Soluciones del 2016 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Para $-1 \lt r \lt 1,$ sea $S(r)$ la suma de la serie geométrica $12 + 12r + 12r^2 + 12r^3 + \cdots.$ Sea $a$ entre $-1$ y $1$ que satisface $S(a)S(-a) = 2016.$ Halla $S(a) + S(-a).$

For $-1 \lt r \lt 1,$ let $S(r)$ denote the sum of the geometric series $12 + 12r + 12r^2 + 12r^3 + \cdots.$ Let $a$ between $-1$ and $1$ satisfy $S(a)S(-a) = 2016.$ Find $S(a) + S(-a).$

Respuesta

Conceptos:sucesión geométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

La serie geométrica suma $S(r) = \frac{12}{1 - r}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} S(a)S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \cdot \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{144}{1 - a^2} = 2016, \end{aligned}$ así que $\frac{1}{1 - a^2} = 14.$

Sumando las dos sumas sobre un común denominador, $\begin{aligned} S(a) + S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \\ &\quad {}+ \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{24}{1 - a^2} \\ &= 24 \cdot 14 = 336. \end{aligned}$

The geometric series sums to $S(r) = \frac{12}{1 - r}.$ Therefore $\begin{aligned} S(a)S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \cdot \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{144}{1 - a^2} = 2016, \end{aligned}$ so $\frac{1}{1 - a^2} = 14.$

Adding the two sums over a common denominator, $\begin{aligned} S(a) + S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \\ &\quad {}+ \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{24}{1 - a^2} \\ &= 24 \cdot 14 = 336. \end{aligned}$

2.

Dos dados parecen ser dados estándar con sus caras numeradas del $1$ al $6,$ pero cada dado está sesgado de modo que la probabilidad de sacar el número $k$ es directamente proporcional a $k.$ La probabilidad de sacar un $7$ con este par de dados es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Two dice appear to be standard dice with their faces numbered from $1$ to $6,$ but each die is weighted so that the probability of rolling the number $k$ is directly proportional to $k.$ The probability of rolling a $7$ with this pair of dice is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Como $1 + 2 + \cdots + 6 = 21,$ cada dado saca $k$ con probabilidad $\frac{k}{21}.$ Un total de $7$ surge de los pares $(k, 7-k)$ para $k = 1, \ldots, 6,$ así que su probabilidad es $\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63}. \end{aligned}$

Por lo tanto $m + n = 8 + 63 = 71.$

Since $1 + 2 + \cdots + 6 = 21,$ each die rolls $k$ with probability $\frac{k}{21}.$ A total of $7$ arises from the pairs $(k, 7-k)$ for $k = 1, \ldots, 6,$ so its probability is $\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63}. \end{aligned}$

Thus $m + n = 8 + 63 = 71.$

3.

Un icosaedro regular es un sólido de $20$ caras donde cada cara es un triángulo equilátero y cinco triángulos se encuentran en cada vértice. El icosaedro regular que se muestra abajo tiene un vértice en la parte superior, un vértice en la parte inferior, un pentágono superior de cinco vértices todos adyacentes al vértice superior y todos en el mismo plano horizontal, y un pentágono inferior de cinco vértices todos adyacentes al vértice inferior y todos en otro plano horizontal. Halla el número de trayectorias desde el vértice superior hasta el vértice inferior tales que cada parte de una trayectoria va hacia abajo u horizontalmente a lo largo de una arista del icosaedro, y ningún vértice se repite.

A regular icosahedron is a $20$ -faced solid where each face is an equilateral triangle and five triangles meet at every vertex. The regular icosahedron shown below has one vertex at the top, one vertex at the bottom, an upper pentagon of five vertices all adjacent to the top vertex and all in the same horizontal plane, and a lower pentagon of five vertices all adjacent to the bottom vertex and all in another horizontal plane. Find the number of paths from the top vertex to the bottom vertex such that each part of a path goes downward or horizontally along an edge of the icosahedron, and no vertex is repeated.

Respuesta

Conceptos:teoría de grafos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2230

Solución:

Cada vértice del pentágono superior es adyacente al vértice superior, a dos vecinos del pentágono superior y a dos vértices del pentágono inferior; cada vértice del pentágono inferior es adyacente a dos vértices superiores, a dos vecinos del pentágono inferior y al vértice inferior. Así, una trayectoria hacia abajo u horizontal sin vértice repetido debe descender al pentágono superior, rodear parte de él en una dirección, bajar al pentágono inferior, rodear parte de él en una dirección y terminar en el vértice inferior.

Hay $5$ opciones para el primer paso hacia abajo. En el pentágono superior la trayectoria puede dar $0, 1, 2, 3,$ o $4$ pasos horizontales, en cualquiera de dos direcciones (una inversión repetiría un vértice), lo que da $1 + 2 \cdot 4 = 9$ opciones. Luego hay $2$ aristas hacia abajo al pentágono inferior, de nuevo $9$ opciones horizontales allí, y $1$ último paso hacia abajo.

El total es $5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 = 810.$

Each vertex of the upper pentagon is adjacent to the top vertex, two upper-pentagon neighbors, and two vertices of the lower pentagon; each vertex of the lower pentagon is adjacent to two upper vertices, two lower-pentagon neighbors, and the bottom vertex. So a downward-or-horizontal path with no repeated vertex must descend to the upper pentagon, circle part of it in one direction, drop to the lower pentagon, circle part of it in one direction, and end at the bottom.

There are $5$ choices for the first step down. On the upper pentagon the path can take $0, 1, 2, 3,$ or $4$ horizontal steps, in either of two directions (a reversal would repeat a vertex), for $1 + 2 \cdot 4 = 9$ options. Then there are $2$ edges down to the lower pentagon, again $9$ horizontal options there, and $1$ final step down.

The total is $5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 = 810.$

4.

