Question

Jenn elige al azar un número $J$ de entre $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20.$ Luego Bela elige al azar un número $B$ de entre $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20$ distinto de $J.$ El valor de $B - J$ es al menos $2$ con una probabilidad que puede expresarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Jenn randomly chooses a number $J$ from $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20.$ Bela then randomly chooses a number $B$ from $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20$ distinct from $J.$ The value of $B - J$ is at least $2$ with a probability that can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 29

Conceptos:probabilidad básica conteo de pares

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Los $20 \cdot 19$ pares ordenados $(J, B)$ con $B \neq J$ son todos igualmente probables

All $20 \cdot 19$ ordered pairs $(J, B)$ with $B \neq J$ are equally likely

Pista grande:

Para cada $J$ hay $19 - J$ valores de $B$ con $B \ge J + 2,$ así que el número de casos favorables es $1 + 2 + \cdots + 18$

For each $J$ there are $19 - J$ values of $B$ with $B \ge J + 2,$ so the favorable count is $1 + 2 + \cdots + 18$

Solución:

Hay $20 \cdot 19 = 380$ pares ordenados igualmente probables $(J, B)$ con $B \neq J.$ La condición $B \ge J + 2$ permite $19 - J$ elecciones de $B$ para cada $J \le 18,$ así que el número de pares favorables es $\begin{aligned} &\sum_{J=1}^{18} (19 - J) \\ &= 18 + 17 + \cdots + 1 = 171. \end{aligned}$

La probabilidad es $\frac{171}{380} = \frac{9}{20},$ así que $m + n = 9 + 20 = 29.$

There are $20 \cdot 19 = 380$ equally likely ordered pairs $(J, B)$ with $B \neq J.$ The condition $B \ge J + 2$ allows $19 - J$ choices of $B$ for each $J \le 18,$ so the number of favorable pairs is $\begin{aligned} &\sum_{J=1}^{18} (19 - J) \\ &= 18 + 17 + \cdots + 1 = 171. \end{aligned}$

The probability is $\frac{171}{380} = \frac{9}{20},$ so $m + n = 9 + 20 = 29.$

2019 AIME I Problema 2

Respuesta: 29

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años