2016 AIME I — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Para

-1 \lt r \lt 1,

sea

S(r)

la suma de la serie geométrica

12 + 12r + 12r^2 + 12r^3 + \cdots.

Sea

a

entre

-1

y

1

que satisface

S(a)S(-a) = 2016.

Halla

S(a) + S(-a).

For

-1 \lt r \lt 1,

let

S(r)

denote the sum of the geometric series

12 + 12r + 12r^2 + 12r^3 + \cdots.

Let

a

between

-1

and

1

satisfy

S(a)S(-a) = 2016.

Find

S(a) + S(-a).

Respuesta

Respuesta: 336

Conceptos:sucesión geométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Cada serie es geométrica:

S(r) = \frac{12}{1 - r}

Each series is geometric:

S(r) = \frac{12}{1 - r}

Pista grande:

Tanto

S(a)S(-a)

como

S(a) + S(-a)

dependen solo de

1 - a^2,

así que nunca necesitas hallar

a

Both

S(a)S(-a)

and

S(a) + S(-a)

depend only on

1 - a^2,

so you never need to find

a

Solución:

La serie geométrica suma

S(r) = \frac{12}{1 - r}.

Por lo tanto

\begin{aligned} S(a)S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \cdot \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{144}{1 - a^2} = 2016, \end{aligned}

así que

\frac{1}{1 - a^2} = 14.

Sumando las dos sumas sobre un común denominador,

\begin{aligned} S(a) + S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \\ &\quad {}+ \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{24}{1 - a^2} \\ &= 24 \cdot 14 = 336. \end{aligned}

The geometric series sums to

S(r) = \frac{12}{1 - r}.

Therefore

\begin{aligned} S(a)S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \cdot \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{144}{1 - a^2} = 2016, \end{aligned}

so

\frac{1}{1 - a^2} = 14.

Adding the two sums over a common denominator,

\begin{aligned} S(a) + S(-a) &= \frac{12}{1 - a} \\ &\quad {}+ \frac{12}{1 + a} \\ &= \frac{24}{1 - a^2} \\ &= 24 \cdot 14 = 336. \end{aligned}

2.

Dos dados parecen ser dados estándar con sus caras numeradas del

1

al

6,

pero cada dado está sesgado de modo que la probabilidad de sacar el número

k

es directamente proporcional a

k.

La probabilidad de sacar un

7

con este par de dados es

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

Two dice appear to be standard dice with their faces numbered from

1

to

6,

but each die is weighted so that the probability of rolling the number

k

is directly proportional to

k.

The probability of rolling a

7

with this pair of dice is

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 71

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

En cada dado la probabilidad de sacar

k

es

\frac{k}{21},

ya que

1 + 2 + \cdots + 6 = 21

On each die the probability of rolling

k

is

\frac{k}{21},

since

1 + 2 + \cdots + 6 = 21

Pista grande:

La probabilidad de un total de

7

es

\sum_{k=1}^{6} \frac{k}{21} \cdot \frac{7 - k}{21}

The probability of a total of

7

is

\sum_{k=1}^{6} \frac{k}{21} \cdot \frac{7 - k}{21}

Solución:

Como

1 + 2 + \cdots + 6 = 21,

cada dado saca

k

con probabilidad

\frac{k}{21}.

Un total de

7

surge de los pares

(k, 7-k)

para

k = 1, \ldots, 6,

así que su probabilidad es

\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63}. \end{aligned}

Por lo tanto

m + n = 8 + 63 = 71.

Since

1 + 2 + \cdots + 6 = 21,

each die rolls

k

with probability

\frac{k}{21}.

A total of

7

arises from the pairs

(k, 7-k)

for

k = 1, \ldots, 6,

so its probability is

\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63}. \end{aligned}

Thus

m + n = 8 + 63 = 71.

3.

Un icosaedro regular es un sólido de

20

caras donde cada cara es un triángulo equilátero y cinco triángulos se encuentran en cada vértice. El icosaedro regular que se muestra abajo tiene un vértice en la parte superior, un vértice en la parte inferior, un pentágono superior de cinco vértices todos adyacentes al vértice superior y todos en el mismo plano horizontal, y un pentágono inferior de cinco vértices todos adyacentes al vértice inferior y todos en otro plano horizontal. Halla el número de trayectorias desde el vértice superior hasta el vértice inferior tales que cada parte de una trayectoria va hacia abajo u horizontalmente a lo largo de una arista del icosaedro, y ningún vértice se repite.

A regular icosahedron is a

20

-faced solid where each face is an equilateral triangle and five triangles meet at every vertex. The regular icosahedron shown below has one vertex at the top, one vertex at the bottom, an upper pentagon of five vertices all adjacent to the top vertex and all in the same horizontal plane, and a lower pentagon of five vertices all adjacent to the bottom vertex and all in another horizontal plane. Find the number of paths from the top vertex to the bottom vertex such that each part of a path goes downward or horizontally along an edge of the icosahedron, and no vertex is repeated.

Respuesta

Respuesta: 810

Conceptos:teoría de grafos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Cada trayectoria va: vértice superior, alrededor del pentágono superior, abajo, alrededor del pentágono inferior, abajo. Cuenta cada etapa por separado.

Every path goes: top vertex, around the upper pentagon, down, around the lower pentagon, down. Count each stage separately.

Pista grande:

Alrededor de un pentágono hay

9

recorridos (

0

a

4

pasos, en sentido horario o antihorario), y cada vértice superior tiene

2

aristas hacia abajo al pentágono inferior

Around a pentagon there are

9

routes (

0

to

4

steps, clockwise or counterclockwise), and each upper vertex has

2

downward edges to the lower pentagon

Solución:

Cada vértice del pentágono superior es adyacente al vértice superior, a dos vecinos del pentágono superior y a dos vértices del pentágono inferior; cada vértice del pentágono inferior es adyacente a dos vértices superiores, a dos vecinos del pentágono inferior y al vértice inferior. Así, una trayectoria hacia abajo u horizontal sin vértice repetido debe descender al pentágono superior, rodear parte de él en una dirección, bajar al pentágono inferior, rodear parte de él en una dirección y terminar en el vértice inferior.

Hay

5

opciones para el primer paso hacia abajo. En el pentágono superior la trayectoria puede dar

0,

1,

2,

3,

o

4

pasos horizontales, en cualquiera de dos direcciones (una inversión repetiría un vértice), lo que da

1 + 2 \cdot 4 = 9

opciones. Luego hay

2

aristas hacia abajo al pentágono inferior, de nuevo

9

opciones horizontales allí, y

1

último paso hacia abajo.

El total es

5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 = 810.

