2019 AIME I — Problemas y examen en línea cronometrado

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3:00:00

1.

Considere el entero $\begin{aligned} &N = 9 + 99 + 999 + 9999 \\ &\quad {}+ \cdots + \underbrace{99\ldots99}_{\text{321 dígitos}}. \end{aligned}$ Halle la suma de los dígitos de $N.$

Consider the integer $\begin{aligned} &N = 9 + 99 + 999 + 9999 \\ &\quad {}+ \cdots + \underbrace{99\ldots99}_{\text{321 digits}}. \end{aligned}$ Find the sum of the digits of $N.$

Respuesta

Respuesta: 342

Conceptos:dígitos valor posicional

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Cada sumando es $10^k - 1,$ así que $N$ es una larga cadena de unos (seguida de un cero) menos $321$

Each summand is $10^k - 1,$ so $N$ is a long string of ones (followed by a zero) minus $321$

Pista grande:

Restar $321$ de $11\ldots110$ solo altera los últimos cuatro dígitos; cuente los unos que sobreviven

Subtracting $321$ from $11\ldots110$ disturbs only the last four digits; count the ones that survive

Solución:

Cada sumando es $10^k - 1,$ así que $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{321} \left(10^k - 1\right) \\ &= \underbrace{11\ldots1}_{321}0 - 321. \end{aligned}$

La resta cambia solo los últimos cuatro dígitos: $1110 - 321 = 789,$ así que esos cuatro dígitos pasan a ser $0789.$ Por lo tanto $N$ consta de $318$ unos seguidos de $0789,$ y la suma de los dígitos es $318 + 0 + 7 + 8 + 9 = 342.$

Each summand is $10^k - 1,$ so $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{321} \left(10^k - 1\right) \\ &= \underbrace{11\ldots1}_{321}0 - 321. \end{aligned}$

The subtraction changes only the last four digits: $1110 - 321 = 789,$ so those four digits become $0789.$ Thus $N$ consists of $318$ ones followed by $0789,$ and the digit sum is $318 + 0 + 7 + 8 + 9 = 342.$

2.

Jenn elige al azar un número $J$ de entre $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20.$ Luego Bela elige al azar un número $B$ de entre $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20$ distinto de $J.$ El valor de $B - J$ es al menos $2$ con una probabilidad que puede expresarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Jenn randomly chooses a number $J$ from $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20.$ Bela then randomly chooses a number $B$ from $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20$ distinct from $J.$ The value of $B - J$ is at least $2$ with a probability that can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 29

Conceptos:probabilidad básica conteo de pares

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Los $20 \cdot 19$ pares ordenados $(J, B)$ con $B \neq J$ son todos igualmente probables

All $20 \cdot 19$ ordered pairs $(J, B)$ with $B \neq J$ are equally likely

Pista grande:

Para cada $J$ hay $19 - J$ valores de $B$ con $B \ge J + 2,$ así que el número de casos favorables es $1 + 2 + \cdots + 18$

For each $J$ there are $19 - J$ values of $B$ with $B \ge J + 2,$ so the favorable count is $1 + 2 + \cdots + 18$

Solución:

Hay $20 \cdot 19 = 380$ pares ordenados igualmente probables $(J, B)$ con $B \neq J.$ La condición $B \ge J + 2$ permite $19 - J$ elecciones de $B$ para cada $J \le 18,$ así que el número de pares favorables es $\begin{aligned} &\sum_{J=1}^{18} (19 - J) \\ &= 18 + 17 + \cdots + 1 = 171. \end{aligned}$

La probabilidad es $\frac{171}{380} = \frac{9}{20},$ así que $m + n = 9 + 20 = 29.$

There are $20 \cdot 19 = 380$ equally likely ordered pairs $(J, B)$ with $B \neq J.$ The condition $B \ge J + 2$ allows $19 - J$ choices of $B$ for each $J \le 18,$ so the number of favorable pairs is $\begin{aligned} &\sum_{J=1}^{18} (19 - J) \\ &= 18 + 17 + \cdots + 1 = 171. \end{aligned}$

The probability is $\frac{171}{380} = \frac{9}{20},$ so $m + n = 9 + 20 = 29.$

3.

En $\triangle PQR,$ $PR = 15,$ $QR = 20,$ y $PQ = 25.$ Los puntos $A$ y $B$ están en $\overline{PQ},$ los puntos $C$ y $D$ están en $\overline{QR},$ y los puntos $E$ y $F$ están en $\overline{PR},$ con $PA = QB = QC$ $= RD = RE = PF = 5.$ Halle el área del hexágono $ABCDEF.$

In $\triangle PQR,$ $PR = 15,$ $QR = 20,$ and $PQ = 25.$ Points $A$ and $B$ lie on $\overline{PQ},$ points $C$ and $D$ lie on $\overline{QR},$ and points $E$ and $F$ lie on $\overline{PR},$ with $PA = QB = QC$ $= RD = RE = PF = 5.$ Find the area of hexagon $ABCDEF.$

Respuesta

Respuesta: 120

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Como $15^2 + 20^2 = 25^2,$ el triángulo tiene un ángulo recto en $R$

Since $15^2 + 20^2 = 25^2,$ the triangle has a right angle at $R$

Pista grande:

Reste los tres triángulos de las esquinas de $\triangle PQR;$ cada triángulo de esquina tiene dos lados de longitud $5$ alrededor de un ángulo conocido, así que su área es $\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \sin(\text{ángulo})$

Subtract the three corner triangles from $\triangle PQR;$ each corner triangle has two sides of length $5$ around a known angle, so its area is $\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \sin(\text{angle})$

Solución:

Como $15^2 + 20^2 = 25^2,$ el triángulo es rectángulo en $R,$ y su área es $\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150.$ Además $\sin P = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$ y $\sin Q = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}.$

El hexágono es el triángulo menos tres triángulos de esquina, cada uno con dos lados de longitud $5:$ en $P,$ área $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 10;$ en $Q,$ área $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{2};$ en $R,$ área $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2}.$

Por lo tanto el hexágono tiene área $150 - 10 - \frac{15}{2} - \frac{25}{2} = 120.$

Since $15^2 + 20^2 = 25^2,$ the triangle is right-angled at $R,$ and its area is $\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150.$ Also $\sin P = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$ and $\sin Q = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}.$

The hexagon is the triangle minus three corner triangles, each with two sides of length $5:$ at $P,$ area $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 10;$ at $Q,$ area $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{2};$ at $R,$ area $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2}.$

Therefore the hexagon has area $150 - 10 - \frac{15}{2} - \frac{25}{2} = 120.$

4.

Un equipo de fútbol tiene $22$ jugadores disponibles. Un conjunto fijo de $11$ jugadores comienza el partido, mientras que los otros $11$ están disponibles como suplentes. Durante el partido, el entrenador puede hacer hasta $3$ sustituciones, en las que cualquiera de los $11$ jugadores en el campo es reemplazado por uno de los suplentes. Ningún jugador retirado del partido puede volver a entrar, aunque un suplente que entra al partido puede ser reemplazado más tarde. No pueden ocurrir dos sustituciones al mismo tiempo. Los jugadores involucrados y el orden de las sustituciones importan. Sea $n$ el número de maneras en que el entrenador puede hacer sustituciones durante el partido (incluyendo la posibilidad de no hacer ninguna). Halle el resto cuando $n$ se divide entre $1000.$

A soccer team has $22$ available players. A fixed set of $11$ players starts the game, while the other $11$ are available as substitutes. During the game, the coach may make as many as $3$ substitutions, where any one of the $11$ players in the game is replaced by one of the substitutes. No player removed from the game may reenter the game, although a substitute entering the game may be replaced later. No two substitutions can happen at the same time. The players involved and the order of the substitutions matter. Let $n$ be the number of ways the coach can make substitutions during the game (including the possibility of making no substitutions). Find the remainder when $n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 122

Conceptos:principio de multiplicación análisis por casos

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Cuente por separado según el número de sustituciones hechas; en todo momento hay exactamente $11$ jugadores en el campo

Count separately by the number of substitutions made; at every moment exactly $11$ players are in the game

Pista grande:

La $k$ -ésima sustitución tiene $11$ opciones para quién sale y $12 - k$ opciones para quién entra, ya que el banco se reduce en uno cada vez

The $k$ th substitution has $11$ choices for who leaves and $12 - k$ choices for who enters, since the bench shrinks by one each time

Solución:

En todo momento hay $11$ jugadores en el campo, cualquiera de los cuales puede ser retirado, mientras que el banco se reduce en uno con cada sustitución. Así, la primera sustitución puede hacerse de $11 \cdot 11$ maneras, la segunda de $11 \cdot 10$ maneras, y la tercera de $11 \cdot 9$ maneras.