Un prisma recto de altura $h$ tiene bases que son hexágonos regulares con lados de longitud $12.$ Un vértice $A$ del prisma y sus tres vértices adyacentes son los vértices de una pirámide triangular. El ángulo diedro (el ángulo entre los dos planos) formado por la cara de la pirámide que está en una base del prisma y la cara de la pirámide que no contiene a $A$ mide $60^\circ.$ Halla $h^2.$

A right prism with height $h$ has bases that are regular hexagons with sides of length $12.$ A vertex $A$ of the prism and its three adjacent vertices are the vertices of a triangular pyramid. The dihedral angle (the angle between the two planes) formed by the face of the pyramid that lies in a base of the prism and the face of the pyramid that does not contain $A$ measures $60^\circ.$ Find $h^2.$

Respuesta

Conceptos:Geometría 3D polígono regular trigonometría

Nivel de dificultad: 2340

Solución:

Los tres vértices adyacentes a $A$ son sus dos vecinos $B$ y $C$ en la misma base hexagonal y el vértice $D$ directamente encima de $A,$ con $DA = h$ perpendicular a la base. La cara en la base es $ABC,$ y la cara que evita $A$ es $BCD;$ se encuentran a lo largo de $\overline{BC}.$

Sea $E$ el punto medio de $\overline{BC}.$ Como $AB = AC = 12$ y $\angle BAC = 120^\circ$ (el ángulo interior de un hexágono regular), $\overline{AE} \perp \overline{BC}$ y $AE = 12\cos 60^\circ = 6.$ Como $\overline{DA}$ es perpendicular a la base, $\overline{DE} \perp \overline{BC}$ también, así que el ángulo diedro es $\angle DEA = 60^\circ.$

En el triángulo rectángulo $DAE,$ $h = AE\tan 60^\circ = 6\sqrt{3},$ así que $h^2 = 108.$

The three vertices adjacent to $A$ are its two neighbors $B$ and $C$ in the same hexagonal base and the vertex $D$ directly above $A,$ with $DA = h$ perpendicular to the base. The face in the base is $ABC,$ and the face avoiding $A$ is $BCD;$ they meet along $\overline{BC}.$

Let $E$ be the midpoint of $\overline{BC}.$ Since $AB = AC = 12$ and $\angle BAC = 120^\circ$ (the interior angle of a regular hexagon), $\overline{AE} \perp \overline{BC}$ and $AE = 12\cos 60^\circ = 6.$ Because $\overline{DA}$ is perpendicular to the base, $\overline{DE} \perp \overline{BC}$ as well, so the dihedral angle is $\angle DEA = 60^\circ.$

In right triangle $DAE,$ $h = AE\tan 60^\circ = 6\sqrt{3},$ so $h^2 = 108.$

5.

Anh leyó un libro. El primer día leyó $n$ páginas en $t$ minutos, donde $n$ y $t$ son enteros positivos. El segundo día Anh leyó $n + 1$ páginas en $t + 1$ minutos. Cada día siguiente Anh leyó una página más que el día anterior, y le tomó un minuto más que el día anterior hasta que leyó por completo el libro de $374$ páginas. Le tomó un total de $319$ minutos leer el libro. Halla $n + t.$

Anh read a book. On the first day she read $n$ pages in $t$ minutes, where $n$ and $t$ are positive integers. On the second day Anh read $n + 1$ pages in $t + 1$ minutes. Each day thereafter Anh read one more page than she read on the previous day, and it took her one more minute than on the previous day until she completely read the $374$ page book. It took her a total of $319$ minutes to read the book. Find $n + t.$

Respuesta

Conceptos:sucesión aritmética máximo común divisor divisibilidad

Nivel de dificultad: 2430

Solución:

Supongamos que Anh terminó el día $k.$ Sumando las progresiones aritméticas de páginas y de minutos, $\frac{k(2n + k - 1)}{2} = 374$ y $\frac{k(2t + k - 1)}{2} = 319,$ así que $k(2n + k - 1) = 748$ y $k(2t + k - 1) = 638.$

Restando, $2k(n - t) = 110,$ así que $k(n - t) = 55.$ Por lo tanto $k$ divide tanto a $55$ como a $\gcd(748, 638) = 22,$ así que $k \mid 11.$ Como la historia abarca más de un día, $k = 11.$

Entonces $2n + 10 = \frac{748}{11} = 68$ da $n = 29,$ y $2t + 10 = \frac{638}{11} = 58$ da $t = 24.$ Por lo tanto $n + t = 29 + 24 = 53.$

Say Anh finished on day $k.$ Summing the arithmetic progressions of pages and of minutes, $\frac{k(2n + k - 1)}{2} = 374$ and $\frac{k(2t + k - 1)}{2} = 319,$ so $k(2n + k - 1) = 748$ and $k(2t + k - 1) = 638.$

Subtracting, $2k(n - t) = 110,$ so $k(n - t) = 55.$ Thus $k$ divides both $55$ and $\gcd(748, 638) = 22,$ so $k \mid 11.$ Since the story spans more than one day, $k = 11.$

Then $2n + 10 = \frac{748}{11} = 68$ gives $n = 29,$ and $2t + 10 = \frac{638}{11} = 58$ gives $t = 24.$ Hence $n + t = 29 + 24 = 53.$

6.