Each vertex of the upper pentagon is adjacent to the top vertex, two upper-pentagon neighbors, and two vertices of the lower pentagon; each vertex of the lower pentagon is adjacent to two upper vertices, two lower-pentagon neighbors, and the bottom vertex. So a downward-or-horizontal path with no repeated vertex must descend to the upper pentagon, circle part of it in one direction, drop to the lower pentagon, circle part of it in one direction, and end at the bottom.

There are

5

choices for the first step down. On the upper pentagon the path can take

0,

1,

2,

3,

or

4

horizontal steps, in either of two directions (a reversal would repeat a vertex), for

1 + 2 \cdot 4 = 9

options. Then there are

2

edges down to the lower pentagon, again

9

horizontal options there, and

1

final step down.

The total is

5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 = 810.

4.

Un prisma recto de altura

h

tiene bases que son hexágonos regulares con lados de longitud

12.

Un vértice

A

del prisma y sus tres vértices adyacentes son los vértices de una pirámide triangular. El ángulo diedro (el ángulo entre los dos planos) formado por la cara de la pirámide que está en una base del prisma y la cara de la pirámide que no contiene a

A

mide

60^\circ.

Halla

h^2.

A right prism with height

h

has bases that are regular hexagons with sides of length

12.

A vertex

A

of the prism and its three adjacent vertices are the vertices of a triangular pyramid. The dihedral angle (the angle between the two planes) formed by the face of the pyramid that lies in a base of the prism and the face of the pyramid that does not contain

A

measures

60^\circ.

Find

h^2.

Respuesta

Respuesta: 108

Conceptos:Geometría 3D polígono regular trigonometría

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

La pirámide usa

A,

sus dos vecinos en la base

B

y

C,

y el vértice

D

directamente encima de

A;

el ángulo diedro se ubica a lo largo de

\overline{BC}

The pyramid uses

A,

its two base neighbors

B

and

C,

and the vertex

D

directly above

A;

the dihedral angle sits along

\overline{BC}

Pista grande:

Si

E

es el punto medio de

\overline{BC},

el ángulo diedro es

\angle DEA;

usa

\angle BAC = 120^\circ

para hallar

AE

If

E

is the midpoint of

\overline{BC},

the dihedral angle is

\angle DEA;

use

\angle BAC = 120^\circ

to find

AE

Solución:

Los tres vértices adyacentes a

A

son sus dos vecinos

B

y

C

en la misma base hexagonal y el vértice

D

directamente encima de

A,

con

DA = h

perpendicular a la base. La cara en la base es

ABC,

y la cara que evita

A

es

BCD;

se encuentran a lo largo de

\overline{BC}.

Sea

E

el punto medio de

\overline{BC}.

Como

AB = AC = 12

y

\angle BAC = 120^\circ

(el ángulo interior de un hexágono regular),

\overline{AE} \perp \overline{BC}

y

AE = 12\cos 60^\circ = 6.

Como

\overline{DA}

es perpendicular a la base,

\overline{DE} \perp \overline{BC}

también, así que el ángulo diedro es

\angle DEA = 60^\circ.

En el triángulo rectángulo

DAE,

h = AE\tan 60^\circ = 6\sqrt{3},

así que

h^2 = 108.

The three vertices adjacent to

A

are its two neighbors

B

and

C

in the same hexagonal base and the vertex

D

directly above

A,

with

DA = h

perpendicular to the base. The face in the base is

ABC,

and the face avoiding

A

is

BCD;

they meet along

\overline{BC}.

Let

E

be the midpoint of

\overline{BC}.

Since

AB = AC = 12

and

\angle BAC = 120^\circ

(the interior angle of a regular hexagon),

\overline{AE} \perp \overline{BC}

and

AE = 12\cos 60^\circ = 6.

Because

\overline{DA}

is perpendicular to the base,

\overline{DE} \perp \overline{BC}

as well, so the dihedral angle is

\angle DEA = 60^\circ.

In right triangle

DAE,

h = AE\tan 60^\circ = 6\sqrt{3},

so

h^2 = 108.

5.

Anh leyó un libro. El primer día leyó

n

páginas en

t

minutos, donde

n

y

t

son enteros positivos. El segundo día Anh leyó

n + 1

páginas en

t + 1

minutos. Cada día siguiente Anh leyó una página más que el día anterior, y le tomó un minuto más que el día anterior hasta que leyó por completo el libro de

374

páginas. Le tomó un total de

319

minutos leer el libro. Halla

n + t.

Anh read a book. On the first day she read

n

pages in

t

minutes, where

n

and

t

are positive integers. On the second day Anh read

n + 1

pages in

t + 1

minutes. Each day thereafter Anh read one more page than she read on the previous day, and it took her one more minute than on the previous day until she completely read the

374

page book. It took her a total of

319

minutes to read the book. Find

n + t.

Respuesta

Respuesta: 53

Conceptos:sucesión aritmética máximo común divisor divisibilidad

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Si terminó en

k

días, las series aritméticas dan

k(2n + k - 1) = 748

y

k(2t + k - 1) = 638

If she finished in

k

days, arithmetic series give

k(2n + k - 1) = 748

and

k(2t + k - 1) = 638

Pista grande:

Restar da

k(n - t) = 55,

y

k

también divide a

\gcd(748, 638) = 22

Subtracting gives

k(n - t) = 55,

and

k

also divides

\gcd(748, 638) = 22

Solución:

Supongamos que Anh terminó el día

k.

Sumando las progresiones aritméticas de páginas y de minutos,

\frac{k(2n + k - 1)}{2} = 374

y

\frac{k(2t + k - 1)}{2} = 319,

así que

k(2n + k - 1) = 748

y

k(2t + k - 1) = 638.

Restando,

2k(n - t) = 110,

así que

k(n - t) = 55.

Por lo tanto

k

divide tanto a

55

como a

\gcd(748, 638) = 22,

así que

k

divide a

11.

Como la historia abarca más de un día,

k = 11.

Entonces

2n + 10 = \frac{748}{11} = 68

da

n = 29,

y

2t + 10 = \frac{638}{11} = 58

da

t = 24.

Por lo tanto

n + t = 29 + 24 = 53.

Say Anh finished on day

k.

Summing the arithmetic progressions of pages and of minutes,

\frac{k(2n + k - 1)}{2} = 374

and

\frac{k(2t + k - 1)}{2} = 319,

so

k(2n + k - 1) = 748

and

k(2t + k - 1) = 638.

Subtracting,

2k(n - t) = 110,

so

k(n - t) = 55.

Thus

k

divides both

55

and

\gcd(748, 638) = 22,

so

k

divides

11.

Since the story spans more than one day,

k = 11.

Then

2n + 10 = \frac{748}{11} = 68

gives

n = 29,

and

2t + 10 = \frac{638}{11} = 58

gives

t = 24.

Hence

n + t = 29 + 24 = 53.

6.

En

\triangle ABC

sea

I

el centro de la circunferencia inscrita, y considérese la bisectriz de

\angle ACB

que corta a

\overline{AB}

en

L.