Sumando los casos de $0,$ $1,$ $2,$ o $3$ sustituciones, $\begin{aligned} n &= 1 + 11 \cdot 11 \\ &\quad {}+ 11^2 \cdot 11 \cdot 10 \\ &\quad {}+ 11^3 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \\ &= 1 + 121 + 13310 + 1317690 \\ &= 1331122. \end{aligned}$ El resto al dividir entre $1000$ es $122.$

At every moment there are $11$ players in the game, any of whom may be removed, while the bench shrinks by one with each substitution. So the first substitution can be made in $11 \cdot 11$ ways, the second in $11 \cdot 10$ ways, and the third in $11 \cdot 9$ ways.

Summing over $0,$ $1,$ $2,$ or $3$ substitutions, $\begin{aligned} n &= 1 + 11 \cdot 11 \\ &\quad {}+ 11^2 \cdot 11 \cdot 10 \\ &\quad {}+ 11^3 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \\ &= 1 + 121 + 13310 + 1317690 \\ &= 1331122. \end{aligned}$ The remainder upon division by $1000$ is $122.$

5.

Una partícula móvil parte del punto $(4, 4)$ y se mueve hasta que toca por primera vez uno de los ejes coordenados. Cuando la partícula está en el punto $(a, b),$ se mueve al azar a uno de los puntos $(a - 1, b),$ $(a, b - 1),$ o $(a - 1, b - 1),$ cada uno con probabilidad $\frac{1}{3},$ independientemente de sus movimientos anteriores. La probabilidad de que toque los ejes coordenados en $(0, 0)$ es $\frac{m}{3^n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos, y $m$ no es divisible por $3.$ Halle $m + n.$

A moving particle starts at the point $(4, 4)$ and moves until it hits one of the coordinate axes for the first time. When the particle is at the point $(a, b),$ it moves at random to one of the points $(a - 1, b),$ $(a, b - 1),$ or $(a - 1, b - 1),$ each with probability $\frac{1}{3},$ independently of its previous moves. The probability that it will hit the coordinate axes at $(0, 0)$ is $\frac{m}{3^n},$ where $m$ and $n$ are positive integers, and $m$ is not divisible by $3.$ Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 252

Conceptos:caminos reticulares probabilidad básica permutaciones de multiconjuntos

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

La partícula puede tocar por primera vez los ejes en $(0, 0)$ solo dando el paso diagonal desde $(1, 1)$

The particle can first hit the axes at $(0, 0)$ only by taking the diagonal step from $(1, 1)$

Pista grande:

Cuente los caminos de $(4, 4)$ a $(1, 1)$ según el número $d$ de pasos diagonales: cada uno de esos caminos tiene $6 - d$ pasos y un número multinomial de ordenaciones

Count paths from $(4, 4)$ to $(1, 1)$ by the number $d$ of diagonal steps: each such path has $6 - d$ steps and a multinomial number of orderings

Solución:

Las coordenadas nunca aumentan, así que el primer punto de un eje alcanzado es $(0,0)$ exactamente cuando la partícula llega a $(1, 1)$ y luego da el paso diagonal. Todo camino de $(4,4)$ a $(1,1)$ evita automáticamente los ejes, ya que sus coordenadas permanecen al menos en $1.$

Un camino de $(4,4)$ a $(1,1)$ con $d$ pasos diagonales también tiene $3 - d$ pasos a la izquierda y $3 - d$ pasos hacia abajo, para $6 - d$ pasos en total, y hay $\frac{(6-d)!}{d!\,(3-d)!\,(3-d)!}$ ordenaciones: $20,$ $30,$ $12,$ $1$ para $d = 0,$ $1,$ $2,$ $3.$ Como un camino con $6 - d$ pasos tiene probabilidad $\left(\frac{1}{3}\right)^{6-d},$ la probabilidad de llegar a $(1,1)$ y luego pasar a $(0,0)$ es $\begin{aligned} &\frac{1}{3}\left(\frac{20}{3^6} + \frac{30}{3^5} + \frac{12}{3^4} + \frac{1}{3^3}\right) \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{20 + 90 + 108 + 27}{3^6} \\ &= \frac{245}{3^7}. \end{aligned}$

Como $245 = 5 \cdot 7^2$ no es divisible por $3,$ obtenemos $m + n = 245 + 7 = 252.$

Coordinates never increase, so the first axis point reached is $(0,0)$ exactly when the particle reaches $(1, 1)$ and then takes the diagonal step. Every path from $(4,4)$ to $(1,1)$ automatically stays off the axes, since its coordinates remain at least $1.$

A path from $(4,4)$ to $(1,1)$ with $d$ diagonal steps also has $3 - d$ left steps and $3 - d$ down steps, for $6 - d$ steps in all, and there are $\frac{(6-d)!}{d!\,(3-d)!\,(3-d)!}$ orderings: $20,$ $30,$ $12,$ $1$ for $d = 0,$ $1,$ $2,$ $3.$ Since a path with $6 - d$ steps has probability $\left(\frac{1}{3}\right)^{6-d},$ the probability of reaching $(1,1)$ and then stepping to $(0,0)$ is $\begin{aligned} &\frac{1}{3}\left(\frac{20}{3^6} + \frac{30}{3^5} + \frac{12}{3^4} + \frac{1}{3^3}\right) \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{20 + 90 + 108 + 27}{3^6} \\ &= \frac{245}{3^7}. \end{aligned}$

Since $245 = 5 \cdot 7^2$ is not divisible by $3,$ we get $m + n = 245 + 7 = 252.$

6.

En el cuadrilátero convexo $KLMN,$ el lado $\overline{MN}$ es perpendicular a la diagonal $\overline{KM},$ el lado $\overline{KL}$ es perpendicular a la diagonal $\overline{LN},$ $MN = 65,$ y $KL = 28.$ La recta que pasa por $L$ perpendicular al lado $\overline{KN}$ corta a la diagonal $\overline{KM}$ en $O$ con $KO = 8.$ Halle $MO.$

In convex quadrilateral $KLMN,$ side $\overline{MN}$ is perpendicular to diagonal $\overline{KM},$ side $\overline{KL}$ is perpendicular to diagonal $\overline{LN},$ $MN = 65,$ and $KL = 28.$ The line through $L$ perpendicular to side $\overline{KN}$ intersects diagonal $\overline{KM}$ at $O$ with $KO = 8.$ Find $MO.$

Respuesta

Respuesta: 90

Conceptos:semejanza triángulo rectángulo altura

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Sea $F$ el pie de la perpendicular desde $L$ a $\overline{KN};$ en el triángulo rectángulo $KLN$ la altura da $KF \cdot KN = KL^2$

Let $F$ be the foot of the perpendicular from $L$ to $\overline{KN};$ in right triangle $KLN$ the altitude gives $KF \cdot KN = KL^2$

