Question

El triángulo $ABC$ tiene $AB = 40,$ $AC = 31,$ y $\sin A = \frac{1}{5}.$ Este triángulo está inscrito en el rectángulo $AQRS$ con $B$ en $\overline{QR}$ y $C$ en $\overline{RS}.$ Halla el área máxima posible de $AQRS.$

Triangle $ABC$ has $AB = 40,$ $AC = 31,$ and $\sin A = \frac{1}{5}.$ This triangle is inscribed in rectangle $AQRS$ with $B$ on $\overline{QR}$ and $C$ on $\overline{RS}.$ Find the maximum possible area of $AQRS.$

Respuesta

Solución:

Sea $\beta = \angle BAQ$ y $\gamma = \angle CAS,$ de modo que $\beta + \gamma = 90^\circ - A.$ A partir de los triángulos rectángulos $AQB$ y $ASC,$ los lados del rectángulo son $AQ = 40\cos\beta$ y $AS = 31\cos\gamma,$ así que su área es $\begin{aligned} 40 \cdot 31 \cos\beta\cos\gamma \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \cos(\beta + \gamma)\bigr) \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \sin A\bigr), \end{aligned}$ usando la identidad de producto a suma y $\cos(90^\circ - A) = \sin A.$

Esto se maximiza cuando $\beta = \gamma,$ lo cual permite la restricción, dando un área de $620\left(1 + \frac{1}{5}\right) = 744.$

Let $\beta = \angle BAQ$ and $\gamma = \angle CAS,$ so $\beta + \gamma = 90^\circ - A.$ From the right triangles $AQB$ and $ASC,$ the sides of the rectangle are $AQ = 40\cos\beta$ and $AS = 31\cos\gamma,$ so its area is $\begin{aligned} 40 \cdot 31 \cos\beta\cos\gamma \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \cos(\beta + \gamma)\bigr) \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \sin A\bigr), \end{aligned}$ using the product-to-sum identity and $\cos(90^\circ - A) = \sin A.$

This is maximized when $\beta = \gamma,$ which the constraint allows, giving area $620\left(1 + \frac{1}{5}\right) = 744.$

2016 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años