La recta que pasa por

C

y

L

corta a la circunferencia circunscrita de

\triangle ABC

en los dos puntos

C

y

D.

Si

LI = 2

y

LD = 3,

entonces

IC = \frac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. Halla

p + q.

In

\triangle ABC

let

I

be the center of the inscribed circle, and let the bisector of

\angle ACB

intersect

\overline{AB}

at

L.

The line through

C

and

L

intersects the circumscribed circle of

\triangle ABC

at the two points

C

and

D.

If

LI = 2

and

LD = 3,

then

IC = \frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. Find

p + q.

Respuesta

Respuesta: 13

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio persecución de ángulos semejanza

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Muestra

\angle DAI = \angle DIA

mediante persecución de ángulos, así que

DA = DI = 5

Show

\angle DAI = \angle DIA

by angle chasing, so

DA = DI = 5

Pista grande:

Los triángulos

DAL

y

DCA

comparten el ángulo

D

y tienen

\angle DAL = \angle DCA,

así que

DC = \frac{DA^2}{DL}

Triangles

DAL

and

DCA

share angle

D

and have

\angle DAL = \angle DCA,

so

DC = \frac{DA^2}{DL}

Solución:

El incentro

I

está sobre la bisectriz

\overline{CL},

entre

C

y

L.

En el triángulo

ACI,

el ángulo exterior en

I

da

\angle DIA = \angle IAC + \angle ICA.

Por otro lado,

\angle DAB = \angle DCB

(ambos subtienden el arco

DB

) y

\angle DCB = \angle ICA

(la bisectriz), así que

\begin{aligned} \angle DAI &= \angle DAB \\ &\quad {}+ \angle BAI \\ &= \angle ICA + \angle IAC \\ &= \angle DIA. \end{aligned}

Por lo tanto el triángulo

DAI

es isósceles con

DA = DI = DL + LI = 5.

Los triángulos

DAL

y

DCA

tienen un ángulo común en

D,

y

\angle DAL = \angle DAB = \angle DCB

= \angle DCA,

así que son semejantes. Por lo tanto

\frac{DA}{DC} = \frac{DL}{DA},

lo que da

DC = \frac{DA^2}{DL} = \frac{25}{3}.

Finalmente

IC = DC - DI = \frac{25}{3} - 5 = \frac{10}{3},

así que

p + q = 10 + 3 = 13.

The incenter

I

lies on the bisector

\overline{CL},

between

C

and

L.

In triangle

ACI,

the exterior angle at

I

gives

\angle DIA = \angle IAC + \angle ICA.

On the other hand,

\angle DAB = \angle DCB

(both subtend arc

DB

) and

\angle DCB = \angle ICA

(the bisector), so

\begin{aligned} \angle DAI &= \angle DAB \\ &\quad {}+ \angle BAI \\ &= \angle ICA + \angle IAC \\ &= \angle DIA. \end{aligned}

Hence triangle

DAI

is isosceles with

DA = DI = DL + LI = 5.

Triangles

DAL

and

DCA

have a common angle at

D,

and

\angle DAL = \angle DAB = \angle DCB

= \angle DCA,

so they are similar. Therefore

\frac{DA}{DC} = \frac{DL}{DA},

giving

DC = \frac{DA^2}{DL} = \frac{25}{3}.

Finally

IC = DC - DI = \frac{25}{3} - 5 = \frac{10}{3},

so

p + q = 10 + 3 = 13.

7.

Para enteros

a

y

b

considera el número complejo

\frac{\sqrt{ab + 2016}}{ab + 100} - \left(\frac{\sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\right)i.

Halla el número de pares ordenados de enteros

(a, b)

tales que este número complejo sea un número real.

For integers

a

and

b

consider the complex number

\frac{\sqrt{ab + 2016}}{ab + 100} - \left(\frac{\sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\right)i.

Find the number of ordered pairs of integers

(a, b)

such that this complex number is a real number.

Respuesta

Respuesta: 103

Conceptos:número complejo Truco de factorización favorito de Simon análisis por casos

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Si

ab + 2016 \ge 0,

el número es real exactamente cuando

b = -a;

atiende al rango de

a

y al denominador

If

ab + 2016 \ge 0,

the number is real exactly when

b = -a;

watch the range of

a

and the denominator

Pista grande:

Si

ab + 2016 \lt 0,

ambos términos son imaginarios y deben cancelarse:

-ab - 2016 = |a + b|.

Factoriza como

(a \pm 1)(b \pm 1) = -2015.

If

ab + 2016 \lt 0,

both terms are imaginary and must cancel:

-ab - 2016 = |a + b|.

Factor as

(a \pm 1)(b \pm 1) = -2015.

Solución:

Si

ab + 2016 \ge 0,

el primer término es real, así que el número es real exactamente cuando

\sqrt{|a + b|} = 0,

es decir

b = -a.

Entonces

ab + 2016 = 2016 - a^2 \ge 0

obliga a

|a| \le 44,

y el denominador

ab + 100 = 100 - a^2

descarta

a = \pm 10.

Eso da

89 - 2 = 87

pares.

Si

ab + 2016 \lt 0,

entonces

\sqrt{ab + 2016} = i\sqrt{-ab - 2016},

así que el número dado es

\frac{\sqrt{-ab - 2016} - \sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\,i,

que es real exactamente cuando

-ab - 2016 = |a + b|.

Nota que

a + b = 0

es imposible aquí ya que

a^2 = 2016

no tiene solución entera. Para

a + b \gt 0

la ecuación se convierte en

ab + a + b + 2016 = 0,

es decir

(a + 1)(b + 1) = -2015,

y para

a + b \lt 0

se convierte en

(a - 1)(b - 1) = -2015.

Como

2015 = 5 \cdot 13 \cdot 31

tiene

8

divisores positivos,

(a+1)(b+1) = -2015

tiene

16

soluciones enteras ordenadas, y

a + b \gt 0

se cumple exactamente cuando el factor positivo es el mayor en valor absoluto:

8

soluciones. Simétricamente, el otro caso da

8

más. En todas ellas

ab + 100 = -1916 - |a + b| \ne 0.

El total es

87 + 8 + 8 = 103.

If

ab + 2016 \ge 0,

the first term is real, so the number is real exactly when

\sqrt{|a + b|} = 0,

that is

b = -a.

Then

ab + 2016 = 2016 - a^2 \ge 0

forces

|a| \le 44,

and the denominator

ab + 100 = 100 - a^2

rules out

a = \pm 10.

That gives

89 - 2 = 87

pairs.

If

ab + 2016 \lt 0,

then

\sqrt{ab + 2016} = i\sqrt{-ab - 2016},

so the whole number is

\frac{\sqrt{-ab - 2016} - \sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\,i,

which is real exactly when

-ab - 2016 = |a + b|.