Pista grande:

Los triángulos $KFO$ y $KMN$ comparten el ángulo $K$ y cada uno tiene un ángulo recto, así que $KF \cdot KN = KO \cdot KM$

Triangles $KFO$ and $KMN$ share angle $K$ and each has a right angle, so $KF \cdot KN = KO \cdot KM$

Solución:

Sea $F$ el pie de la perpendicular desde $L$ a $\overline{KN},$ de modo que $O$ está en el segmento $LF.$ En el triángulo rectángulo $KLN$ (ángulo recto en $L$ ), la altura $LF$ sobre la hipotenusa da la relación de la media geométrica $KF \cdot KN = KL^2 = 28^2 = 784.$

Los triángulos $KFO$ y $KMN$ comparten el ángulo $K,$ y $\angle KFO = 90^\circ = \angle KMN,$ así que son semejantes. Por lo tanto $\frac{KF}{KM} = \frac{KO}{KN},$ es decir, $KO \cdot KM = KF \cdot KN = 784.$ Con $KO = 8$ esto da $KM = 98,$ así que $\begin{aligned} MO &= KM - KO \\ &= 98 - 8 = 90. \end{aligned}$

Let $F$ be the foot of the perpendicular from $L$ to $\overline{KN},$ so $O$ lies on segment $LF.$ In right triangle $KLN$ (right angle at $L$ ), the altitude $LF$ to the hypotenuse gives the geometric mean relation $KF \cdot KN = KL^2 = 28^2 = 784.$

Triangles $KFO$ and $KMN$ share angle $K,$ and $\angle KFO = 90^\circ = \angle KMN,$ so they are similar. Hence $\frac{KF}{KM} = \frac{KO}{KN},$ that is, $KO \cdot KM = KF \cdot KN = 784.$ With $KO = 8$ this gives $KM = 98,$ so $\begin{aligned} MO &= KM - KO \\ &= 98 - 8 = 90. \end{aligned}$

7.

Hay enteros positivos $x$ y $y$ que satisfacen el sistema de ecuaciones $\log_{10} x + 2\log_{10}(\gcd(x, y)) = 60$ $\begin{aligned} &\log_{10} y \\ &\quad {}+ 2\log_{10}(\operatorname{lcm}(x, y)) = 570. \end{aligned}$ Sea $m$ el número de factores primos (no necesariamente distintos) en la factorización en primos de $x,$ y sea $n$ el número de factores primos (no necesariamente distintos) en la factorización en primos de $y.$ Halle $3m + 2n.$

There are positive integers $x$ and $y$ that satisfy the system of equations $\log_{10} x + 2\log_{10}(\gcd(x, y)) = 60$ $\begin{aligned} &\log_{10} y \\ &\quad {}+ 2\log_{10}(\operatorname{lcm}(x, y)) = 570. \end{aligned}$ Let $m$ be the number of (not necessarily distinct) prime factors in the prime factorization of $x,$ and let $n$ be the number of (not necessarily distinct) prime factors in the prime factorization of $y.$ Find $3m + 2n.$

Respuesta

Respuesta: 880

Conceptos:máximo común divisor mínimo común múltiplo logaritmo factorización en primos

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Las ecuaciones dicen $x \cdot \gcd(x,y)^2 = 10^{60}$ y $y \cdot \operatorname{lcm}(x,y)^2 = 10^{570},$ así que solo pueden aparecer los primos $2$ y $5$

The equations say $x \cdot \gcd(x,y)^2 = 10^{60}$ and $y \cdot \operatorname{lcm}(x,y)^2 = 10^{570},$ so only the primes $2$ and $5$ can appear

Pista grande:

Para cada primo, el máximo común divisor toma el exponente menor y el mínimo común múltiplo toma el mayor; el caso en que el exponente de $x$ supera al de $y$ lleva a un exponente negativo

For each prime, gcd takes the smaller exponent and lcm the larger; the case where $x$ ’s exponent exceeds $y$ ’s leads to a negative exponent

Solución:

Las ecuaciones dicen $x \cdot \gcd(x,y)^2 = 10^{60}$ y $y \cdot \operatorname{lcm}(x,y)^2 = 10^{570},$ así que $x$ y $y$ son productos únicamente de los primos $2$ y $5.$ Fije uno de estos primos y sean $a$ y $b$ sus exponentes en $x$ y $y.$ Como el máximo común divisor toma el exponente menor y el mínimo común múltiplo toma el mayor, $\begin{aligned} a + 2\min(a, b) &= 60, \\ b + 2\max(a, b) &= 570. \end{aligned}$

Si $a \gt b,$ entonces $a + 2b = 60$ y $b + 2a = 570;$ sumando da $a + b = 210,$ y restando da $a - b = 510,$ lo que fuerza $b \lt 0,$ imposible. Así que $a \le b,$ y las ecuaciones se convierten en $3a = 60$ y $3b = 570,$ dando $a = 20$ y $b = 190$ para ambos primos.

Por lo tanto $x = 2^{20} 5^{20}$ y $y = 2^{190} 5^{190},$ así que $m = 40,$ $n = 380,$ y $3m + 2n = 120 + 760 = 880.$

The equations say $x \cdot \gcd(x,y)^2 = 10^{60}$ and $y \cdot \operatorname{lcm}(x,y)^2 = 10^{570},$ so $x$ and $y$ are products of the primes $2$ and $5$ only. Fix one of these primes and let $a$ and $b$ be its exponents in $x$ and $y.$ Since the gcd takes the smaller exponent and the lcm the larger, $\begin{aligned} a + 2\min(a, b) &= 60, \\ b + 2\max(a, b) &= 570. \end{aligned}$

If $a \gt b,$ then $a + 2b = 60$ and $b + 2a = 570;$ adding gives $a + b = 210,$ and subtracting gives $a - b = 510,$ forcing $b \lt 0,$ impossible. So $a \le b,$ and the equations become $3a = 60$ and $3b = 570,$ giving $a = 20$ and $b = 190$ for both primes.

Thus $x = 2^{20} 5^{20}$ and $y = 2^{190} 5^{190},$ so $m = 40,$ $n = 380,$ and $3m + 2n = 120 + 760 = 880.$

8.

Sea $x$ un número real tal que $\sin^{10} x + \cos^{10} x = \frac{11}{36}.$ Entonces $\sin^{12} x + \cos^{12} x = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $x$ be a real number such that $\sin^{10} x + \cos^{10} x = \frac{11}{36}.$ Then $\sin^{12} x + \cos^{12} x = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 67

Conceptos:identidad trigonométrica Sumas de Newton sustitución

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Sea $u = \sin^2 x$ y $v = \cos^2 x,$ de modo que $u + v = 1;$ toda suma de potencias simétrica es un polinomio en $p = uv$

Set $u = \sin^2 x$ and $v = \cos^2 x,$ so $u + v = 1;$ every symmetric power sum is a polynomial in $p = uv$

Pista grande:

$u^5 + v^5 = 1 - 5p + 5p^2;$ despeje $p$ (solo una raíz satisface $p \le \frac{1}{4}$ ) y sustituya en $u^6 + v^6 = 1 - 6p + 9p^2 - 2p^3$

$u^5 + v^5 = 1 - 5p + 5p^2;$ solve for $p$ (only one root satisfies $p \le \frac{1}{4}$ ) and plug into $u^6 + v^6 = 1 - 6p + 9p^2 - 2p^3$

Solución:

Sea $u = \sin^2 x$ y $v = \cos^2 x,$ de modo que $u + v = 1,$ y sea $p = uv.$ Al desarrollar $(u+v)^5$ se obtiene $u^5 + v^5 = 1$ $- 5p(u+v)^3 + 5p^2(u+v)$ $= 1 - 5p + 5p^2,$ así que la hipótesis se convierte en $\begin{aligned} 1 - 5p + 5p^2 &= \frac{11}{36} \\ &\Longrightarrow 36p^2 - 36p \\ &\quad {}+ 5 = 0, \end{aligned}$ con raíces $p = \frac{1}{6}$ y $p = \frac{5}{6}.$ Como $p = \sin^2 x \cos^2 x$ $= \frac{1}{4}\sin^2 2x \le \frac{1}{4},$ debemos tener $p = \frac{1}{6}.$

De manera similar, $\begin{aligned} u^6 + v^6 &= (u^2 + v^2)^3 \\ &\quad {}- 3p^2(u^2+v^2) \\ &= (1 - 2p)^3 \\ &\quad {}- 3p^2(1 - 2p) \\ &= 1 - 6p + 9p^2 - 2p^3. \end{aligned}$ Sustituyendo $p = \frac{1}{6},$ $\begin{aligned} u^6 + v^6 &= 1 - 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{108} \\ &= \frac{26}{108} = \frac{13}{54}, \end{aligned}$ así que $m + n = 13 + 54 = 67.$

Let $u = \sin^2 x$ and $v = \cos^2 x,$ so $u + v = 1,$ and set $p = uv.$ Expanding $(u+v)^5$ gives $u^5 + v^5 = 1$ $- 5p(u+v)^3 + 5p^2(u+v)$ $= 1 - 5p + 5p^2,$ so the hypothesis reads $\begin{aligned} 1 - 5p + 5p^2 &= \frac{11}{36} \\ &\Longrightarrow 36p^2 - 36p \\ &\quad {}+ 5 = 0, \end{aligned}$ with roots $p = \frac{1}{6}$ and $p = \frac{5}{6}.$ Since $p = \sin^2 x \cos^2 x$ $= \frac{1}{4}\sin^2 2x \le \frac{1}{4},$ we must have $p = \frac{1}{6}.$

Similarly $\begin{aligned} u^6 + v^6 &= (u^2 + v^2)^3 \\ &\quad {}- 3p^2(u^2+v^2) \\ &= (1 - 2p)^3 \\ &\quad {}- 3p^2(1 - 2p) \\ &= 1 - 6p + 9p^2 - 2p^3. \end{aligned}$ Substituting $p = \frac{1}{6},$ $\begin{aligned} u^6 + v^6 &= 1 - 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{108} \\ &= \frac{26}{108} = \frac{13}{54}, \end{aligned}$ so $m + n = 13 + 54 = 67.$

9.

Sea $\tau(n)$ el número de divisores enteros positivos de $n.$ Halle la suma de los seis menores enteros positivos $n$ que son soluciones de $\tau(n) + \tau(n + 1) = 7.$

Let $\tau(n)$ denote the number of positive integer divisors of $n.$ Find the sum of the six least positive integers $n$ that are solutions to $\tau(n) + \tau(n + 1) = 7.$

Respuesta

Respuesta: 540

Conceptos:conteo de factores cuadrado perfecto análisis por casos

Nivel de dificultad: 2740

Pista pequeña:

Primero descarte $n = 1;$ después, la descomposición debe ser $\{2, 5\}$ o $\{3, 4\},$ y los valores $3$ y $5$ fuerzan un cuadrado de primo $p^2$ o una cuarta potencia de primo $p^4$

First rule out $n = 1;$ then the split must be $\{2, 5\}$ or $\{3, 4\},$ and values $3$ and $5$ force a prime square $p^2$ or fourth power $p^4$

Pista grande:

Así que uno de $n, n+1$ está entre $4,$ $9,$ $25,$ $49,$ $121,$ $169,$ $289,$ $361,$ $\ldots$ o $16,$ $81,$ $625,$ $\ldots;$ compruebe si cada número vecino tiene $\tau = 4$ o es primo

So one of $n, n+1$ is among $4,$ $9,$ $25,$ $49,$ $121,$ $169,$ $289,$ $361,$ $\ldots$ or $16,$ $81,$ $625,$ $\ldots;$ test each neighbor for $\tau = 4$ or primality

Solución:

El caso $n = 1$ da $\tau(1) + \tau(2) = 3,$ así que toda solución tiene $n \ge 2$ y ambos números de divisores son al menos $2.$ Por tanto, $7 = 2 + 5 = 3 + 4,$ de modo que uno de $\tau(n), \tau(n+1)$ es $3$ o $5.$ Ahora bien, $\tau = 3$ corresponde a un cuadrado de primo $p^2,$ mientras que $\tau = 5$ corresponde a una cuarta potencia de primo $p^4.$ Así, uno de $n, n+1$ pertenece a $\{4, 9, 25, 49, 121,$ $169, 289, 361, \ldots\}$ $\cup \{16, 81, 625, \ldots\},$ y su vecino debe tener $\tau = 4$ (en el caso de un cuadrado) o ser primo (en el caso de una cuarta potencia).

Comprobando los vecinos en orden creciente: $n = 8$ funciona $(\tau(8) = 4,$ $\tau(9) = 3);$ $n = 9$ funciona $(\tau(10) = 4);$ $n = 16$ funciona $(\tau(16) = 5,$ $17$ primo $);$ y $n = 25$ funciona $(\tau(26) = 4).$ Después, $49,$ $81,$ $169,$ y $289$ fallan: $\tau(48) = 10,$ $\tau(50) = 6,$ $\tau(80) = 10,$ $82$ no es primo, $\tau(168) = 16,$ $\tau(170) = 8,$ $\tau(288) = 18,$ $\tau(290) = 8.$ Luego, $n = 121$ funciona $(\tau(122) = 4)$ y $n = 361$ funciona $(\tau(362) = 4).$

Las seis menores soluciones son $8,$ $9,$ $16,$ $25,$ $121,$ $361,$ cuya suma es $540.$

The case $n = 1$ gives $\tau(1) + \tau(2) = 3,$ so any solution has $n \ge 2$ and both divisor counts are at least $2.$ Thus $7 = 2 + 5 = 3 + 4,$ so one of $\tau(n), \tau(n+1)$ equals $3$ or $5.$ Now $\tau = 3$ means a prime square $p^2,$ while $\tau = 5$ means a prime fourth power $p^4.$ So one of $n, n+1$ lies in $\{4, 9, 25, 49, 121,$ $169, 289, 361, \ldots\}$ $\cup \{16, 81, 625, \ldots\},$ and its neighbor must have $\tau = 4$ (for a square) or be prime (for a fourth power).

Checking neighbors in increasing order: $n = 8$ works $(\tau(8) = 4,$ $\tau(9) = 3);$ $n = 9$ works $(\tau(10) = 4);$ $n = 16$ works $(\tau(16) = 5,$ $17$ prime $);$ $n = 25$ works $(\tau(26) = 4).$ Then $49,$ $81,$ $169,$ and $289$ all fail: $\tau(48) = 10,$ $\tau(50) = 6,$ $\tau(80) = 10,$ $82$ is not prime, $\tau(168) = 16,$ $\tau(170) = 8,$ $\tau(288) = 18,$ $\tau(290) = 8.$ Next, $n = 121$ works $(\tau(122) = 4)$ and $n = 361$ works $(\tau(362) = 4).$

The six least solutions are $8,$ $9,$ $16,$ $25,$ $121,$ $361,$ with sum $540.$

10.

