacent faces, which touch $4 + 4 - 1 = 7$ edges, leaving $5$ safe: probability $\frac{5}{12}.$ A face-center cube shows $1$ face touching $4$ edges, leaving $8$ safe: probability $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}.$ The center cube is always fine.

With $8$ corner, $12$ edge, and $6$ face-center cubes, the probability is $\begin{aligned} &\left(\frac{1}{4}\right)^{8}\left(\frac{5}{12}\right)^{12}\left(\frac{2}{3}\right)^{6} \\ &= \frac{5^{12}}{2^{34} \cdot 3^{18}}, \end{aligned}$ so $a + b + c + p + q + r$ $= 12 + 34 + 18$ $+ 5 + 2 + 3$ $= 74.$

2005 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años