Note

a + b = 0

is impossible here since

a^2 = 2016

has no integer solution. For

a + b \gt 0

the equation becomes

ab + a + b + 2016 = 0,

that is

(a + 1)(b + 1) = -2015,

and for

a + b \lt 0

it becomes

(a - 1)(b - 1) = -2015.

Since

2015 = 5 \cdot 13 \cdot 31

has

8

positive divisors,

(a+1)(b+1) = -2015

has

16

ordered integer solutions, and

a + b \gt 0

holds exactly when the positive factor is the larger in absolute value:

8

solutions. Symmetrically the other case gives

8

more. In all of these

ab + 100 = -1916 - |a + b| \ne 0.

The total is

87 + 8 + 8 = 103.

8.

Para una permutación

p = (a_1, a_2, \ldots, a_9)

de los dígitos

1,

2,

\ldots,

9,

sea

s(p)

la suma de los tres números de

3

dígitos

a_1a_2a_3,

a_4a_5a_6,

y

a_7a_8a_9.

Sea

m

el valor mínimo de

s(p)

sujeto a la condición de que el dígito de las unidades de

s(p)

sea

0.

Sea

n

el número de permutaciones

p

con

s(p) = m.

Halla

|m - n|.

For a permutation

p = (a_1, a_2, \ldots, a_9)

of the digits

1,

2,

\ldots,

9,

let

s(p)

denote the sum of the three

3

-digit numbers

a_1a_2a_3,

a_4a_5a_6,

and

a_7a_8a_9.

Let

m

be the minimum value of

s(p)

subject to the condition that the units digit of

s(p)

is

0.

Let

n

denote the number of permutations

p

with

s(p) = m.

Find

|m - n|.

Respuesta

Respuesta: 162

Conceptos:valor posicional permutaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Escribe

s(p)

por valor posicional: los tres dígitos de las unidades deben sumar

10

o

20

Write

s(p)

by place value: the three units digits must sum to

10

or

20

Pista grande:

El mínimo obliga a que los dígitos de las centenas sean

\{1, 2, 3\}

y a que la suma de la columna de unidades sea

20;

cuenta cuáles ternas de

\{4, \ldots, 9\}

suman

20

The minimum forces hundreds digits

\{1, 2, 3\}

and a units-column sum of

20;

count which triples from

\{4, \ldots, 9\}

sum to

20

Solución:

Por valor posicional,

s(p) = 100(a_1 + a_4 + a_7)

+ 10(a_2 + a_5 + a_8)

+ (a_3 + a_6 + a_9),

y los nueve dígitos suman

45.

El dígito de las unidades de

s(p)

es

0

exactamente cuando

a_3 + a_6 + a_9 = 10

o

20.

Escribiendo

X = a_1 + a_4 + a_7,

si la columna de unidades suma

10

entonces

s(p) = 100X + 10(35 - X) + 10

= 90X + 360 \ge 900,

mientras que si suma

20

entonces

s(p) = 90X + 270

\ge 90 \cdot 6 + 270 = 810.

Así que

m = 810,

alcanzado exactamente cuando

\{a_1, a_4, a_7\} = \{1, 2, 3\}

y los dígitos de las unidades suman

20.

Los dígitos restantes

\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}

deben dividirse de modo que la terna de unidades sume

20:

las posibilidades son

\{4, 7, 9\},

\{5, 6, 9\},

y

\{5, 7, 8\}.

Cada una de las

3

divisiones permite

3! \cdot 3! \cdot 3! = 216

disposiciones de las tres columnas, así que

n = 3 \cdot 216 = 648.

Por lo tanto

|m - n| = |810 - 648| = 162.

By place value,

s(p) = 100(a_1 + a_4 + a_7)

+ 10(a_2 + a_5 + a_8)

+ (a_3 + a_6 + a_9),

and all nine digits sum to

45.

The units digit of

s(p)

is

0

exactly when

a_3 + a_6 + a_9 = 10

or

20.

Writing

X = a_1 + a_4 + a_7,

if the units column sums to

10

then

s(p) = 100X + 10(35 - X) + 10

= 90X + 360 \ge 900,

while if it sums to

20

then

s(p) = 90X + 270

\ge 90 \cdot 6 + 270 = 810.

So

m = 810,

achieved exactly when

\{a_1, a_4, a_7\} = \{1, 2, 3\}

and the units digits sum to

20.

The remaining digits

\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}

must split so the units triple sums to

20:

the possibilities are

\{4, 7, 9\},

\{5, 6, 9\},

and

\{5, 7, 8\}.

Each of the

3

splits allows

3! \cdot 3! \cdot 3! = 216

arrangements of the three columns, so

n = 3 \cdot 216 = 648.

Therefore

|m - n| = |810 - 648| = 162.

9.

El triángulo

ABC

tiene

AB = 40,

AC = 31,

y

\sin A = \frac{1}{5}.

Este triángulo está inscrito en el rectángulo

AQRS

con

B

en

\overline{QR}

y

C

en

\overline{RS}.

Halla el área máxima posible de

AQRS.

Triangle

ABC

has

AB = 40,

AC = 31,

and

\sin A = \frac{1}{5}.

This triangle is inscribed in rectangle

AQRS

with

B

on

\overline{QR}

and

C

on

\overline{RS}.

Find the maximum possible area of

AQRS.

Respuesta

Respuesta: 744

Conceptos:identidad trigonométrica rectángulo optimización

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Con

\beta = \angle BAQ

y

\gamma = \angle CAS,

el área es

40\cos\beta \cdot 31\cos\gamma,

y

\beta + \gamma = 90^\circ - A

With

\beta = \angle BAQ

and

\gamma = \angle CAS,

the area is

40\cos\beta \cdot 31\cos\gamma,

and

\beta + \gamma = 90^\circ - A

Pista grande:

Producto a suma:

2\cos\beta\cos\gamma = \cos(\beta - \gamma)

+ \sin A,

maximizado cuando

\beta = \gamma

Product-to-sum:

2\cos\beta\cos\gamma = \cos(\beta - \gamma)

+ \sin A,

maximized when

\beta = \gamma

Solución:

Sea

\beta = \angle BAQ

y

\gamma = \angle CAS,

de modo que

\beta + \gamma = 90^\circ - A.

A partir de los triángulos rectángulos

AQB

y

ASC,

los lados del rectángulo son

AQ = 40\cos\beta

y

AS = 31\cos\gamma,

así que su área es

\begin{aligned} 40 \cdot 31 \cos\beta\cos\gamma \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \cos(\beta + \gamma)\bigr) \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \sin A\bigr), \end{aligned}

usando la identidad de producto a suma y

\cos(90^\circ - A) = \sin A.

Esto se maximiza cuando

\beta = \gamma,

lo cual es compatible con la restricción, dando un área de

620\left(1 + \frac{1}{5}\right) = 744.

Let

\beta = \angle BAQ

and

\gamma = \angle CAS,

so

\beta + \gamma = 90^\circ - A.

From the right triangles

AQB

and

ASC,

the sides of the rectangle are

AQ = 40\cos\beta

and

AS = 31\cos\gamma,

so its area is

\begin{aligned} 40 \cdot 31 \cos\beta\cos\gamma \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \cos(\beta + \gamma)\bigr) \\ &\tiny = 620\bigl(\cos(\beta - \gamma) + \sin A\bigr), \end{aligned}

using the product-to-sum identity and

\cos(90^\circ - A) = \sin A.

This is maximized when

\beta = \gamma,

which the constraint allows, giving area

620\left(1 + \frac{1}{5}\right) = 744.

10.

Una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

tiene la propiedad de que para todo entero positivo

k,

la subsucesión

a_{2k-1},

a_{2k},

a_{2k+1}

es geométrica y la subsucesión

a_{2k},

a_{2k+1},

a_{2k+2}

es aritmética. Supongamos que

a_{13} = 2016.

Halla

a_1.

A strictly increasing sequence of positive integers

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

has the property that for every positive integer

k,

the subsequence

a_{2k-1},

a_{2k},

a_{2k+1}

is geometric and the subsequence

a_{2k},

a_{2k+1},

a_{2k+2}

is arithmetic. Suppose that

a_{13} = 2016.

Find

a_1.

Respuesta

Respuesta: 504

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética divisibilidad inducción

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Escribe

\frac{a_2}{a_1} = \frac{b}{a}

en su forma más simple; entonces

a_1 = ca^2

y

a_2 = cab

para algún entero positivo

c

Write

\frac{a_2}{a_1} = \frac{b}{a}

in lowest terms; then

a_1 = ca^2

and

a_2 = cab

for some positive integer

c

Pista grande:

La inducción da

a_{2k+1} = c\,(kb - (k-1)a)^2,

así que

c\,(6b - 5a)^2 = 2016;

nota que

6b - 5a \ge a + 6

Induction gives

a_{2k+1} = c\,(kb - (k-1)a)^2,

so

c\,(6b - 5a)^2 = 2016;

note

6b - 5a \ge a + 6

Solución:

Escribe la razón común de

a_1, a_2, a_3

como

\frac{b}{a}

en su forma más simple, con

b \gt a \ge 1

ya que la sucesión crece. Como

a_3 = a_1 \left(\frac{b}{a}\right)^2

es un entero y

\gcd(a, b) = 1,

obtenemos que

a^2

divide a

a_1;

sea

c = \frac{a_1}{a^2}.

Entonces

a_1 = ca^2,

a_2 = cab,

a_3 = cb^2,

y la condición aritmética da

a_4 = 2cb^2 - cab = cb(2b - a).

Continuando, la inducción muestra para todo

k

que

\begin{aligned} a_{2k+1} &= c\,\bigl(kb - (k-1)a\bigr)^2, \\ a_{2k+2} &= c\,\bigl(kb - (k-1)a\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl((k+1)b - ka\bigr). \end{aligned}

En particular

a_{13} = c\,(6b - 5a)^2

= 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7.

Sea

N = 6b - 5a;

entonces

N^2

divide a

2016,

así que

N \le 12.

Pero

N = a + 6(b - a) \ge a + 6 \ge 7,

y el único valor en el rango para el cual

N^2

divide a

2016

es

N = 12,

lo que da

c = \frac{2016}{144} = 14.

De

6(b - a) = 12 - a

necesitamos que

a

sea múltiplo de

6

con

a \le 6,

así que

a = 6

y

b = 7,

que son coprimos.

Por lo tanto

a_1 = ca^2 = 14 \cdot 36 = 504.

(De hecho la sucesión comienza

504, 588, 686, 784, 896, \ldots

y alcanza

a_{13} = 14 \cdot 12^2 = 2016.

)

Write the common ratio of

a_1, a_2, a_3

as

\frac{b}{a}

in lowest terms, with

b \gt a \ge 1

since the sequence increases. Because

a_3 = a_1 \left(\frac{b}{a}\right)^2

is an integer and

\gcd(a, b) = 1,

we get that

a^2

divides

a_1;

set

c = \frac{a_1}{a^2}.

Then

a_1 = ca^2,

a_2 = cab,

a_3 = cb^2,

and the arithmetic condition gives

a_4 = 2cb^2 - cab = cb(2b - a).

Continuing, induction shows for every

k

that

\begin{aligned} a_{2k+1} &= c\,\bigl(kb - (k-1)a\bigr)^2, \\ a_{2k+2} &= c\,\bigl(kb - (k-1)a\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl((k+1)b - ka\bigr). \end{aligned}

In particular

a_{13} = c\,(6b - 5a)^2

= 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7.

Let

N = 6b - 5a;

then

N^2

divides

2016,

so

N \le 12.

But

N = a + 6(b - a) \ge a + 6 \ge 7,

and the only value in range for which

N^2

divides

2016

is

N = 12,

giving

c = \frac{2016}{144} = 14.

From

6(b - a) = 12 - a

we need

a

to be a multiple of

6

with

a \le 6,

so

a = 6

and

b = 7,

which are coprime.

Therefore

a_1 = ca^2 = 14 \cdot 36 = 504.

(Indeed the sequence begins

504, 588, 686, 784, 896, \ldots

and reaches

a_{13} = 14 \cdot 12^2 = 2016.

)

11.

Sea

P(x)

un polinomio no nulo tal que

(x - 1)P(x + 1) = (x + 2)P(x)

para todo real

x,

y

\left(P(2)\right)^2 = P(3).

Entonces

P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \tfrac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

Let

P(x)

be a nonzero polynomial such that

(x - 1)P(x + 1) = (x + 2)P(x)

for every real

x,

and

\left(P(2)\right)^2 = P(3).

Then

P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \tfrac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 109

Conceptos:polinomio ecuación funcional sustitución

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Sustituye

x = 1,

x = 0,

y

x = -2

para hallar tres raíces de

P

Substitute

x = 1,

x = 0,

and

x = -2

to find three roots of

P

Pista grande:

Escribir

P(x) = x(x - 1)(x + 1)L(x)

obliga a

L(x + 1) = L(x),

así que

L

es una constante; hállala a partir de

\left(P(2)\right)^2 = P(3)

Writing

P(x) = x(x - 1)(x + 1)L(x)

forces

L(x + 1) = L(x),

so

L

is a constant; find it from

\left(P(2)\right)^2 = P(3)

Solución:

Poniendo

x = 1

en la identidad da

0 = 3P(1),

así que

P(1) = 0.

Poniendo

x = 0

da

-P(1) = 2P(0),

así que

P(0) = 0,

y poniendo

x = -2

da

-3P(-1) = 0,

así que

P(-1) = 0.

Por lo tanto

P(x) = x(x - 1)(x + 1)L(x)

para algún polinomio

L.

Sustituyendo de nuevo,

(x - 1)\,(x + 1)x(x + 2)L(x + 1)

= (x + 2)\,x(x - 1)(x + 1)L(x),

así que

L(x + 1) = L(x)

para todo real

x,

lo cual obliga a que

L

sea una constante

c.

La normalización

\left(P(2)\right)^2 = P(3)

queda

(6c)^2 = 24c,

así que

c = \frac{2}{3}.

Entonces

P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{105}{4},

y

m + n = 105 + 4 = 109.

Setting

x = 1

in the identity gives

0 = 3P(1),

so

P(1) = 0.

Setting

x = 0

gives

-P(1) = 2P(0),

so

P(0) = 0,

and setting

x = -2

gives

-3P(-1) = 0,

so

P(-1) = 0.

Hence

P(x) = x(x - 1)(x + 1)L(x)

for some polynomial

L.

Substituting back,

(x - 1)\,(x + 1)x(x + 2)L(x + 1)

= (x + 2)\,x(x - 1)(x + 1)L(x),

so

L(x + 1) = L(x)

for all real

x,

which forces

L

to be a constant

c.

The normalization

\left(P(2)\right)^2 = P(3)

reads

(6c)^2 = 24c,

so

c = \frac{2}{3}.

Then

P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{105}{4},

and

m + n = 105 + 4 = 109.

12.

Halla el menor entero positivo

m

tal que

m^2 - m + 11

sea un producto de al menos cuatro primos no necesariamente distintos.

Find the least positive integer

m

such that

m^2 - m + 11

is a product of at least four not necessarily distinct primes.

Respuesta

Respuesta: 132

Conceptos:factorización en primos aritmética modular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Verifica

m^2 - m + 11

módulo

2,

3,

5,

y

7:

nunca es divisible por ninguno de ellos

Check

m^2 - m + 11

modulo

2,

3,

5,

and

7:

it is never divisible by any of them

Pista grande:

Así que cada factor primo es al menos

11.

Prueba los candidatos

11^4

y

11^3 \cdot 13,

usando

m \equiv 0

o

1 \pmod{11}.

So every prime factor is at least

11.

Test the candidates

11^4

and

11^3 \cdot 13,

using

m \equiv 0

or

1 \pmod{11}.

Solución:

Sea

e(m) = m^2 - m + 11.

Como

m^2 - m

es siempre par,

e(m)

es impar. Verificar todos los residuos muestra que

m^2 - m + 11

tampoco es nunca

0

módulo

3,

5,

o

7,

así que cada factor primo de

e(m)

es al menos

11.

Un producto de cuatro primos así es al menos

11^4 = 14641,

y los dos candidatos más pequeños son

11^4

y

11^3 \cdot 13 = 17303.

Para

e(m) = 14641,

el discriminante de

m^2 - m - 14630 = 0

es

58521,

que está estrictamente entre

241^2 = 58081

y

242^2 = 58564,

así que no hay solución entera. Para

e(m) = 17303:

como

e(m) = m(m - 1) + 11

debe ser divisible por

11,

o bien

m = 11k

o

m = 11k + 1.

Probar

m = 11k

da

11k^2 - k + 1 = 1573,

es decir

k(11k - 1) = 1572,

que

k = 12

satisface:

12 \cdot 131 = 1572.

Como

e

es creciente para

m \ge 1,

todo

m

más pequeño tiene

e(m) \lt 17303,

y el único valor de cuatro primos por debajo de eso,

11^4,

es inalcanzable. Por lo tanto el menor

m

es

11 \cdot 12 = 132,

donde

e(132) = 17303 = 11^3 \cdot 13.

Let

e(m) = m^2 - m + 11.

Since

m^2 - m

is always even,

e(m)

is odd. Checking all residues shows

m^2 - m + 11

is never

0

modulo

3,

5,

or

7

either, so every prime factor of

e(m)

is at least

11.

A product of four such primes is at least

11^4 = 14641,

and the two smallest candidates are

11^4

and

11^3 \cdot 13 = 17303.

For

e(m) = 14641,

the discriminant of

m^2 - m - 14630 = 0

is

58521,

which lies strictly between

241^2 = 58081

and

242^2 = 58564,

so there is no integer solution. For

e(m) = 17303:

since

e(m) = m(m - 1) + 11

must be divisible by

11,

either

m = 11k

or

m = 11k + 1.

Trying

m = 11k

gives

11k^2 - k + 1 = 1573,

that is

k(11k - 1) = 1572,

which

k = 12

satisfies:

12 \cdot 131 = 1572.

Since

e

is increasing for

m \ge 1,

every smaller

m

has

e(m) \lt 17303,

and the only four-prime value below that,

11^4,

is unattainable. Hence the least

m

is

11 \cdot 12 = 132,

where

e(132) = 17303 = 11^3 \cdot 13.

13.

La rana Freddy salta por el plano coordenado buscando un río, que está en la recta horizontal

y = 24.

Una cerca está ubicada en la recta horizontal

y = 0.

En cada salto Freddy elige aleatoriamente una dirección paralela a uno de los ejes coordenados y se mueve una unidad en esa dirección. Cuando está en un punto donde

y = 0,

elige con igual probabilidad una de las tres direcciones que lo hacen saltar paralelamente a la cerca o alejarse de ella, pero nunca elige la dirección que lo haría cruzar la cerca hacia donde

y \lt 0.

Freddy comienza su búsqueda en el punto

(0, 21)

y se detendrá al llegar a un punto del río. Halla el número esperado de saltos que le tomará a Freddy llegar al río.

Freddy the frog is jumping around the coordinate plane searching for a river, which lies on the horizontal line

y = 24.

A fence is located at the horizontal line

y = 0.

On each jump Freddy randomly chooses a direction parallel to one of the coordinate axes and moves one unit in that direction. When he is at a point where

y = 0,

with equal likelihoods he chooses one of three directions where he either jumps parallel to the fence or jumps away from the fence, but he never chooses the direction that would have him cross over the fence to where

y \lt 0.

Freddy starts his search at the point

(0, 21)

and will stop once he reaches a point on the river. Find the expected number of jumps it will take Freddy to reach the river.

Respuesta

Respuesta: 273

Conceptos:valor esperado camino aleatorio recursión

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Solo importa la altura

y.

Si

T(y)

es el número esperado de saltos desde la altura

y,

entonces

2T(y) = 4 + T(y - 1)

+ T(y + 1)

para

1 \le y \le 23.

Only the height

y

matters. If

T(y)

is the expected number of jumps from height

y,

then

2T(y) = 4 + T(y - 1)

+ T(y + 1)

for

1 \le y \le 23.

Pista grande:

En la cerca

T(0) = 3 + T(1).

Suma la recurrencia sobre

y = 1, \ldots, 23

para telescopar, luego trabaja hacia abajo desde

T(24) = 0.

At the fence

T(0) = 3 + T(1).

Sum the recurrence over

y = 1, \ldots, 23

to telescope, then work down from

T(24) = 0.

Solución:

Los saltos horizontales no cambian nada relevante, así que sea

T(y)

el número esperado de saltos para llegar al río desde la altura

y.

Entonces

T(24) = 0;

para

1 \le y \le 23

cada salto va hacia arriba, hacia abajo o de lado con probabilidades

\frac{1}{4},

\frac{1}{4},

\frac{1}{2},

así que

\begin{aligned} T(y) &= 1 + \tfrac{1}{4}T(y + 1) \\ &\quad {}+ \tfrac{1}{4}T(y - 1) \\ &\quad {}+ \tfrac{1}{2}T(y), \end{aligned}

lo cual se simplifica a

2T(y) = 4 + T(y - 1)

+ T(y + 1).

En la cerca los tres movimientos igualmente probables dan

T(0) = 1 + \frac{2}{3}T(0) + \frac{1}{3}T(1),

es decir

T(0) = 3 + T(1).

Sumar

2T(y) = 4 + T(y - 1)

+ T(y + 1)

sobre

y = 1, \ldots, 23

telescopa a

T(1) + T(23) = 92 + T(0)

+ T(24).

Sustituir

T(0) = 3 + T(1)

y

T(24) = 0

da

T(23) = 95.

Ahora ejecuta la recurrencia hacia abajo como

T(y - 1) = 2T(y) - T(y + 1)

- 4:

desde

T(24) = 0

y

T(23) = 95,

obtenemos

T(22) = 2 \cdot 95 - 0 - 4 = 186

y

T(21) = 2 \cdot 186 - 95 - 4 = 273.

Freddy comienza en la altura

21,

así que la respuesta es

273.

Horizontal jumps change nothing that matters, so let

T(y)

be the expected number of jumps to reach the river from height

y.

Then

T(24) = 0;

for

1 \le y \le 23

each jump goes up, down, or sideways with probabilities

\frac{1}{4},

\frac{1}{4},

\frac{1}{2},

so

\begin{aligned} T(y) &= 1 + \tfrac{1}{4}T(y + 1) \\ &\quad {}+ \tfrac{1}{4}T(y - 1) \\ &\quad {}+ \tfrac{1}{2}T(y), \end{aligned}

which simplifies to

2T(y) = 4 + T(y - 1)

+ T(y + 1).

At the fence the three equally likely moves give

T(0) = 1 + \frac{2}{3}T(0) + \frac{1}{3}T(1),

that is

T(0) = 3 + T(1).

Summing

2T(y) = 4 + T(y - 1)

+ T(y + 1)

over

y = 1, \ldots, 23

telescopes to

T(1) + T(23) = 92 + T(0)

+ T(24).

Substituting

T(0) = 3 + T(1)

and

T(24) = 0

yields

T(23) = 95.

Now run the recurrence downward as

T(y - 1) = 2T(y) - T(y + 1)

- 4:

from

T(24) = 0

and

T(23) = 95,

we get

T(22) = 2 \cdot 95 - 0 - 4 = 186

and

T(21) = 2 \cdot 186 - 95 - 4 = 273.

Freddy starts at height

21,

so the answer is

273.

14.

Centrados en cada punto reticular del plano coordenado hay una circunferencia de radio

\frac{1}{10}

y un cuadrado con lados de longitud

\frac{1}{5}

cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. El segmento de recta desde

(0, 0)

hasta

(1001, 429)

corta

m

de los cuadrados y

n

de las circunferencias. Halla

m + n.

Centered at each lattice point in the coordinate plane are a circle radius

\frac{1}{10}

and a square with sides of length

\frac{1}{5}

whose sides are parallel to the coordinate axes. The line segment from

(0, 0)

to

(1001, 429)

intersects

m

of the squares and

n

of the circles. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 574

Conceptos:punto reticular máximo común divisor fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Como

\gcd(1001, 429) = 143,

el segmento es

143

copias del segmento desde

(0, 0)

hasta

(7, 3)

Since

\gcd(1001, 429) = 143,

the segment is

143

copies of the segment from

(0, 0)

to

(7, 3)

Pista grande:

La recta corta el cuadrado centrado en

(m, n)

exactamente cuando

|3m - 7n| \le 1;

cuando

|3m - 7n| = 1

solo roza una esquina del cuadrado y no toca la circunferencia

The line meets the square at

(m, n)

exactly when

|3m - 7n| \le 1;

when

|3m - 7n| = 1

it only grazes a corner of the square and misses the circle

Solución:

Como

\gcd(1001, 429) = 143,

el segmento pasa por los puntos reticulares

(7k, 3k)

para

k = 0, \ldots, 143

y consta de

143

copias trasladadas del segmento desde

(0, 0)

hasta

(7, 3).

La recta es

y = \frac{3}{7}x.

Corta el cuadrado centrado en

(m, n)

exactamente cuando su altura pasa a menos de

\frac{1}{10}

de

n

para algún

x

a menos de

\frac{1}{10}

de

m,

es decir cuando

\left|\frac{3m}{7} - n\right| \le \frac{1}{10} + \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{7},

o equivalentemente

|3m - 7n| \le 1.

Para

0 \le m \le 7

las soluciones son

(0, 0)

y

(7, 3)

con

3m - 7n = 0,

y

(2, 1)

y

(5, 2)

con

3m - 7n = \mp 1.

En las dos primeras la recta pasa por el centro, así que también corta la circunferencia. En las otras dos, la igualdad significa que la recta pasa exactamente por una esquina del cuadrado (para

(2, 1),

la esquina

(2.1, 0.9)

), mientras que su distancia al centro es

\frac{1}{\sqrt{3^2 + 7^2}} = \frac{1}{\sqrt{58}} \gt \frac{1}{10},

así que no toca la circunferencia. Por lo tanto cada copia del segmento corta

4

cuadrados y

2

circunferencias.

Los

142

puntos reticulares interiores

(7k, 3k)

son compartidos cada uno por dos copias consecutivas, así que

m = 4 \cdot 143 - 142 = 430

y

n = 2 \cdot 143 - 142 = 144,

lo que da

m + n = 574.

Since

\gcd(1001, 429) = 143,

the segment passes through the lattice points

(7k, 3k)

for

k = 0, \ldots, 143

and consists of

143

translated copies of the segment from

(0, 0)

to

(7, 3).

The line is

y = \frac{3}{7}x.

It meets the square centered at

(m, n)

exactly when its height passes within

\frac{1}{10}

of

n

for some

x

within

\frac{1}{10}

of

m,

that is when

\left|\frac{3m}{7} - n\right| \le \frac{1}{10} + \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{7},

or equivalently

|3m - 7n| \le 1.