Para números complejos distintos $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_{673},$ el polinomio $\begin{gathered} (x - z_1)^3 (x - z_2)^3 \\ \cdots (x - z_{673})^3 \end{gathered}$ puede expresarse como $x^{2019} + 20x^{2018}$ $+ 19x^{2017} + g(x),$ donde $g(x)$ es un polinomio con coeficientes complejos y de grado a lo sumo $2016.$ El valor de $\left| \sum_{1 \le j \lt k \le 673} z_j z_k \right|$ puede expresarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

For distinct complex numbers $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_{673},$ the polynomial $\begin{gathered} (x - z_1)^3 (x - z_2)^3 \\ \cdots (x - z_{673})^3 \end{gathered}$ can be expressed as $x^{2019} + 20x^{2018}$ $+ 19x^{2017} + g(x),$ where $g(x)$ is a polynomial with complex coefficients and with degree at most $2016.$ The value of $\left| \sum_{1 \le j \lt k \le 673} z_j z_k \right|$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 352

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Las $2019$ raíces son los $z_j,$ cada uno con multiplicidad $3;$ el coeficiente de $x^{2018}$ da $3\sum z_j = -20$

The $2019$ roots are the $z_j,$ each with multiplicity $3;$ the $x^{2018}$ coefficient gives $3\sum z_j = -20$

Pista grande:

Los pares de raíces provienen o bien del mismo triple o bien de triples distintos: $19 = 3\sum z_j^2 + 9\sum_{j \lt k} z_j z_k,$ y $\sum z_j^2 = \left(\sum z_j\right)^2 - 2\sum_{j \lt k} z_j z_k$

Pairs of roots either come from the same triple or from different ones: $19 = 3\sum z_j^2 + 9\sum_{j \lt k} z_j z_k,$ and $\sum z_j^2 = \left(\sum z_j\right)^2 - 2\sum_{j \lt k} z_j z_k$

Solución:

Las $2019$ raíces del polinomio son los números $z_j,$ cada uno repetido tres veces. Por las fórmulas de Vieta, el coeficiente de $x^{2018}$ es menos la suma de todas las raíces: $3\sum_j z_j = -20,$ así que $\sum_j z_j = -\frac{20}{3}.$

El coeficiente de $x^{2017}$ es la suma sobre los pares no ordenados de raíces. Un par puede usar dos copias de un mismo triple ( $\binom{3}{2} = 3$ pares para cada $j$ ) o copias de dos triples distintos ( $3 \cdot 3 = 9$ pares para cada $j \lt k$ ). Escribiendo $S = \sum_{j \lt k} z_j z_k,$ $\begin{aligned} 19 &= 3\sum_j z_j^2 + 9S \\ &= 3\left[\left(-\tfrac{20}{3}\right)^2 - 2S\right] + 9S \\ &= \frac{400}{3} + 3S, \end{aligned}$ así que $3S = 19 - \frac{400}{3} = -\frac{343}{3}$ y $S = -\frac{343}{9}.$

Por lo tanto $|S| = \frac{343}{9},$ que está en su mínima expresión, y $m + n = 343 + 9 = 352.$

The polynomial’s $2019$ roots are the numbers $z_j,$ each repeated three times. By Vieta’s formulas, the coefficient of $x^{2018}$ is minus the sum of all roots: $3\sum_j z_j = -20,$ so $\sum_j z_j = -\frac{20}{3}.$

The coefficient of $x^{2017}$ is the sum over unordered pairs of roots. A pair may use two copies from one triple ( $\binom{3}{2} = 3$ pairs for each $j$ ) or copies from two different triples ( $3 \cdot 3 = 9$ pairs for each $j \lt k$ ). Writing $S = \sum_{j \lt k} z_j z_k,$ $\begin{aligned} 19 &= 3\sum_j z_j^2 + 9S \\ &= 3\left[\left(-\tfrac{20}{3}\right)^2 - 2S\right] + 9S \\ &= \frac{400}{3} + 3S, \end{aligned}$ so $3S = 19 - \frac{400}{3} = -\frac{343}{3}$ and $S = -\frac{343}{9}.$

Hence $|S| = \frac{343}{9},$ which is in lowest terms, and $m + n = 343 + 9 = 352.$

11.

En $\triangle ABC,$ los lados tienen longitudes enteras y $AB = AC.$ La circunferencia $\omega$ tiene su centro en el incentro de $\triangle ABC.$ Un excírculo de $\triangle ABC$ es una circunferencia en el exterior de $\triangle ABC$ que es tangente a un lado del triángulo y tangente a las extensiones de los otros dos lados. Suponga que el excírculo tangente a $\overline{BC}$ es tangente internamente a $\omega,$ y los otros dos excírculos son ambos tangentes externamente a $\omega.$ Halle el mínimo valor posible del perímetro de $\triangle ABC.$

In $\triangle ABC,$ the sides have integer lengths and $AB = AC.$ Circle $\omega$ has its center at the incenter of $\triangle ABC.$ An excircle of $\triangle ABC$ is a circle in the exterior of $\triangle ABC$ that is tangent to one side of the triangle and tangent to the extensions of the other two sides. Suppose that the excircle tangent to $\overline{BC}$ is internally tangent to $\omega,$ and the other two excircles are both externally tangent to $\omega.$ Find the minimum possible value of the perimeter of $\triangle ABC.$

Respuesta

Respuesta: 20

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio circunferencias tangentes geometría analítica

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

La tangencia interna con el excírculo opuesto a $A$ obliga a que el radio de $\omega$ sea $r + 2r_A,$ donde $r$ es el inradio y $r_A$ ese exradio

Internal tangency with the excircle opposite $A$ forces the radius of $\omega$ to be $r + 2r_A,$ where $r$ is the inradius and $r_A$ that exradius

Pista grande:

Con $BC$ sobre el eje $x$ , el excírculo de $B$ tiene radio igual a la altura $h$ desde $A;$ la tangencia externa se reduce a una relación lineal entre la base y el lado

With $BC$ on the $x$ -axis, the $B$ -excircle has radius equal to the height $h$ from $A;$ the external tangency collapses to one linear relation between base and leg

Solución:

Sea $BC = a$ y $AB = AC = b.$ Coloque $B = \left(-\frac{a}{2}, 0\right),$ $C = \left(\frac{a}{2}, 0\right),$ $A = (0, h)$ con $h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}},$ de modo que el semiperímetro es $s = b + \frac{a}{2}$ y el área es $K = \frac{ah}{2}.$ El inradio y los exradios son $r = \frac{K}{s} = \frac{ah}{a + 2b},$ $r_A = \frac{K}{s - a} = \frac{ah}{2b - a},$ y $r_B = \frac{K}{s - b} = h.$ El incentro es $I = (0, r)$ y el excírculo de $A$ tiene centro $(0, -r_A).$ El excírculo de $B$ toca la recta $BC$ a distancia $s$ de $B,$ es decir, en $x = b,$ así que su centro es $(b, h).$

Tangencia interna con el excírculo de $A$ : la distancia entre centros es $r + r_A,$ así que el radio $\rho$ de $\omega$ satisface $\rho - r_A = r + r_A,$ es decir, $\rho = r + 2r_A.$ La tangencia externa con el excírculo de $B$ requiere $b^2 + (h - r)^2 = (\rho + h)^2$ $= (h + r + 2r_A)^2,$ lo que se reordena como $b^2 = 4(r + r_A)(h + r_A).$ Como $r + r_A = \frac{4abh}{4b^2 - a^2}$ y $h + r_A = \frac{2bh}{2b - a},$ mientras que $h^2 = \frac{4b^2 - a^2}{4},$ la condición se convierte en $b^2 = \frac{8ab^2}{2b - a},$ es decir, $2b - a = 8a,$ así que $2b = 9a.$

Para lados enteros, $a = 2t$ y $b = 9t$ para un entero positivo $t,$ dando perímetro $20t.$ El mínimo es $20,$ alcanzado por el triángulo con lados $9,$ $9,$ $2.$

