Question

Cada carta de una baraja tiene el dibujo de una forma: círculo, cuadrado o triángulo, que está pintada en uno de tres colores: rojo, azul o verde. Además, cada color se aplica en uno de tres tonos: claro, medio u oscuro. La baraja tiene $27$ cartas, con cada combinación de forma, color y tono representada. Un conjunto de tres cartas de la baraja se llama complementario si todas las afirmaciones siguientes son verdaderas:

• Las tres cartas tienen o bien cada una una forma distinta, o bien las tres la misma forma.

• Las tres cartas tienen o bien cada una un color distinto, o bien las tres el mismo color.

• Las tres cartas tienen o bien cada una un tono distinto, o bien las tres el mismo tono.

¿Cuántos conjuntos complementarios distintos de tres cartas hay?

Every card in a deck has a picture of one shape — circle, square, or triangle, which is painted in one of the three colors — red, blue, or green. Furthermore, each color is applied in one of three shades — light, medium, or dark. The deck has $27$ cards, with every shape-color-shade combination represented. A set of three cards from the deck is called complementary if all of the following statements are true:

• Either each of the three cards has a different shape or all three of the cards have the same shape.

• Either each of the three cards has a different color or all three of the cards have the same color.

• Either each of the three cards has a different shade or all three of the cards have the same shade.

How many different complementary three-card sets are there?

Respuesta

Solución:

Dadas dos cartas distintas cualesquiera, hay exactamente una carta que las completa a un conjunto complementario: en cada atributo, si las dos cartas coinciden, la tercera carta debe compartir ese valor, y si difieren, la tercera debe tomar el único valor restante. La carta que las completa es distinta de ambas (las dos cartas dadas difieren en algún atributo, y en ese atributo la tercera carta difiere de cada una).

Así que los $\binom{27}{2} = 351$ pares de cartas se extienden cada uno a un conjunto complementario, y cada conjunto complementario es producido por $\binom{3}{2} = 3$ de estos pares. El número de conjuntos es $\frac{351}{3} = 117.$

Given any two distinct cards, there is exactly one card completing them to a complementary set: in each attribute, if the two cards agree, the third card must share that value, and if they differ, the third must take the one remaining value. The completing card is distinct from both (the two given cards differ somewhere, and in that attribute the third card differs from each).

So the $\binom{27}{2} = 351$ pairs of cards each extend to one complementary set, and each complementary set is produced by $\binom{3}{2} = 3$ of these pairs. The number of sets is $\frac{351}{3} = 117.$

1997 AIME Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años