En $\triangle ABC$ sea $I$ el centro de la circunferencia inscrita, y sea la bisectriz de $\angle ACB$ que corta a $\overline{AB}$ en $L.$ La recta que pasa por $C$ y $L$ corta a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en los dos puntos $C$ y $D.$ Si $LI = 2$ y $LD = 3,$ entonces $IC = \frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

In $\triangle ABC$ let $I$ be the center of the inscribed circle, and let the bisector of $\angle ACB$ intersect $\overline{AB}$ at $L.$ The line through $C$ and $L$ intersects the circumscribed circle of $\triangle ABC$ at the two points $C$ and $D.$ If $LI = 2$ and $LD = 3,$ then $IC = \frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio persecución de ángulos semejanza

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

El incentro $I$ está sobre la bisectriz $\overline{CL},$ entre $C$ y $L.$ En el triángulo $ACI,$ el ángulo exterior en $I$ da $\angle DIA = \angle IAC + \angle ICA.$ Por otro lado, $\angle DAB = \angle DCB$ (ambos subtienden el arco $DB$ ) y $\angle DCB = \angle ICA$ (la bisectriz), así que $\begin{aligned} \angle DAI &= \angle DAB \\ &\quad {}+ \angle BAI \\ &= \angle ICA + \angle IAC \\ &= \angle DIA. \end{aligned}$ Por lo tanto el triángulo $DAI$ es isósceles con $DA = DI = DL + LI = 5.$

Los triángulos $DAL$ y $DCA$ tienen un ángulo común en $D,$ y $\angle DAL = \angle DAB = \angle DCB$ $= \angle DCA,$ así que son semejantes. Por lo tanto $\frac{DA}{DC} = \frac{DL}{DA},$ lo que da $DC = \frac{DA^2}{DL} = \frac{25}{3}.$

Finalmente $IC = DC - DI = \frac{25}{3} - 5 = \frac{10}{3},$ así que $p + q = 10 + 3 = 13.$

The incenter $I$ lies on the bisector $\overline{CL},$ between $C$ and $L.$ In triangle $ACI,$ the exterior angle at $I$ gives $\angle DIA = \angle IAC + \angle ICA.$ On the other hand, $\angle DAB = \angle DCB$ (both subtend arc $DB$ ) and $\angle DCB = \angle ICA$ (the bisector), so $\begin{aligned} \angle DAI &= \angle DAB \\ &\quad {}+ \angle BAI \\ &= \angle ICA + \angle IAC \\ &= \angle DIA. \end{aligned}$ Hence triangle $DAI$ is isosceles with $DA = DI = DL + LI = 5.$

Triangles $DAL$ and $DCA$ have a common angle at $D,$ and $\angle DAL = \angle DAB = \angle DCB$ $= \angle DCA,$ so they are similar. Therefore $\frac{DA}{DC} = \frac{DL}{DA},$ giving $DC = \frac{DA^2}{DL} = \frac{25}{3}.$

Finally $IC = DC - DI = \frac{25}{3} - 5 = \frac{10}{3},$ so $p + q = 10 + 3 = 13.$

7.

Para enteros $a$ y $b$ considera el número complejo $\frac{\sqrt{ab + 2016}}{ab + 100} - \left(\frac{\sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\right)i.$ Halla el número de pares ordenados de enteros $(a, b)$ tales que este número complejo sea un número real.

For integers $a$ and $b$ consider the complex number $\frac{\sqrt{ab + 2016}}{ab + 100} - \left(\frac{\sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\right)i.$ Find the number of ordered pairs of integers $(a, b)$ such that this complex number is a real number.

Respuesta

Conceptos:número complejo Truco de factorización favorito de Simon análisis por casos

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Si $ab + 2016 \ge 0,$ el primer término es real, así que el número es real exactamente cuando $\sqrt{|a + b|} = 0,$ es decir $b = -a.$ Entonces $ab + 2016 = 2016 - a^2 \ge 0$ obliga a $|a| \le 44,$ y el denominador $ab + 100 = 100 - a^2$ descarta $a = \pm 10.$ Eso da $89 - 2 = 87$ pares.

Si $ab + 2016 \lt 0,$ entonces $\sqrt{ab + 2016} = i\sqrt{-ab - 2016},$ así que el número completo es $\frac{\sqrt{-ab - 2016} - \sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\,i,$ que es real exactamente cuando $-ab - 2016 = |a + b|.$ Nota que $a + b = 0$ es imposible aquí ya que $a^2 = 2016$ no tiene solución entera. Para $a + b \gt 0$ la ecuación se convierte en $ab + a + b + 2016 = 0,$ es decir $(a + 1)(b + 1) = -2015,$ y para $a + b \lt 0$ se convierte en $(a - 1)(b - 1) = -2015.$

Como $2015 = 5 \cdot 13 \cdot 31$ tiene $8$ divisores positivos, $(a+1)(b+1) = -2015$ tiene $16$ soluciones enteras ordenadas, y $a + b \gt 0$ se cumple exactamente cuando el factor positivo es el mayor en valor absoluto: $8$ soluciones. Simétricamente, el otro caso da $8$ más. En todas ellas $ab + 100 = -1916 - |a + b| \ne 0.$ El total es $87 + 8 + 8 = 103.$

If $ab + 2016 \ge 0,$ the first term is real, so the number is real exactly when $\sqrt{|a + b|} = 0,$ that is $b = -a.$ Then $ab + 2016 = 2016 - a^2 \ge 0$ forces $|a| \le 44,$ and the denominator $ab + 100 = 100 - a^2$ rules out $a = \pm 10.$ That gives $89 - 2 = 87$ pairs.

If $ab + 2016 \lt 0,$ then $\sqrt{ab + 2016} = i\sqrt{-ab - 2016},$ so the whole number is $\frac{\sqrt{-ab - 2016} - \sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\,i,$ which is real exactly when $-ab - 2016 = |a + b|.$ Note $a + b = 0$ is impossible here since $a^2 = 2016$ has no integer solution. For $a + b \gt 0$ the equation becomes $ab + a + b + 2016 = 0,$ that is $(a + 1)(b + 1) = -2015,$ and for $a + b \lt 0$ it becomes $(a - 1)(b - 1) = -2015.$

Since $2015 = 5 \cdot 13 \cdot 31$ has $8$ positive divisors, $(a+1)(b+1) = -2015$ has $16$ ordered integer solutions, and $a + b \gt 0$ holds exactly when the positive factor is the larger in absolute value: $8$ solutions. Symmetrically the other case gives $8$ more. In all of these $ab + 100 = -1916 - |a + b| \ne 0.$ The total is $87 + 8 + 8 = 103.$

8.

Para una permutación $p = (a_1, a_2, \ldots, a_9)$ de los dígitos $1, 2, \ldots, 9,$ sea $s(p)$ la suma de los tres números de $3$ dígitos $a_1a_2a_3,$ $a_4a_5a_6,$ y $a_7a_8a_9.$ Sea $m$ el valor mínimo de $s(p)$ sujeto a la condición de que el dígito de las unidades de $s(p)$ sea $0.$ Sea $n$ el número de permutaciones $p$ con $s(p) = m.$ Halla $|m - n|.$

For a permutation $p = (a_1, a_2, \ldots, a_9)$ of the digits $1, 2, \ldots, 9,$ let $s(p)$ denote the sum of the three $3$ -digit numbers $a_1a_2a_3,$ $a_4a_5a_6,$ and $a_7a_8a_9.$ Let $m$ be the minimum value of $s(p)$ subject to the condition that the units digit of $s(p)$ is $0.$ Let $n$ denote the number of permutations $p$ with $s(p) = m.$ Find $|m - n|.$

Respuesta

Conceptos:valor posicional permutaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

Por valor posicional, $s(p) = 100(a_1 + a_4 + a_7)$ $+ 10(a_2 + a_5 + a_8)$ $+ (a_3 + a_6 + a_9),$ y los nueve dígitos suman $45.$ El dígito de las unidades de $s(p)$ es $0$ exactamente cuando $a_3 + a_6 + a_9 = 10$ o $20.$ Escribiendo $X = a_1 + a_4 + a_7,$ si la columna de unidades suma $10$ entonces $s(p) = 100X + 10(35 - X) + 10$ $= 90X + 360 \ge 900,$ mientras que si suma $20$ entonces $s(p) = 90X + 270$ $\ge 90 \cdot 6 + 270 = 810.$ Así que $m = 810,$ alcanzado exactamente cuando $\{a_1, a_4, a_7\} = \{1, 2, 3\}$ y los dígitos de las unidades suman $20.$

Los dígitos restantes $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ deben dividirse de modo que la terna de unidades sume $20:$ las posibilidades son $\{4, 7, 9\},$ $\{5, 6, 9\},$ y $\{5, 7, 8\}.$ Cada una de las $3$ divisiones permite $3! \cdot 3! \cdot 3! = 216$ disposiciones de las tres columnas, así que $n = 3 \cdot 216 = 648.$

Por lo tanto $|m - n| = |810 - 648| = 162.$

By place value, $s(p) = 100(a_1 + a_4 + a_7)$ $+ 10(a_2 + a_5 + a_8)$ $+ (a_3 + a_6 + a_9),$ and all nine digits sum to $45.$ The units digit of $s(p)$ is $0$ exactly when $a_3 + a_6 + a_9 = 10$ or $20.$ Writing $X = a_1 + a_4 + a_7,$ if the units column sums to $10$ then $s(p) = 100X + 10(35 - X) + 10$ $= 90X + 360 \ge 900,$ while if it sums to $20$ then $s(p) = 90X + 270$ $\ge 90 \cdot 6 + 270 = 810.$ So $m = 810,$ achieved exactly when $\{a_1, a_4, a_7\} = \{1, 2, 3\}$ and the units digits sum to $20.$

The remaining digits $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ must split so the units triple sums to $20:$ the possibilities are $\{4, 7, 9\},$ $\{5, 6, 9\},$ and $\{5, 7, 8\}.$ Each of the $3$ splits allows $3! \cdot 3! \cdot 3! = 216$ arrangements of the three columns, so $n = 3 \cdot 216 = 648.$

Therefore $|m - n| = |810 - 648| = 162.$

9.

El triángulo $ABC$ tiene $AB = 40,$ $AC = 31,$ y $\sin A = \frac{1}{5}.$ Este triángulo está inscrito en el rectángulo $AQRS$ con $B$ en $\overline{QR}$ y $C$ en $\overline{RS}.$ Halla el área máxima posible de $AQRS.$

Triangle $ABC$ has $AB = 40,$ $AC = 31,$ and $\sin A = \frac{1}{5}.$ This triangle is inscribed in rectangle $AQRS$ with $B$ on $\overline{QR}$ and $C$ on $\overline{RS}.$ Find the maximum possible area of $AQRS.$

Respuesta

Conceptos:identidad trigonométrica rectángulo optimización

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Sea $\beta = \angle BAQ$ y $\gamma = \angle CAS,$ de modo que $\beta + \gamma = 90^\circ - A.$ A partir de los triángulos rectángulos $AQB$ y $ASC,$ los lados del rectángulo son $AQ = 40\cos\beta$ y $AS = 31\cos\gamma,$ así que su área es $\begin{aligned} 40 \cdot 31 \cos\beta\cos\gamma \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \cos(\beta + \gamma)\bigr) \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \sin A\bigr), \end{aligned}$ usando la identidad de producto a suma y $\cos(90^\circ - A) = \sin A.$

Esto se maximiza cuando $\beta = \gamma,$ lo cual permite la restricción, dando un área de $620\left(1 + \frac{1}{5}\right) = 744.$

Let $\beta = \angle BAQ$ and $\gamma = \angle CAS,$ so $\beta + \gamma = 90^\circ - A.$ From the right triangles $AQB$ and $ASC,$ the sides of the rectangle are $AQ = 40\cos\beta$ and $AS = 31\cos\gamma,$ so its area is $\begin{aligned} 40 \cdot 31 \cos\beta\cos\gamma \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \cos(\beta + \gamma)\bigr) \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \sin A\bigr), \end{aligned}$ using the product-to-sum identity and $\cos(90^\circ - A) = \sin A.$

This is maximized when $\beta = \gamma,$ which the constraint allows, giving area $620\left(1 + \frac{1}{5}\right) = 744.$

10.

Una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ tiene la propiedad de que para todo entero positivo $k,$ la subsucesión $a_{2k-1},$ $a_{2k},$ $a_{2k+1}$ es geométrica y la subsucesión $a_{2k},$ $a_{2k+1},$ $a_{2k+2}$ es aritmética. Supongamos que $a_{13} = 2016.$ Halla $a_1.$

A strictly increasing sequence of positive integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ has the property that for every positive integer $k,$ the subsequence $a_{2k-1},$ $a_{2k},$ $a_{2k+1}$ is geometric and the subsequence $a_{2k},$ $a_{2k+1},$ $a_{2k+2}$ is arithmetic. Suppose that $a_{13} = 2016.$ Find $a_1.$

Respuesta

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética divisibilidad inducción

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Escribe la razón común de $a_1, a_2, a_3$ como $\frac{b}{a}$ en su forma más simple, con $b \gt a \ge 1$ ya que la sucesión crece. Como $a_3 = a_1 \left(\frac{b}{a}\right)^2$ es un entero y $\gcd(a, b) = 1,$ obtenemos $a^2 \mid a_1;$ sea $c = \frac{a_1}{a^2}.$ Entonces $a_1 = ca^2,$ $a_2 = cab,$ $a_3 = cb^2,$ y la condición aritmética da $a_4 = 2cb^2 - cab = cb(2b - a).$ Continuando, la inducción muestra para todo $k$ que $\begin{aligned} a_{2k+1} &= c\,\bigl(kb - (k-1)a\bigr)^2, \\ a_{2k+2} &= c\,\bigl(kb - (k-1)a\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl((k+1)b - ka\bigr). \end{aligned}$

En particular $a_{13} = c\,(6b - 5a)^2$ $= 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7.$ Sea $N = 6b - 5a;$ entonces $N^2 \mid 2016,$ así que $N \le 12.$ Pero $N = a + 6(b - a) \ge a + 6 \ge 7,$ y el único valor en el rango con $N^2 \mid 2016$ es $N = 12,$ lo que da $c = \frac{2016}{144} = 14.$ De $6(b - a) = 12 - a$ necesitamos $6 \mid a$ con $a \le 6,$ así que $a = 6$ y $b = 7,$ que son coprimos.

Por lo tanto $a_1 = ca^2 = 14 \cdot 36 = 504.$ (De hecho la sucesión comienza $504, 588, 686, 784, 896, \ldots$ y alcanza $a_{13} = 14 \cdot 12^2 = 2016.$ )

Write the common ratio of $a_1, a_2, a_3$ as $\frac{b}{a}$ in lowest terms, with $b \gt a \ge 1$ since the sequence increases. Because $a_3 = a_1 \left(\frac{b}{a}\right)^2$ is an integer and $\gcd(a, b) = 1,$ we get $a^2 \mid a_1;$ set $c = \frac{a_1}{a^2}.$ Then $a_1 = ca^2,$ $a_2 = cab,$ $a_3 = cb^2,$ and the arithmetic condition gives $a_4 = 2cb^2 - cab = cb(2b - a).$ Continuing, induction shows for every $k$ that $\begin{aligned} a_{2k+1} &= c\,\bigl(kb - (k-1)a\bigr)^2, \\ a_{2k+2} &= c\,\bigl(kb - (k-1)a\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl((k+1)b - ka\bigr). \end{aligned}$

In particular $a_{13} = c\,(6b - 5a)^2$ $= 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7.$ Let $N = 6b - 5a;$ then $N^2 \mid 2016,$ so $N \le 12.$ But $N = a + 6(b - a) \ge a + 6 \ge 7,$ and the only value in range with $N^2 \mid 2016$ is $N = 12,$ giving $c = \frac{2016}{144} = 14.$ From $6(b - a) = 12 - a$ we need $6 \mid a$ with $a \le 6,$ so $a = 6$ and $b = 7,$ which are coprime.

Therefore $a_1 = ca^2 = 14 \cdot 36 = 504.$ (Indeed the sequence begins $504, 588, 686, 784, 896, \ldots$ and reaches $a_{13} = 14 \cdot 12^2 = 2016.$ )

11.

Sea $P(x)$ un polinomio no nulo tal que $(x - 1)P(x + 1) = (x + 2)P(x)$ para todo real $x,$ y $\left(P(2)\right)^2 = P(3).$ Entonces $P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \tfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $P(x)$ be a nonzero polynomial such that $(x - 1)P(x + 1) = (x + 2)P(x)$ for every real $x,$ and $\left(P(2)\right)^2 = P(3).$ Then $P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \tfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:polinomio ecuación funcional sustitución

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Poniendo $x = 1$ en la identidad da $0 = 3P(1),$ así que $P(1) = 0.$ Poniendo $x = 0$ da $-P(1) = 2P(0),$ así que $P(0) = 0,$ y poniendo $x = -2$ da $-3P(-1) = 0,$ así que $P(-1) = 0.$ Por lo tanto $P(x) = x(x - 1)(x + 1)L(x)$ para algún polinomio $L.$

Sustituyendo de nuevo, $(x - 1)\,(x + 1)x(x + 2)L(x + 1)$ $= (x + 2)\,x(x - 1)(x + 1)L(x),$ así que $L(x + 1) = L(x)$ para todo real $x,$ lo cual obliga a que $L$ sea una constante $c.$ La normalización $\left(P(2)\right)^2 = P(3)$ queda $(6c)^2 = 24c,$ así que $c = \frac{2}{3}.$

Entonces $P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{105}{4},$ y $m + n = 105 + 4 = 109.$

Setting $x = 1$ in the identity gives $0 = 3P(1),$ so $P(1) = 0.$ Setting $x = 0$ gives $-P(1) = 2P(0),$ so $P(0) = 0,$ and setting $x = -2$ gives $-3P(-1) = 0,$ so $P(-1) = 0.$ Hence $P(x) = x(x - 1)(x + 1)L(x)$ for some polynomial $L.$

Substituting back, $(x - 1)\,(x + 1)x(x + 2)L(x + 1)$ $= (x + 2)\,x(x - 1)(x + 1)L(x),$ so $L(x + 1) = L(x)$ for all real $x,$ which forces $L$ to be a constant $c.$ The normalization $\left(P(2)\right)^2 = P(3)$ reads $(6c)^2 = 24c,$ so $c = \frac{2}{3}.$

Then $P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{105}{4},$ and $m + n = 105 + 4 = 109.$

12.

Halla el menor entero positivo $m$ tal que $m^2 - m + 11$ sea un producto de al menos cuatro primos no necesariamente distintos.

Find the least positive integer $m$ such that $m^2 - m + 11$ is a product of at least four not necessarily distinct primes.

Respuesta

Conceptos:factorización en primos aritmética modular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Sea $e(m) = m^2 - m + 11.$ Como $m^2 - m$ es siempre par, $e(m)$ es impar. Verificar todos los residuos muestra que $m^2 - m + 11$ tampoco es nunca $0$ módulo $3,$ $5,$ o $7,$ así que cada factor primo de $e(m)$ es al menos $11.$ Un producto de cuatro primos así es al menos $11^4 = 14641,$ y los dos candidatos más pequeños son $11^4$ y $11^3 \cdot 13 = 17303.$

Para $e(m) = 14641,$ el discriminante de $m^2 - m - 14630 = 0$ es $58521,$ que está estrictamente entre $241^2 = 58081$ y $242^2 = 58564,$ así que no hay solución entera. Para $e(m) = 17303:$ como $e(m) = m(m - 1) + 11$ debe ser divisible por $11,$ o bien $m = 11k$ o $m = 11k + 1.$ Probar $m = 11k$ da $11k^2 - k + 1 = 1573,$ es decir $k(11k - 1) = 1572,$ que $k = 12$ satisface: $12 \cdot 131 = 1572.$

Como $e$ es creciente para $m \ge 1,$ todo $m$ más pequeño tiene $e(m) \lt 17303,$ y el único valor de cuatro primos por debajo de eso, $11^4,$ es inalcanzable. Por lo tanto el menor $m$ es $11 \cdot 12 = 132,$ donde $e(132) = 17303 = 11^3 \cdot 13.$

Let $e(m) = m^2 - m + 11.$ Since $m^2 - m$ is always even, $e(m)$ is odd. Checking all residues shows $m^2 - m + 11$ is never $0$ modulo $3,$ $5,$ or $7$ either, so every prime factor of $e(m)$ is at least $11.$ A product of four such primes is at least $11^4 = 14641,$ and the two smallest candidates are $11^4$ and $11^3 \cdot 13 = 17303.$

For $e(m) = 14641,$ the discriminant of $m^2 - m - 14630 = 0$ is $58521,$ which lies strictly between $241^2 = 58081$ and $242^2 = 58564,$ so there is no integer solution. For $e(m) = 17303:$ since $e(m) = m(m - 1) + 11$ must be divisible by $11,$ either $m = 11k$ or $m = 11k + 1.$ Trying $m = 11k$ gives $11k^2 - k + 1 = 1573,$ that is $k(11k - 1) = 1572,$ which $k = 12$ satisfies: $12 \cdot 131 = 1572.$

Since $e$ is increasing for $m \ge 1,$ every smaller $m$ has $e(m) \lt 17303,$ and the only four-prime value below that, $11^4,$ is unattainable. Hence the least $m$ is $11 \cdot 12 = 132,$ where $e(132) = 17303 = 11^3 \cdot 13.$

13.

La rana Freddy salta por el plano coordenado buscando un río, que está en la recta horizontal $y = 24.$ Una cerca está ubicada en la recta horizontal $y = 0.$ En cada salto Freddy elige aleatoriamente una dirección paralela a uno de los ejes coordenados y se mueve una unidad en esa dirección. Cuando está en un punto donde $y = 0,$ con iguales probabilidades elige una de tres direcciones en las que salta paralelo a la cerca o salta alejándose de la cerca, pero nunca elige la dirección que lo haría cruzar la cerca hacia donde $y \lt 0.$ Freddy comienza su búsqueda en el punto $(0, 21)$ y se detendrá al llegar a un punto del río. Halla el número esperado de saltos que le tomará a Freddy llegar al río.

Freddy the frog is jumping around the coordinate plane searching for a river, which lies on the horizontal line $y = 24.$ A fence is located at the horizontal line $y = 0.$ On each jump Freddy randomly chooses a direction parallel to one of the coordinate axes and moves one unit in that direction. When he is at a point where $y = 0,$ with equal likelihoods he chooses one of three directions where he either jumps parallel to the fence or jumps away from the fence, but he never chooses the direction that would have him cross over the fence to where $y \lt 0.$ Freddy starts his search at the point $(0, 21)$ and will stop once he reaches a point on the river. Find the expected number of jumps it will take Freddy to reach the river.

Respuesta

Conceptos:valor esperado camino aleatorio recursión

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Los saltos horizontales no cambian nada relevante, así que sea $T(y)$ el número esperado de saltos para llegar al río desde la altura $y.$ Entonces $T(24) = 0;$ para $1 \le y \le 23$ cada salto va hacia arriba, hacia abajo o de lado con probabilidades $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2},$ así que $\begin{aligned} T(y) &= 1 + \tfrac{1}{4}T(y + 1) \\ &\quad {}+ \tfrac{1}{4}T(y - 1) \\ &\quad {}+ \tfrac{1}{2}T(y), \end{aligned}$ lo cual se simplifica a $2T(y) = 4 + T(y - 1)$ $+ T(y + 1).$ En la cerca los tres movimientos igualmente probables dan $T(0) = 1 + \frac{2}{3}T(0) + \frac{1}{3}T(1),$ es decir $T(0) = 3 + T(1).$

Sumar $2T(y) = 4 + T(y - 1)$ $+ T(y + 1)$ sobre $y = 1, \ldots, 23$ telescopa a $T(1) + T(23) = 92 + T(0)$ $+ T(24).$ Sustituir $T(0) = 3 + T(1)$ y $T(24) = 0$ da $T(23) = 95.$

Ahora ejecuta la recurrencia hacia abajo como $T(y - 1) = 2T(y) - T(y + 1)$ $- 4:$ desde $T(24) = 0$ y $T(23) = 95,$ obtenemos $T(22) = 2 \cdot 95 - 0 - 4 = 186$ y $T(21) = 2 \cdot 186 - 95 - 4 = 273.$ Freddy comienza en la altura $21,$ así que la respuesta es $273.$

Horizontal jumps change nothing that matters, so let $T(y)$ be the expected number of jumps to reach the river from height $y.$ Then $T(24) = 0;$ for $1 \le y \le 23$ each jump goes up, down, or sideways with probabilities $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2},$ so $\begin{aligned} T(y) &= 1 + \tfrac{1}{4}T(y + 1) \\ &\quad {}+ \tfrac{1}{4}T(y - 1) \\ &\quad {}+ \tfrac{1}{2}T(y), \end{aligned}$ which simplifies to $2T(y) = 4 + T(y - 1)$ $+ T(y + 1).$ At the fence the three equally likely moves give $T(0) = 1 + \frac{2}{3}T(0) + \frac{1}{3}T(1),$ that is $T(0) = 3 + T(1).$

Summing $2T(y) = 4 + T(y - 1)$ $+ T(y + 1)$ over $y = 1, \ldots, 23$ telescopes to $T(1) + T(23) = 92 + T(0)$ $+ T(24).$ Substituting $T(0) = 3 + T(1)$ and $T(24) = 0$ yields $T(23) = 95.$

Now run the recurrence downward as $T(y - 1) = 2T(y) - T(y + 1)$ $- 4:$ from $T(24) = 0$ and $T(23) = 95,$ we get $T(22) = 2 \cdot 95 - 0 - 4 = 186$ and $T(21) = 2 \cdot 186 - 95 - 4 = 273.$ Freddy starts at height $21,$ so the answer is $273.$

14.

Centrados en cada punto reticular del plano coordenado hay una circunferencia de radio $\frac{1}{10}$ y un cuadrado con lados de longitud $\frac{1}{5}$ cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. El segmento de recta desde $(0, 0)$ hasta $(1001, 429)$ corta $m$ de los cuadrados y $n$ de las circunferencias. Halla $m + n.$

Centered at each lattice point in the coordinate plane are a circle radius $\frac{1}{10}$ and a square with sides of length $\frac{1}{5}$ whose sides are parallel to the coordinate axes. The line segment from $(0, 0)$ to $(1001, 429)$ intersects $m$ of the squares and $n$ of the circles. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:punto reticular máximo común divisor fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Como $\gcd(1001, 429) = 143,$ el segmento pasa por los puntos reticulares $(7k, 3k)$ para $k = 0, \ldots, 143$ y consta de $143$ copias trasladadas del segmento desde $(0, 0)$ hasta $(7, 3).$ La recta es $y = \frac{3}{7}x.$ Corta el cuadrado centrado en $(m, n)$ exactamente cuando su altura pasa a menos de $\frac{1}{10}$ de $n$ para algún $x$ a menos de $\frac{1}{10}$ de $m,$ es decir cuando $\left|\frac{3m}{7} - n\right| \le \frac{1}{10} + \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{7},$ o equivalentemente $|3m - 7n| \le 1.$

Para $0 \le m \le 7$ las soluciones son $(0, 0)$ y $(7, 3)$ con $3m - 7n = 0,$ y $(2, 1)$ y $(5, 2)$ con $3m - 7n = \mp 1.$ En las dos primeras la recta pasa por el centro, así que también corta la circunferencia. En las otras dos, la igualdad significa que la recta pasa exactamente por una esquina del cuadrado (para $(2, 1),$ la esquina $(2.1, 0.9)$ ), mientras que su distancia al centro es $\frac{1}{\sqrt{3^2 + 7^2}} = \frac{1}{\sqrt{58}} \gt \frac{1}{10},$ así que no toca la circunferencia. Por lo tanto cada copia del segmento corta $4$ cuadrados y $2$ circunferencias.

Los $142$ puntos reticulares interiores $(7k, 3k)$ son compartidos cada uno por dos copias consecutivas, así que $m = 4 \cdot 143 - 142 = 430$ y $n = 2 \cdot 143 - 142 = 144,$ lo que da $m + n = 574.$

Since $\gcd(1001, 429) = 143,$ the segment passes through the lattice points $(7k, 3k)$ for $k = 0, \ldots, 143$ and consists of $143$ translated copies of the segment from $(0, 0)$ to $(7, 3).$ The line is $y = \frac{3}{7}x.$ It meets the square centered at $(m, n)$ exactly when its height passes within $\frac{1}{10}$ of $n$ for some $x$ within $\frac{1}{10}$ of $m,$ that is when $\left|\frac{3m}{7} - n\right| \le \frac{1}{10} + \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{7},$ or equivalently $|3m - 7n| \le 1.$

For $0 \le m \le 7$ the solutions are $(0, 0)$ and $(7, 3)$ with $3m - 7n = 0,$ and $(2, 1)$ and $(5, 2)$ with $3m - 7n = \mp 1.$ In the first two the line passes through the center, so it meets the circle as well. In the other two, equality means the line passes exactly through a corner of the square (for $(2, 1),$ the corner $(2.1, 0.9)$ ), while its distance to the center is $\frac{1}{\sqrt{3^2 + 7^2}} = \frac{1}{\sqrt{58}} \gt \frac{1}{10},$ so it misses the circle. Thus each copy of the segment meets $4$ squares and $2$ circles.

The $142$ interior lattice points $(7k, 3k)$ are each shared by two consecutive copies, so $m = 4 \cdot 143 - 142 = 430$ and $n = 2 \cdot 143 - 142 = 144,$ giving $m + n = 574.$

15.

Las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en los puntos $X$ y $Y.$ La recta $\ell$ es tangente a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $A$ y $B,$ respectivamente, con la recta $AB$ más cerca del punto $X$ que de $Y.$ La circunferencia $\omega$ pasa por $A$ y $B$ cortando a $\omega_1$ de nuevo en $D \ne A$ y cortando a $\omega_2$ de nuevo en $C \ne B.$ Los tres puntos $C,$ $Y,$ $D$ son colineales, $XC = 67,$ $XY = 47,$ y $XD = 37.$ Halla $AB^2.$

Circles $\omega_1$ and $\omega_2$ intersect at points $X$ and $Y.$ Line $\ell$ is tangent to $\omega_1$ and $\omega_2$ at $A$ and $B,$ respectively, with line $AB$ closer to point $X$ than to $Y.$ Circle $\omega$ passes through $A$ and $B$ intersecting $\omega_1$ again at $D \ne A$ and intersecting $\omega_2$ again at $C \ne B.$ The three points $C,$ $Y,$ $D$ are collinear, $XC = 67,$ $XY = 47,$ and $XD = 37.$ Find $AB^2.$

Respuesta

Conceptos:eje radical potencia de un punto persecución de ángulos semejanza

Nivel de dificultad: 3700

Solución:

La recta $AD$ es el eje radical de $\omega$ y $\omega_1,$ la recta $BC$ el de $\omega$ y $\omega_2,$ y la recta $XY$ el de $\omega_1$ y $\omega_2,$ así que las tres rectas se encuentran en el centro radical $Z.$ (No pueden ser paralelas: eso obligaría a una configuración simétrica con $XC = XD.$ ) Sea $M = XY \cap AB.$ La potencia de $M$ respecto a cada circunferencia da $MA^2 = MX \cdot MY = MB^2,$ así que $M$ es el punto medio de $\overline{AB},$ con $X$ entre $M$ y $Y.$

Como $ADYX$ es cíclico, $\angle XAZ = \angle XYD,$ y como $BCYX$ es cíclico, $\angle XBZ = \angle XYC;$ al ser $C,$ $Y,$ $D$ colineales estos suman $180^\circ,$ así que $ZAXB$ es cíclico. El ángulo tangente-cuerda en $B$ da $\angle XYB = \angle ABX = \angle AZX,$ así que $BY \parallel ZA,$ y simétricamente $AY \parallel ZB.$ Por lo tanto $AYBZ$ es un paralelogramo, y como $M$ es el punto medio de la diagonal $\overline{AB},$ también es el punto medio de $\overline{ZY}:$ por lo tanto $XZ = XM + MZ$ $= MX + MY.$ Además $\angle XCZ = \angle XYB = \angle XZD$ y (por el ángulo tangente-cuerda en $A$ ) $\angle XZC = \angle XAB = \angle XYA$ $= \angle XDZ,$ así que los triángulos $XZC$ y $XDZ$ son semejantes, dando $XZ^2 = XC \cdot XD.$

Juntando todo, $\begin{aligned} AB^2 &= 4MA^2 = 4\,MX \cdot MY \\ &= (MX + MY)^2 \\ &\quad {}- (MY - MX)^2 \\ &= XZ^2 - XY^2 \\ &= XC \cdot XD - XY^2, \end{aligned}$ lo cual es igual a $67 \cdot 37 - 47^2 = 2479 - 2209$ $= 270.$

Line $AD$ is the radical axis of $\omega$ and $\omega_1,$ line $BC$ that of $\omega$ and $\omega_2,$ and line $XY$ that of $\omega_1$ and $\omega_2,$ so the three lines meet at the radical center $Z.$ (They cannot be parallel: that would force a symmetric configuration with $XC = XD.$ ) Let $M = XY \cap AB.$ The power of $M$ with respect to each circle gives $MA^2 = MX \cdot MY = MB^2,$ so $M$ is the midpoint of $\overline{AB},$ with $X$ between $M$ and $Y.$

Since $ADYX$ is cyclic, $\angle XAZ = \angle XYD,$ and since $BCYX$ is cyclic, $\angle XBZ = \angle XYC;$ as $C,$ $Y,$ $D$ are collinear these add to $180^\circ,$ so $ZAXB$ is cyclic. The tangent-chord angle at $B$ gives $\angle XYB = \angle ABX = \angle AZX,$ so $BY \parallel ZA,$ and symmetrically $AY \parallel ZB.$ Hence $AYBZ$ is a parallelogram, and since $M$ is the midpoint of diagonal $\overline{AB},$ it is also the midpoint of $\overline{ZY}:$ therefore $XZ = XM + MZ$ $= MX + MY.$ Moreover $\angle XCZ = \angle XYB = \angle XZD$ and (by the tangent-chord angle at $A$ ) $\angle XZC = \angle XAB = \angle XYA$ $= \angle XDZ,$ so triangles $XZC$ and $XDZ$ are similar, giving $XZ^2 = XC \cdot XD.$

Putting it together, $\begin{aligned} AB^2 &= 4MA^2 = 4\,MX \cdot MY \\ &= (MX + MY)^2 \\ &\quad {}- (MY - MX)^2 \\ &= XZ^2 - XY^2 \\ &= XC \cdot XD - XY^2, \end{aligned}$ which equals $67 \cdot 37 - 47^2 = 2479 - 2209$ $= 270.$