Let $BC = a$ and $AB = AC = b.$ Place $B = \left(-\frac{a}{2}, 0\right),$ $C = \left(\frac{a}{2}, 0\right),$ $A = (0, h)$ with $h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}},$ so the semiperimeter is $s = b + \frac{a}{2}$ and the area is $K = \frac{ah}{2}.$ The inradius and exradii are $r = \frac{K}{s} = \frac{ah}{a + 2b},$ $r_A = \frac{K}{s - a} = \frac{ah}{2b - a},$ and $r_B = \frac{K}{s - b} = h.$ The incenter is $I = (0, r)$ and the $A$ -excircle has center $(0, -r_A).$ The $B$ -excircle touches line $BC$ at distance $s$ from $B,$ that is, at $x = b,$ so its center is $(b, h).$

Internal tangency with the $A$ -excircle: the center distance is $r + r_A,$ so the radius $\rho$ of $\omega$ satisfies $\rho - r_A = r + r_A,$ i.e. $\rho = r + 2r_A.$ External tangency with the $B$ -excircle requires $b^2 + (h - r)^2 = (\rho + h)^2$ $= (h + r + 2r_A)^2,$ which rearranges to $b^2 = 4(r + r_A)(h + r_A).$ Since $r + r_A = \frac{4abh}{4b^2 - a^2}$ and $h + r_A = \frac{2bh}{2b - a},$ and $h^2 = \frac{4b^2 - a^2}{4},$ the condition becomes $b^2 = \frac{8ab^2}{2b - a},$ that is, $2b - a = 8a,$ so $2b = 9a.$

For integer sides, $a = 2t$ and $b = 9t$ for a positive integer $t,$ giving perimeter $20t.$ The minimum is $20,$ achieved by the triangle with sides $9,$ $9,$ $2.$

12.

Dado $f(z) = z^2 - 19z,$ existen números complejos $z$ con la propiedad de que $z,$ $f(z),$ y $f(f(z))$ son los vértices de un triángulo rectángulo en el plano complejo con el ángulo recto en $f(z).$ Existen enteros positivos $m$ y $n$ tales que uno de esos valores de $z$ es $m + \sqrt{n} + 11\mathrm{i}.$ Halle $m + n.$

Given $f(z) = z^2 - 19z,$ there are complex numbers $z$ with the property that $z,$ $f(z),$ and $f(f(z))$ are the vertices of a right triangle in the complex plane with a right angle at $f(z).$ There are positive integers $m$ and $n$ such that one such value of $z$ is $m + \sqrt{n} + 11\mathrm{i}.$ Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 230

Conceptos:número complejo polinomio factorización

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Observe que $f(w) - w = w(w - 20),$ así que $f(z) - z = z(z - 20)$ y $f(f(z)) - f(z)$ $= z(z - 19)(z - 20)(z + 1)$

Note $f(w) - w = w(w - 20),$ so $f(z) - z = z(z - 20)$ and $f(f(z)) - f(z)$ $= z(z - 19)(z - 20)(z + 1)$

Pista grande:

El ángulo recto significa que el cociente de esas dos diferencias, $(z - 19)(z + 1),$ es puramente imaginario; iguale la parte real a $0$ con $z = x + 11\mathrm{i}$

The right angle means the quotient of those two differences, $(z - 19)(z + 1),$ is purely imaginary; set the real part to $0$ with $z = x + 11\mathrm{i}$

Solución:

Como $f(w) - w = w(w - 20),$ los dos catetos en $f(z)$ son $\begin{gathered} f(z) - z = z(z - 20), \\ f(f(z)) - f(z) = f(z) \\ {}\cdot \bigl(f(z) - 20\bigr) \\ = z(z - 19)(z - 20) \\ {}\cdot (z + 1), \end{gathered}$ usando $f(z) = z(z - 19)$ y $f(z) - 20 = (z - 20)(z + 1).$ Son perpendiculares exactamente cuando su cociente $(z - 19)(z + 1)$ es puramente imaginario y no nulo.

Escriba $z = x + 11\mathrm{i}.$ La parte real de $(z - 19)(z + 1) = z^2 - 18z - 19$ es $x^2 - 121 - 18x - 19,$ así que necesitamos $x^2 - 18x - 140 = 0,$ lo que da $x = 9 \pm \sqrt{221}.$ La forma $m + \sqrt{n} + 11\mathrm{i}$ con $m,$ $n$ enteros positivos requiere $x = 9 + \sqrt{221}.$

Por lo tanto $m + n = 9 + 221 = 230.$

Since $f(w) - w = w(w - 20),$ the two legs at $f(z)$ are $\begin{gathered} f(z) - z = z(z - 20), \\ f(f(z)) - f(z) = f(z) \\ {}\cdot \bigl(f(z) - 20\bigr) \\ = z(z - 19)(z - 20) \\ {}\cdot (z + 1), \end{gathered}$ using $f(z) = z(z - 19)$ and $f(z) - 20 = (z - 20)(z + 1).$ They are perpendicular exactly when their quotient $(z - 19)(z + 1)$ is purely imaginary and nonzero.

Write $z = x + 11\mathrm{i}.$ The real part of $(z - 19)(z + 1) = z^2 - 18z - 19$ is $x^2 - 121 - 18x - 19,$ so we need $x^2 - 18x - 140 = 0,$ giving $x = 9 \pm \sqrt{221}.$ The form $m + \sqrt{n} + 11\mathrm{i}$ with $m,$ $n$ positive integers requires $x = 9 + \sqrt{221}.$

Hence $m + n = 9 + 221 = 230.$

13.

El triángulo $ABC$ tiene lados $AB = 4,$ $BC = 5,$ y $CA = 6.$ Los puntos $D$ y $E$ están sobre el rayo $AB$ con $AB \lt AD \lt AE.$ El punto $F \neq C$ es un punto de intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle ACD$ y $\triangle EBC$ que satisface $DF = 2$ y $EF = 7.$ Entonces $BE$ puede expresarse como $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos tales que $a$ y $d$ son primos entre sí, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $a + b + c + d.$

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 4,$ $BC = 5,$ and $CA = 6.$ Points $D$ and $E$ are on ray $AB$ with $AB \lt AD \lt AE.$ The point $F \neq C$ is a point of intersection of the circumcircles of $\triangle ACD$ and $\triangle EBC$ satisfying $DF = 2$ and $EF = 7.$ Then $BE$ can be expressed as $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers such that $a$ and $d$ are relatively prime, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c + d.$

Respuesta

Respuesta: 32

Conceptos:cuadrilátero cíclico eje radical potencia de un punto ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Los cuadriláteros cíclicos dan $\angle FDA = \angle FCA$ y $\angle FEB = \angle FCB,$ así que $\angle DFE = \angle ACB;$ ahora la ley de cosenos halla $DE$

The cyclic quadrilaterals give $\angle FDA = \angle FCA$ and $\angle FEB = \angle FCB,$ so $\angle DFE = \angle ACB;$ now the law of cosines finds $DE$

Pista grande:

La recta $CF$ es el eje radical: donde cruza la recta $AB$ en $G,$ las potencias dan $GA \cdot GD = GB \cdot GE.$ Localice $G$ usando el ángulo $\angle GCA$ hallado a partir del triángulo $DEF.$

Line $CF$ is the radical axis: where it crosses line $AB$ at $G,$ the powers give $GA \cdot GD = GB \cdot GE.$ Locate $G$ using the angle $\angle GCA$ found from triangle $DEF.$

Solución:

Los puntos $D,$ $E$ están más allá de $B$ sobre el rayo $AB,$ y $F$ está en el lado opuesto de la recta $AB$ respecto de $C.$ Como $ACFD$ y $BCFE$ son cíclicos, los ángulos inscritos dan $\angle FDA = \angle FCA$ y $\angle FEB = \angle FCB.$ Escribiendo $\alpha = \angle FCA$ y $\beta = \angle FCB,$ el triángulo $DEF$ tiene ángulos $\angle FDE = 180^\circ - \alpha$ y $\angle FED = \beta,$ así que $\angle DFE = \alpha - \beta = \angle ACB.$ A partir del triángulo $ABC,$ $\cos \angle ACB = \frac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{3}{4},$ así que la ley de cosenos en el triángulo $DFE$ da $\begin{aligned} DE^2 &= 2^2 + 7^2 - 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot \tfrac{3}{4} \\ &= 32, \\ DE &= 4\sqrt{2}. \end{aligned}$

En el triángulo $DFE,$ $\cos \angle FDE = \frac{4 + 32 - 49}{2 \cdot 2 \cdot 4\sqrt{2}} = -\frac{13\sqrt{2}}{32},$ así que $\alpha$ es agudo con $\cos\alpha = \frac{13\sqrt{2}}{32}$ y $\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{338}{1024}} = \frac{7\sqrt{14}}{32}.$ Sea $G$ la intersección de la recta $CF$ con la recta $AB.$ En el triángulo $ACG,$ $\angle GAC = \angle BAC$ tiene $\cos \angle BAC = \frac{16 + 36 - 25}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{9}{16},$ $\sin \angle BAC = \frac{5\sqrt{7}}{16},$ y $\angle ACG = \alpha,$ así que $\sin(\angle BAC + \alpha)$ $= \frac{5\sqrt{7}}{16} \cdot \frac{13\sqrt{2}}{32}$ $+ \frac{9}{16} \cdot \frac{7\sqrt{14}}{32}$ $= \frac{\sqrt{14}}{4}$ y $\begin{aligned} AG &= \frac{AC \sin \alpha}{\sin(\angle BAC + \alpha)} \\ &= \frac{6 \cdot \frac{7\sqrt{14}}{32}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} \\ &= \frac{21}{4}. \end{aligned}$

La recta $CF$ es el eje radical de las dos circunferencias, así que $GA \cdot GD = GB \cdot GE.$ Con $x = BD$ y $BE = x + DE = x + 4\sqrt{2}:$ $\begin{aligned} &\frac{21}{4}\left(x - \frac{5}{4}\right) \\ &= \frac{5}{4}\left(x - \frac{5}{4} + 4\sqrt{2}\right), \end{aligned}$ ya que $GD = 4 + x - \frac{21}{4}$ y $GB = \frac{21}{4} - 4.$ Esto da $16\left(x - \frac{5}{4}\right) = 20\sqrt{2},$ así que $x = \frac{5 + 5\sqrt{2}}{4}$ y $BE = \frac{5 + 21\sqrt{2}}{4}.$ Por lo tanto $a + b + c + d = 5 + 21 + 2 + 4$ $= 32.$

Points $D,$ $E$ lie beyond $B$ on ray $AB,$ and $F$ lies on the opposite side of line $AB$ from $C.$ Since $ACFD$ and $BCFE$ are cyclic, the inscribed angles give $\angle FDA = \angle FCA$ and $\angle FEB = \angle FCB.$ Writing $\alpha = \angle FCA$ and $\beta = \angle FCB,$ triangle $DEF$ has angles $\angle FDE = 180^\circ - \alpha$ and $\angle FED = \beta,$ so $\angle DFE = \alpha - \beta = \angle ACB.$ From triangle $ABC,$ $\cos \angle ACB = \frac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{3}{4},$ so the law of cosines in triangle $DFE$ gives $\begin{aligned} DE^2 &= 2^2 + 7^2 - 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot \tfrac{3}{4} \\ &= 32, \\ DE &= 4\sqrt{2}. \end{aligned}$

In triangle $DFE,$ $\cos \angle FDE = \frac{4 + 32 - 49}{2 \cdot 2 \cdot 4\sqrt{2}} = -\frac{13\sqrt{2}}{32},$ so $\alpha$ is acute with $\cos\alpha = \frac{13\sqrt{2}}{32}$ and $\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{338}{1024}} = \frac{7\sqrt{14}}{32}.$ Let $G$ be the intersection of line $CF$ with line $AB.$ In triangle $ACG,$ $\angle GAC = \angle BAC$ has $\cos \angle BAC = \frac{16 + 36 - 25}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{9}{16},$ $\sin \angle BAC = \frac{5\sqrt{7}}{16},$ and $\angle ACG = \alpha,$ so $\sin(\angle BAC + \alpha)$ $= \frac{5\sqrt{7}}{16} \cdot \frac{13\sqrt{2}}{32}$ $+ \frac{9}{16} \cdot \frac{7\sqrt{14}}{32}$ $= \frac{\sqrt{14}}{4}$ and $\begin{aligned} AG &= \frac{AC \sin \alpha}{\sin(\angle BAC + \alpha)} \\ &= \frac{6 \cdot \frac{7\sqrt{14}}{32}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} \\ &= \frac{21}{4}. \end{aligned}$

Line $CF$ is the radical axis of the two circles, so $GA \cdot GD = GB \cdot GE.$ With $x = BD$ and $BE = x + DE = x + 4\sqrt{2}:$ $\begin{aligned} &\frac{21}{4}\left(x - \frac{5}{4}\right) \\ &= \frac{5}{4}\left(x - \frac{5}{4} + 4\sqrt{2}\right), \end{aligned}$ since $GD = 4 + x - \frac{21}{4}$ and $GB = \frac{21}{4} - 4.$ This gives $16\left(x - \frac{5}{4}\right) = 20\sqrt{2},$ so $x = \frac{5 + 5\sqrt{2}}{4}$ and $BE = \frac{5 + 21\sqrt{2}}{4}.$ Therefore $a + b + c + d = 5 + 21 + 2 + 4$ $= 32.$

14.

Halle el menor factor primo impar de $2019^8 + 1.$

Find the least odd prime factor of $2019^8 + 1.$

Respuesta

Respuesta: 97

Conceptos:orden multiplicativo exponenciación modular

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Si $p$ divide a $2019^8 + 1,$ entonces $2019^8 \equiv -1 \pmod{p},$ así que el orden de $2019$ módulo $p$ es exactamente $16$

If $p$ divides $2019^8 + 1,$ then $2019^8 \equiv -1 \pmod{p},$ so the order of $2019$ modulo $p$ is exactly $16$

Pista grande:

El orden divide a $p - 1,$ así que $p \equiv 1 \pmod{16};$ pruebe los menores primos de ese tipo elevando al cuadrado repetidamente $2019 \bmod p$

The order divides $p - 1,$ so $p \equiv 1 \pmod{16};$ test the smallest such primes by repeated squaring of $2019 \bmod p$

Solución:

Suponga que un primo impar $p$ divide a $2019^8 + 1.$ Entonces $2019^8 \equiv -1 \pmod{p},$ así que $2019^{16} \equiv 1$ mientras que $2019^8 \not\equiv 1:$ el orden multiplicativo de $2019$ módulo $p$ es exactamente $16.$ Como el orden divide a $p - 1,$ necesitamos $p \equiv 1 \pmod{16},$ y los menores primos de ese tipo son $17$ y $97.$

Módulo $17:$ $2019 \equiv 13,$ y $13^2 = 169 \equiv -1,$ así que $2019^8 \equiv (-1)^4 = 1$ y $2019^8 + 1 \equiv 2 \neq 0.$ Módulo $97:$ $2019 \equiv -18,$ y elevando al cuadrado repetidamente, $\begin{aligned} 2019^2 &\equiv 324 \equiv 33, \\ 2019^4 &\equiv 33^2 = 1089 \\ &\equiv 22, \\ 2019^8 &\equiv 22^2 = 484 \\ &\equiv -1 \pmod{97}. \end{aligned}$

Así que $97$ divide a $2019^8 + 1,$ y es el menor factor primo impar: $97.$

Suppose an odd prime $p$ divides $2019^8 + 1.$ Then $2019^8 \equiv -1 \pmod{p},$ so $2019^{16} \equiv 1$ while $2019^8 \not\equiv 1:$ the multiplicative order of $2019$ modulo $p$ is exactly $16.$ Since the order divides $p - 1,$ we need $p \equiv 1 \pmod{16},$ and the smallest such primes are $17$ and $97.$

Modulo $17:$ $2019 \equiv 13,$ and $13^2 = 169 \equiv -1,$ so $2019^8 \equiv (-1)^4 = 1$ and $2019^8 + 1 \equiv 2 \neq 0.$ Modulo $97:$ $2019 \equiv -18,$ and squaring repeatedly, $\begin{aligned} 2019^2 &\equiv 324 \equiv 33, \\ 2019^4 &\equiv 33^2 = 1089 \\ &\equiv 22, \\ 2019^8 &\equiv 22^2 = 484 \\ &\equiv -1 \pmod{97}. \end{aligned}$

So $97$ divides $2019^8 + 1,$ and it is the least odd prime factor: $97.$

15.

