Question

Para números complejos distintos

z_1,

z_2,

\ldots,

z_{673},

el polinomio

\begin{gathered} (x - z_1)^3 (x - z_2)^3 \\ \cdots (x - z_{673})^3 \end{gathered}

puede expresarse como

x^{2019} + 20x^{2018}

+ 19x^{2017} + g(x),

donde

g(x)

es un polinomio con coeficientes complejos y de grado a lo sumo

2016.

El valor de

\left| \sum_{1 \le j \lt k \le 673} z_j z_k \right|

puede expresarse en la forma

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

For distinct complex numbers

z_1,

z_2,

\ldots,

z_{673},

the polynomial

\begin{gathered} (x - z_1)^3 (x - z_2)^3 \\ \cdots (x - z_{673})^3 \end{gathered}

can be expressed as

x^{2019} + 20x^{2018}

+ 19x^{2017} + g(x),

where

g(x)

is a polynomial with complex coefficients and with degree at most

2016.

The value of

\left| \sum_{1 \le j \lt k \le 673} z_j z_k \right|

can be expressed in the form

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 352

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Las

2019

raíces son los

z_j,

cada uno con multiplicidad

3;

el coeficiente de

x^{2018}

da

3\sum z_j = -20

The

2019

roots are the

z_j,

each with multiplicity

3;

the

x^{2018}

coefficient gives

3\sum z_j = -20

Pista grande:

Los pares de raíces provienen o bien del mismo triple o bien de triples distintos:

19 = 3\sum z_j^2 + 9\sum_{j \lt k} z_j z_k,

y

\sum z_j^2 = \left(\sum z_j\right)^2 - 2\sum_{j \lt k} z_j z_k

Pairs of roots either come from the same triple or from different ones:

19 = 3\sum z_j^2 + 9\sum_{j \lt k} z_j z_k,

and

\sum z_j^2 = \left(\sum z_j\right)^2 - 2\sum_{j \lt k} z_j z_k

Solución:

Las

2019

raíces del polinomio son los números

z_j,

cada uno repetido tres veces. Por las fórmulas de Vieta, el coeficiente de

x^{2018}

es menos la suma de todas las raíces:

3\sum_j z_j = -20,

así que

\sum_j z_j = -\frac{20}{3}.

El coeficiente de

x^{2017}

es la suma sobre los pares no ordenados de raíces. Un par puede usar dos copias de un mismo triple (

\binom{3}{2} = 3

pares para cada

j

) o copias de dos triples distintos (

3 \cdot 3 = 9

pares para cada

j \lt k

). Escribiendo

S = \sum_{j \lt k} z_j z_k,

\begin{aligned} 19 &= 3\sum_j z_j^2 + 9S \\ &= 3\left[\left(-\tfrac{20}{3}\right)^2 - 2S\right] + 9S \\ &= \frac{400}{3} + 3S, \end{aligned}

así que

3S = 19 - \frac{400}{3} = -\frac{343}{3}

y

S = -\frac{343}{9}.

Por lo tanto

|S| = \frac{343}{9},

que está en su mínima expresión, y

m + n = 343 + 9 = 352.

The polynomial’s

2019

roots are the numbers

z_j,

each repeated three times. By Vieta’s formulas, the coefficient of

x^{2018}

is minus the sum of all roots:

3\sum_j z_j = -20,

so

\sum_j z_j = -\frac{20}{3}.

The coefficient of

x^{2017}

is the sum over unordered pairs of roots. A pair may use two copies from one triple (

\binom{3}{2} = 3

pairs for each

j

) or copies from two different triples (

3 \cdot 3 = 9

pairs for each

j \lt k

). Writing

S = \sum_{j \lt k} z_j z_k,

\begin{aligned} 19 &= 3\sum_j z_j^2 + 9S \\ &= 3\left[\left(-\tfrac{20}{3}\right)^2 - 2S\right] + 9S \\ &= \frac{400}{3} + 3S, \end{aligned}

so

3S = 19 - \frac{400}{3} = -\frac{343}{3}

and

S = -\frac{343}{9}.

Hence

|S| = \frac{343}{9},

which is in lowest terms, and

m + n = 343 + 9 = 352.

2019 AIME I Problema 10

Respuesta: 352

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años