Question

Una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ tiene la propiedad de que para todo entero positivo $k,$ la subsucesión $a_{2k-1},$ $a_{2k},$ $a_{2k+1}$ es geométrica y la subsucesión $a_{2k},$ $a_{2k+1},$ $a_{2k+2}$ es aritmética. Supongamos que $a_{13} = 2016.$ Halla $a_1.$

A strictly increasing sequence of positive integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ has the property that for every positive integer $k,$ the subsequence $a_{2k-1},$ $a_{2k},$ $a_{2k+1}$ is geometric and the subsequence $a_{2k},$ $a_{2k+1},$ $a_{2k+2}$ is arithmetic. Suppose that $a_{13} = 2016.$ Find $a_1.$

Respuesta

Solución:

Escribe la razón común de $a_1, a_2, a_3$ como $\frac{b}{a}$ en su forma más simple, con $b \gt a \ge 1$ ya que la sucesión crece. Como $a_3 = a_1 \left(\frac{b}{a}\right)^2$ es un entero y $\gcd(a, b) = 1,$ obtenemos $a^2 \mid a_1;$ sea $c = \frac{a_1}{a^2}.$ Entonces $a_1 = ca^2,$ $a_2 = cab,$ $a_3 = cb^2,$ y la condición aritmética da $a_4 = 2cb^2 - cab = cb(2b - a).$ Continuando, la inducción muestra para todo $k$ que $\begin{aligned} a_{2k+1} &= c\,\bigl(kb - (k-1)a\bigr)^2, \\ a_{2k+2} &= c\,\bigl(kb - (k-1)a\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl((k+1)b - ka\bigr). \end{aligned}$

En particular $a_{13} = c\,(6b - 5a)^2$ $= 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7.$ Sea $N = 6b - 5a;$ entonces $N^2 \mid 2016,$ así que $N \le 12.$ Pero $N = a + 6(b - a) \ge a + 6 \ge 7,$ y el único valor en el rango con $N^2 \mid 2016$ es $N = 12,$ lo que da $c = \frac{2016}{144} = 14.$ De $6(b - a) = 12 - a$ necesitamos $6 \mid a$ con $a \le 6,$ así que $a = 6$ y $b = 7,$ que son coprimos.

Por lo tanto $a_1 = ca^2 = 14 \cdot 36 = 504.$ (De hecho la sucesión comienza $504, 588, 686, 784, 896, \ldots$ y alcanza $a_{13} = 14 \cdot 12^2 = 2016.$ )

Write the common ratio of $a_1, a_2, a_3$ as $\frac{b}{a}$ in lowest terms, with $b \gt a \ge 1$ since the sequence increases. Because $a_3 = a_1 \left(\frac{b}{a}\right)^2$ is an integer and $\gcd(a, b) = 1,$ we get $a^2 \mid a_1;$ set $c = \frac{a_1}{a^2}.$ Then $a_1 = ca^2,$ $a_2 = cab,$ $a_3 = cb^2,$ and the arithmetic condition gives $a_4 = 2cb^2 - cab = cb(2b - a).$ Continuing, induction shows for every $k$ that $\begin{aligned} a_{2k+1} &= c\,\bigl(kb - (k-1)a\bigr)^2, \\ a_{2k+2} &= c\,\bigl(kb - (k-1)a\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl((k+1)b - ka\bigr). \end{aligned}$

In particular $a_{13} = c\,(6b - 5a)^2$ $= 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7.$ Let $N = 6b - 5a;$ then $N^2 \mid 2016,$ so $N \le 12.$ But $N = a + 6(b - a) \ge a + 6 \ge 7,$ and the only value in range with $N^2 \mid 2016$ is $N = 12,$ giving $c = \frac{2016}{144} = 14.$ From $6(b - a) = 12 - a$ we need $6 \mid a$ with $a \le 6,$ so $a = 6$ and $b = 7,$ which are coprime.

Therefore $a_1 = ca^2 = 14 \cdot 36 = 504.$ (Indeed the sequence begins $504, 588, 686, 784, 896, \ldots$ and reaches $a_{13} = 14 \cdot 12^2 = 2016.$ )

2016 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años