For

0 \le m \le 7

the solutions are

(0, 0)

and

(7, 3)

with

3m - 7n = 0,

and

(2, 1)

and

(5, 2)

with

3m - 7n = \mp 1.

In the first two the line passes through the center, so it meets the circle as well. In the other two, equality means the line passes exactly through a corner of the square (for

(2, 1),

the corner

(2.1, 0.9)

), while its distance to the center is

\frac{1}{\sqrt{3^2 + 7^2}} = \frac{1}{\sqrt{58}} \gt \frac{1}{10},

so it misses the circle. Thus each copy of the segment meets

4

squares and

2

circles.

The

142

interior lattice points

(7k, 3k)

are each shared by two consecutive copies, so

m = 4 \cdot 143 - 142 = 430

and

n = 2 \cdot 143 - 142 = 144,

giving

m + n = 574.

15.

Las circunferencias

\omega_1

y

\omega_2

se cortan en los puntos

X

y

Y.

La recta

\ell

es tangente a

\omega_1

y

\omega_2

en

A

y

B,

respectivamente, con la recta

AB

más cerca del punto

X

que de

Y.

La circunferencia

\omega

pasa por

A

y

B

cortando a

\omega_1

de nuevo en

D \ne A

y cortando a

\omega_2

de nuevo en

C \ne B.

Los tres puntos

C,

Y,

D

son colineales,

XC = 67,

XY = 47,

y

XD = 37.

Halla

AB^2.

Circles

\omega_1

and

\omega_2

intersect at points

X

and

Y.

Line

\ell

is tangent to

\omega_1

and

\omega_2

at

A

and

B,

respectively, with line

AB

closer to point

X

than to

Y.

Circle

\omega

passes through

A

and

B

intersecting

\omega_1

again at

D \ne A

and intersecting

\omega_2

again at

C \ne B.

The three points

C,

Y,

D

are collinear,

XC = 67,

XY = 47,

and

XD = 37.

Find

AB^2.

Respuesta

Respuesta: 270

Conceptos:eje radical potencia de un punto persecución de ángulos semejanza

Nivel de dificultad: 3700

Pista pequeña:

Las rectas

AD,

BC,

y

XY

son ejes radicales de pares de las circunferencias, así que se encuentran en un punto

Z

Lines

AD,

BC,

and

XY

are radical axes of pairs of the circles, so they meet at a point

Z

Pista grande:

Si

M = XY \cap AB,

entonces

MA^2 = MX \cdot MY = MB^2;

muestra que

AYBZ

es un paralelogramo y

XZ^2 = XC \cdot XD

If

M = XY \cap AB,

then

MA^2 = MX \cdot MY = MB^2;

show

AYBZ

is a parallelogram and

XZ^2 = XC \cdot XD

Solución:

La recta

AD

es el eje radical de

\omega

y

\omega_1,

la recta

BC

el de

\omega

y

\omega_2,

y la recta

XY

el de

\omega_1

y

\omega_2,

así que las tres rectas se encuentran en el centro radical

Z.

(No pueden ser paralelas: eso obligaría a una configuración simétrica con

XC = XD.

) Sea

M = XY \cap AB.

La potencia de

M

respecto a cada circunferencia da

MA^2 = MX \cdot MY = MB^2,

así que

M

es el punto medio de

\overline{AB},

con

X

entre

M

y

Y.

Como

ADYX

es cíclico,

\angle XAZ = \angle XYD,

y como

BCYX

es cíclico,

\angle XBZ = \angle XYC;

al ser

C,

Y,

D

colineales estos suman

180^\circ,

así que

ZAXB

es cíclico. El ángulo tangente-cuerda en

B

da

\angle XYB = \angle ABX = \angle AZX,

así que

BY \parallel ZA,

y simétricamente

AY \parallel ZB.

Por lo tanto

AYBZ

es un paralelogramo, y como

M

es el punto medio de la diagonal

\overline{AB},

también es el punto medio de

\overline{ZY}:

por lo tanto

XZ = XM + MZ

= MX + MY.

Además

\angle XCZ = \angle XYB = \angle XZD

y (por el ángulo tangente-cuerda en

A

)

\angle XZC = \angle XAB = \angle XYA

= \angle XDZ,

así que los triángulos

XZC

y

XDZ

son semejantes, dando

XZ^2 = XC \cdot XD.

Juntando todo,

\begin{aligned} AB^2 &= 4MA^2 = 4\,MX \cdot MY \\ &= (MX + MY)^2 \\ &\quad {}- (MY - MX)^2 \\ &= XZ^2 - XY^2 \\ &= XC \cdot XD - XY^2, \end{aligned}

lo cual es igual a

67 \cdot 37 - 47^2 = 2479 - 2209

= 270.

Line

AD

is the radical axis of

\omega

and

\omega_1,

line

BC

that of

\omega

and

\omega_2,

and line

XY

that of

\omega_1

and

\omega_2,

so the three lines meet at the radical center

Z.

(They cannot be parallel: that would force a symmetric configuration with

XC = XD.

) Let

M = XY \cap AB.

The power of

M

with respect to each circle gives

MA^2 = MX \cdot MY = MB^2,

so

M

is the midpoint of

\overline{AB},

with

X

between

M

and

Y.

Since

ADYX

is cyclic,

\angle XAZ = \angle XYD,

and since

BCYX

is cyclic,

\angle XBZ = \angle XYC;

as

C,

Y,

D

are collinear these add to

180^\circ,

so

ZAXB

is cyclic. The tangent-chord angle at

B

gives

\angle XYB = \angle ABX = \angle AZX,

so

BY \parallel ZA,

and symmetrically

AY \parallel ZB.

Hence

AYBZ

is a parallelogram, and since

M

is the midpoint of diagonal

\overline{AB},

it is also the midpoint of

\overline{ZY}:

therefore

XZ = XM + MZ

= MX + MY.

Moreover

\angle XCZ = \angle XYB = \angle XZD

and (by the tangent-chord angle at

A

)

\angle XZC = \angle XAB = \angle XYA

= \angle XDZ,

so triangles

XZC

and

XDZ

are similar, giving

XZ^2 = XC \cdot XD.

Putting it together,

\begin{aligned} AB^2 &= 4MA^2 = 4\,MX \cdot MY \\ &= (MX + MY)^2 \\ &\quad {}- (MY - MX)^2 \\ &= XZ^2 - XY^2 \\ &= XC \cdot XD - XY^2, \end{aligned}

which equals

67 \cdot 37 - 47^2 = 2479 - 2209

= 270.

Problemas del 2016 AIME I

Respuesta: 336

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 71

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 810

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 108

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 53

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 13

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 103

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 162

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 744

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 504

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 109

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 132

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 273

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 574

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 270

Nivel de dificultad: 3700

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: