Question

Halla la suma de todos los enteros positivos $n$ tales que $n + 2$ divide al producto $3(n + 3)(n^2 + 9).$

Find the sum of all positive integers $n$ such that $n + 2$ divides the product $3(n + 3)(n^2 + 9).$

Respuesta

Solución:

Trabaja módulo $n + 2,$ donde $n \equiv -2.$ Entonces $\begin{gathered} 3(n + 3)(n^2 + 9) \\ \equiv 3 \cdot 1 \cdot (4 + 9) \\ = 39 \pmod{n + 2}, \end{gathered}$ así que $n + 2$ divide a $3(n+3)(n^2+9)$ exactamente cuando $n + 2$ divide a $39.$

Los divisores de $39$ que son al menos $3$ son $3,$ $13,$ y $39,$ lo que da $n = 1,$ $11,$ y $37.$ La suma es $1 + 11 + 37 = 49.$

Work modulo $n + 2,$ where $n \equiv -2.$ Then $\begin{gathered} 3(n + 3)(n^2 + 9) \\ \equiv 3 \cdot 1 \cdot (4 + 9) \\ = 39 \pmod{n + 2}, \end{gathered}$ so $n + 2$ divides $3(n+3)(n^2+9)$ exactly when $n + 2$ divides $39.$

The divisors of $39$ that are at least $3$ are $3,$ $13,$ and $39,$ giving $n = 1,$ $11,$ and $37.$ The sum is $1 + 11 + 37 = 49.$

2025 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años