Sea $\overline{AB}$ una cuerda de una circunferencia $\omega,$ y sea $P$ un punto sobre la cuerda $\overline{AB}.$ La circunferencia $\omega_1$ pasa por $A$ y $P$ y es tangente internamente a $\omega.$ La circunferencia $\omega_2$ pasa por $B$ y $P$ y es tangente internamente a $\omega.$ Las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en los puntos $P$ y $Q.$ La recta $PQ$ corta a $\omega$ en $X$ y $Y.$ Suponga que $AP = 5,$ $PB = 3,$ $XY = 11,$ y $PQ^2 = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $\overline{AB}$ be a chord of a circle $\omega,$ and let $P$ be a point on the chord $\overline{AB}.$ Circle $\omega_1$ passes through $A$ and $P$ and is internally tangent to $\omega.$ Circle $\omega_2$ passes through $B$ and $P$ and is internally tangent to $\omega.$ Circles $\omega_1$ and $\omega_2$ intersect at points $P$ and $Q.$ Line $PQ$ intersects $\omega$ at $X$ and $Y.$ Assume that $AP = 5,$ $PB = 3,$ $XY = 11,$ and $PQ^2 = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 65

Conceptos:eje radical potencia de un punto circunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

$A$ está tanto en $\omega$ como en $\omega_1,$ pero las circunferencias tangentes se encuentran solo una vez, así que $\omega_1$ es tangente a $\omega$ en el propio $A$ (y $\omega_2$ en $B$ )

$A$ lies on both $\omega$ and $\omega_1,$ but tangent circles meet only once, so $\omega_1$ is tangent to $\omega$ at $A$ itself (and $\omega_2$ at $B$ )

Pista grande:

Sea $Z$ el punto de intersección de las tangentes a $\omega$ en $A$ y $B:$ entonces $Z$ está sobre la recta $PQ$ con $ZP \cdot ZQ = ZX \cdot ZY = ZA^2,$ y $ZA^2 - ZP^2 = AP \cdot PB$

Let $Z$ be the intersection of the tangents to $\omega$ at $A$ and $B:$ then $Z$ lies on line $PQ$ with $ZP \cdot ZQ = ZX \cdot ZY = ZA^2,$ and $ZA^2 - ZP^2 = AP \cdot PB$

Solución:

Como $A$ está tanto en $\omega$ como en $\omega_1$ y las circunferencias tangentes internamente se encuentran solo en su punto de tangencia, $\omega_1$ es tangente a $\omega$ en $A;$ de igual modo $\omega_2$ es tangente en $B.$ Sea $Z$ la intersección de las rectas tangentes a $\omega$ en $A$ y $B.$ Cada recta tangente también es tangente a la circunferencia interior correspondiente, así que las potencias de $Z$ respecto de $\omega_1$ y $\omega_2$ son $ZA^2$ y $ZB^2,$ que son iguales. Por lo tanto $Z$ está sobre el eje radical $PQ,$ y a lo largo de la recta que pasa por $Z,$ $X,$ $P,$ $Q,$ $Y:$ $ZP \cdot ZQ = ZA^2 = ZX \cdot ZY,$ donde la última igualdad se debe a que $ZA$ es tangente a $\omega.$

Como $ZA = ZB,$ el punto $Z$ está sobre la mediatriz de $\overline{AB};$ si $M$ es el punto medio de $\overline{AB},$ entonces $ZA^2 - ZP^2$ $= MA^2 - MP^2$ $= 4^2 - 1^2 = 15.$ Además, la potencia de $P$ en $\omega$ da $XP \cdot PY = AP \cdot PB = 15.$ Sea $s = ZP$ y $u = ZX,$ de modo que $ZY = u + 11.$ Las relaciones se convierten en $\begin{aligned} u(u + 11) &= s^2 + 15, \\ (s - u)(u + 11 - s) &= 15. \end{aligned}$ Desarrollando la segunda y sustituyendo la primera se obtiene $u = s - \frac{11}{2} + \frac{15}{s},$ y sustituyendo de vuelta da $\left(s + \frac{15}{s}\right)^2 - \frac{121}{4} = s^2 + 15,$ así que $\frac{225}{s^2} = \frac{61}{4}.$

Finalmente $ZQ = \frac{ZA^2}{ZP} = s + \frac{15}{s},$ así que $PQ = ZQ - ZP = \frac{15}{s}$ y $PQ^2 = \frac{225}{s^2} = \frac{61}{4}.$ Por lo tanto $m + n = 61 + 4 = 65.$

Since $A$ lies on both $\omega$ and $\omega_1$ and internally tangent circles meet only at their point of tangency, $\omega_1$ is tangent to $\omega$ at $A;$ likewise $\omega_2$ is tangent at $B.$ Let $Z$ be the intersection of the tangent lines to $\omega$ at $A$ and $B.$ Each tangent line is also tangent to the corresponding inner circle, so the powers of $Z$ with respect to $\omega_1$ and $\omega_2$ are $ZA^2$ and $ZB^2,$ which are equal. Hence $Z$ lies on the radical axis $PQ,$ and along the line through $Z,$ $X,$ $P,$ $Q,$ $Y:$ $ZP \cdot ZQ = ZA^2 = ZX \cdot ZY,$ the last equality because $ZA$ is tangent to $\omega.$

Because $ZA = ZB,$ the point $Z$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{AB};$ if $M$ is the midpoint of $\overline{AB},$ then $ZA^2 - ZP^2$ $= MA^2 - MP^2$ $= 4^2 - 1^2 = 15.$ Also the power of $P$ in $\omega$ gives $XP \cdot PY = AP \cdot PB = 15.$ Set $s = ZP$ and $u = ZX,$ so $ZY = u + 11.$ The relations become $\begin{aligned} u(u + 11) &= s^2 + 15, \\ (s - u)(u + 11 - s) &= 15. \end{aligned}$ Expanding the second and substituting the first yields $u = s - \frac{11}{2} + \frac{15}{s},$ and substituting back gives $\left(s + \frac{15}{s}\right)^2 - \frac{121}{4} = s^2 + 15,$ so $\frac{225}{s^2} = \frac{61}{4}.$

Finally $ZQ = \frac{ZA^2}{ZP} = s + \frac{15}{s},$ so $PQ = ZQ - ZP = \frac{15}{s}$ and $PQ^2 = \frac{225}{s^2} = \frac{61}{4}.$ Therefore $m + n = 61 + 4 = 65.$

Problemas del 2019 AIME I

Respuesta: 342

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 29

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 120

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 122

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 252

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 90

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 880

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 67

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 540

Nivel de dificultad: 2740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 352

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 20

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 230

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 32

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 97

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 65

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: